Auftrieb-Rechner

Auftriebskraft = Dichte des Fluids × verdrängtes Volumen × g Gewichtskraft = Masse × g eingetauchter Anteil = Masse ÷ ( Dichte des Fluids × Volumen des Körpers )

ρ

Dichte des Fluids in kg/m³ — 1.000 für Süßwasser, 1.025 für Meerwasser, 13.546 für Quecksilber. Das Feld nimmt auch g/cm³ und lb/ft³

V

Volumen des Körpers in Litern — das Feld nimmt auch Milliliter, Kubikmeter, Kubikfuß, Kubikzoll und Gallonen. Das ist das Gesamtvolumen des Körpers, nicht der Teil, der am Ende unter Wasser liegt

m

Masse des Körpers in Kilogramm — das Feld nimmt auch Pfund, Tonnen und Gramm. Nichts davon ist eine Gewichtskraft: Sie wird daraus als mg berechnet und getrennt ausgegeben

g

Normfallbeschleunigung, 9,80665 m/s² — durchgehend derselbe Wert, die Seite beschreibt also einen Körper in der Erdanziehung und nicht auf dem Mond oder im Orbit

Vd

Verdrängtes Volumen — der Teil des Körpers unter der Oberfläche. Nur dieses Volumen erzeugt Auftrieb, und es ist auf das Volumen des Körpers begrenzt, was genau der Grund ist, warum dichte Dinge sinken

Diese Seite ist für die Frage, ob etwas schwimmt, wie viel davon unter Wasser liegt oder wie viel Auftrieb ein Fluid liefern kann: die Verdrängung eines Bootes, eine Schwimmweste, ein Schwimmer, eine Boje, die Tarung eines Tauchers, Eis auf Wasser oder ein Tank mit etwas, das dichter ist als Wasser. Sie ist auch die Seite für die Fälle, die dem Gefühl widersprechen: Ein Schiff aus Stahl schwimmt, eine Schraube aus Stahl nicht, und es ist beide Male dieselbe Formel — der Unterschied liegt allein im Volumen. Zwei Gewohnheiten machen die Antworten brauchbarer. Erstens: Lesen Sie den eingetauchten Anteil statt nur das Urteil, denn er trägt die Auslegung. 60 Prozent eingetaucht ist ein Boot mit Freibord, 99 Prozent ist ein Boot, das gleich keines mehr ist, und das Urteil nennt beide schwimmend. Zweitens: Denken Sie daran, dass nur das eingetauchte Volumen etwas verdrängt. Bei einem schwimmenden Körper ist die Auftriebskraft immer genau so groß wie seine Gewichtskraft — das ist kein Zufall, sondern der Grund, warum er schwimmt. Die interessante Frage ist deshalb nie, ob die beiden im Gleichgewicht sind, sondern wie viel vom Körper untertauchen muss, damit sie es sind.

1. Ein Holzklotz, 3 Liter und 1,8 kg, in Süßwasser

   1. Gewichtskraft: 1,8 × 9,80665 = 17,652 N
   2. Eingetauchter Anteil: 1,8 ÷ (1.000 × 0,003) = 0,60, also liegen 60 Prozent des Klotzes unter Wasser
   3. Verdrängtes Volumen: 0,60 × 3 = 1,8 L
   4. Auftriebskraft: 1.000 × 0,0018 × 9,80665 = 17,652 N
   5. Nettokraft: 17,652 − 17,652 = 0 — er schwimmt
   6. Die restlichen 1,2 L, also 40 Prozent des Klotzes, bleiben über der Oberfläche

   Auftriebskraft und Gewichtskraft kommen identisch heraus, und das ist kein Zufall, den man nachprüfen müsste — es ist die Bedeutung von Schwimmen. Nur die eingetauchten 1,8 Liter verdrängen etwas, das verdrängte Volumen ist also gerade so groß, wie es zum Ausgleich der Gewichtskraft nötig ist, und die Seite löst danach auf, statt es vorauszusetzen. Beachten Sie auch, dass die 3 Liter in der Auftriebsrechnung überhaupt nicht vorkommen. Sie setzen nur die Obergrenze: Bräuchte der Klotz mehr als 3 Liter Verdrängung, würde er sinken, und 60 Prozent sagen, dass er davon weit entfernt ist.

2. Ein Aluminiumblock, 2 Liter und 5,4 kg

   1. Gewichtskraft: 5,4 × 9,80665 = 52,956 N
   2. Eingetauchter Anteil: 5,4 ÷ (1.000 × 0,002) = 2,70 — mehr als 1, der Block kann also nicht schwimmen, und die Seite begrenzt ihn auf 100 Prozent
   3. Verdrängtes Volumen: 2 L, der ganze Block
   4. Auftriebskraft: 1.000 × 0,002 × 9,80665 = 19,613 N — das Maximum, das dieser Block aus Wasser je bekommt
   5. Nettokraft: 19,613 − 52,956 = −33,343 N, nach unten gerichtet
   6. Die fehlenden 33,3 N muss der Grund aufbringen, sobald der Block aufsetzt

   Die interessante Zahl ist hier der Anteil, den die Seite nicht ausgibt: 2,70, also 270 Prozent eingetaucht. Das ist die ehrliche Antwort auf die Frage, wie viel untertauchen müsste, und sie ist unmöglich — genau deshalb sinkt Aluminium. Die −33,343 N sind die Kraft, die der Körper spürt, solange er vollständig eingetaucht und nicht abgestützt ist; sobald er am Grund liegt, bringt der Grund sie auf, und der Körper ist wieder im Gleichgewicht, nur eben kein schwimmendes. Vergleichen Sie das mit dem Holzklotz von oben: Bei 12 Litern Volumen würde dieselbe Masse von 5,4 kg schwimmen, und darin steckt der ganze Trick eines Stahlrumpfs.

3. Ein Liter Eis in Meerwasser

   1. Gewichtskraft: 0,917 × 9,80665 = 8,993 N
   2. Eingetauchter Anteil: 0,917 ÷ (1.025 × 0,001) = 0,895, also liegen 89,5 Prozent unter Wasser
   3. Verdrängtes Volumen: 0,895 L
   4. Auftriebskraft: 1.025 × 0,000895 × 9,80665 = 8,993 N
   5. Nettokraft: 0 — er schwimmt
   6. Über der Oberfläche: 10,5 Prozent des Klotzes, und eines Eisbergs

   Eis hat 917 kg/m³ und Meerwasser 1.025, und dieses Verhältnis ist die berühmten neun Zehntel unter der Wasserlinie — hier kommen 89,5 Prozent heraus, was dieselbe Aussage mit sauber gerundeter Zahl ist. Die Seite zeigt auch, warum die Zahl keine Konstante ist: Derselbe Liter Eis liegt in Süßwasser zu 91,7 Prozent unter der Oberfläche, weil Süßwasser weniger dicht ist und in größerer Menge verdrängt werden muss, um dieselbe Gewichtskraft zu tragen. Der Unterschied zwischen 89,5 und 91,7 Prozent ist in Polarregionen ein realer Effekt, und er ist genau die Art von Sache, für die die beiden Wasserzeilen der Referenztabelle da sind.

Die Seite gibt die statische Antwort — ob der Körper schwimmt und wie tief er eintaucht — und sagt nichts über Stabilität. Ein schwimmender Körper kann im Gleichgewicht sein und trotzdem kentern, denn das hängt davon ab, wo sein Schwerpunkt relativ zum Schwerpunkt des verdrängten Volumens liegt, und nichts davon steckt in dieser Rechnung; ein Baumstamm und ein Kanu können dieselben 60 Prozent eingetaucht zeigen und sich in einer Welle völlig verschieden verhalten. Die Seite setzt ein gleichförmiges Fluid und einen starren Körper voraus: Ein geschichtetes Fluid, ein teilweise gefüllter Tank oder ein flexibler Rumpf, der beim Eintauchen seine Form ändert, sind nicht beschrieben. Nichts, was am Körper befestigt ist, wird berücksichtigt — eine gespannte Leine, ein festhaltender Schwimmer, eine Ladung auf dem Deck —, obwohl all das das Gleichgewicht verschiebt, ohne den Auftrieb zu ändern. Die Oberflächenspannung ist ignoriert, was bei allem zählt, was klein genug ist, um von ihr getragen zu werden: ein Insekt, eine Nadel, ein Sandkorn, wo das wirkliche Verhalten nichts mit Archimedes zu tun hat. Die Seite ist außerdem im anderen Sinn rein statisch: Sie setzt voraus, dass der Körper zur Ruhe gekommen ist, und ein Körper, der sich durch ein Fluid bewegt, nach oben beschleunigt oder hineinfallen gelassen wird, durchläuft Zustände, die diese Rechnung nicht beschreibt. Sie benutzt einen einzigen Wert für g, ist also eine Rechnung für die Erdoberfläche und nicht für einen Körper im Orbit, wo alles praktisch Auftrieb hat und nichts sinkt. Und die Dichte ist hier eine einzige Zahl je Fluid; Temperatur und Salzgehalt stecken in dem Wert, den Sie eintippen, statt mitgeführt zu werden — Meerwasser bei 4 °C ist dichter als die 1.025 der Tabelle, und der Unterschied ist messbar.

Wie lautet die Formel für den Auftrieb?

Die Auftriebskraft ist so groß wie die Gewichtskraft des verdrängten Fluids: F = ρ × Vd × g, mit der Dichte ρ, dem eingetauchten Volumen Vd und g = 9,80665 m/s². Ein Holzklotz von 3 Litern und 1,8 kg verdrängt 1,8 Liter Süßwasser, das 17,652 N wiegt; das ist die Kraft nach oben, und sie gleicht die 17,652 N Gewichtskraft des Klotzes genau aus.

Lässt sich vorher berechnen, ob ein Körper schwimmt oder sinkt?

Vergleichen Sie die Dichte des Körpers mit der des Fluids. Liegt sie darunter, schwimmt er, und der eingetauchte Anteil ist das Verhältnis der beiden Werte — 0,5 kg pro Liter schwimmt in Wasser zu 50 Prozent eingetaucht. Sind beide gleich, schwebt der Körper vollständig eingetaucht. Liegt sie darüber, sinkt er, und keine Lage ändert daran etwas. Ein Aluminiumblock von 2 Litern und 5,4 kg hat 2.700 kg/m³ gegenüber 1.000 beim Wasser, er sinkt also, und 33,3 N seiner Gewichtskraft bleiben ungedeckt.

Warum schwimmt ein Schiff aus Stahl, eine Schraube aus Stahl aber nicht?

Weil das Schiff zum größten Teil aus Luft besteht. Ob etwas schwimmt, hängt von der mittleren Dichte ab, nicht vom Material: Ein Rumpf, der ein großes Luftvolumen umschließt, hat eine mittlere Dichte weit unter der des Wassers und schwimmt, während eine massive Schraube die 7.850 kg/m³ des Stahls hat und es nicht kann. Es ist beide Male dieselbe Rechnung — ein Stahlblock von 1 Liter bräuchte 7,85 Liter Verdrängung und hat nur 1, er sinkt also mit 67,2 N, die fehlen.

Was sagt mir der eingetauchte Anteil?

Er ist der Anteil des Körpers unter der Oberfläche und entspricht der Dichte des Körpers geteilt durch die Dichte des Fluids. Bei einem schwimmenden Körper ist die Auftriebskraft immer gleich seiner Gewichtskraft, dieser Anteil ist also genau der, der dafür nötig ist — die Größe des Körpers geht nicht in ihn ein. Lesen Sie ihn als Reserve: 60 Prozent heißt, 40 Prozent des Körpers liegen noch über Wasser und man kann weiter beladen; 95 Prozent heißt, die nächste Welle oder das nächste Kilogramm drückt ihn unter.

Was ist neutraler Auftrieb?

Der Fall, in dem die Dichte des Körpers gleich der des Fluids ist. Er ist dann vollständig eingetaucht und die Nettokraft genau null — er steigt nicht und sinkt nicht, sondern bleibt, wo man ihn hinlegt. Die Seite kennzeichnet das getrennt vom Schwimmen, und der Unterschied ist wichtig: Ein vollständig eingetauchter Körper im Gleichgewicht ist ein U-Boot oder ein Taucher im Trimm, kein Boot. Alles mit der Dichte von Wasser erfüllt die Bedingung, und deshalb stellt ein Taucher seinen Auftrieb über Luft in der Weste ein und nicht allein über Gewichte.

Hängt die Auftriebskraft davon ab, wie tief der Körper liegt?

Nein, bei einem inkompressiblen Fluid nicht. Der Druck auf die Unterseite eines eingetauchten Körpers ist größer als auf die Oberseite, und die Differenz — also der Auftrieb — hängt nur von der Höhe des Körpers ab, nicht von seiner Tiefe. Ein Block in einem Meter Tiefe und derselbe Block in hundert Metern spüren dieselbe Kraft nach oben; was sich mit der Tiefe ändert, ist der absolute Druck auf jede Fläche, und der zerdrückt Dinge, statt sie zu heben. Die Seite ist deshalb von der Tiefe unabhängig, und sie hat kein Feld dafür, weil keines nötig ist.

• Archimedes' Principle (College Physics 2e, §11.7) — the buoyant force as the weight of the displaced fluid, and floating as the case where it equals the object's weight — OpenStax
• Buoyancy — the relation between submerged fraction and the ratio of densities, and the distinction between neutral buoyancy and a body resting on the bottom — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — the densities of water and mercury in kg/m³, standard gravity as 9.80665 m/s², and the exact factors behind the litre, the cubic foot and the pound used above — National Institute of Standards and Technology