Terminalgeschwindigkeit-Rechner

Terminalgeschwindigkeit = √( 2 × Masse × g ÷ ( Dichte × Stirnfläche × c_w ) ) Luftwiderstandskraft = Masse × g

m

Die Masse des fallenden Körpers in Kilogramm — das Feld nimmt auch Pfund, Gramm und Tonnen an

g

Die Normfallbeschleunigung, 9,80665 m/s² — der durchgängig verwendete Wert; die Seite behandelt das Fallen nahe der Erdoberfläche und nicht auf dem Mars oder dem Mond

ρ

Die Dichte des Mediums, durch das gefallen wird, in kg/m³ — 1,225 für Luft auf Meereshöhe und bei 15 °C, 1.025 für Meerwasser. Das Feld nimmt auch g/cm³ und lb/ft³ an

A

Die Stirnfläche in Quadratmetern — die Silhouette, die der Körper der Strömung entgegenstellt, und bei einem Menschen der ganze Unterschied zwischen 196 km/h in Bauchlage und 340 km/h kopfüber

c_w

Der Strömungswiderstandskoeffizient, dimensionslos — wie stumpf die Form ist. Rund 1,28 für eine senkrecht angeströmte Platte und 0,3 für einen Pkw; die Referenztabelle führt sechs Formen. In der angelsächsischen Literatur heißt dieselbe Größe C_d

Diese Seite ist die richtige, sobald etwas weit genug fällt, dass die Luft eine Rolle spielt — ein Fallschirmspringer, eine Kappe, ein Hagelkorn, eine Drohne, ein heruntergefallenes Werkzeug, ein Ball. Sie beantwortet die beiden Fragen, die die Formel des freien Falls nicht beantworten kann: wie schnell der Körper tatsächlich wird und ob das schnell genug ist, um gefährlich zu sein. Die Formel des freien Falls sagt immer weiter mehr Geschwindigkeit voraus, was nach ein paar Sekunden in Luft nicht mehr stimmt; diese Seite liefert stattdessen die Obergrenze. Zwei Gewohnheiten machen die Antworten brauchbarer. Erstens die Stirnfläche richtig treffen, denn sie ist die Eingabe, die am schlechtesten geschätzt wird und von der die Geschwindigkeit am stärksten abhängt: ein Mensch ändert sie allein durch die Haltung um den Faktor drei, und das ist der Faktor 1,7 in der Geschwindigkeit. Zweitens den Strömungswiderstandskoeffizienten als das behandeln, was er ist, nämlich eine Größenordnung, und lieber zur Referenztabelle greifen als zu einer erinnerten Dezimalzahl — der Koeffizient einer Kugel wandert mit der Reynolds-Zahl von 0,47 auf etwa 0,1, und genau diesen Effekt nutzen die Dellen eines Golfballs aus.

1. Ein Springer von 200 lb in Bauchlage

   1. 200 lb = 90,718 kg; 7,5 sq ft = 0,6968 m² (das Flächenfeld rechnet in Quadratmetern)
   2. Luftwiderstandskraft bei der Endgeschwindigkeit: 90,718 × 9,80665 = 889,64 N, also schlicht das Gewicht — genau das bedeutet Endgeschwindigkeit
   3. Nenner: 1,225 × 0,6968 × 0,7 = 0,5975
   4. Zähler: 2 × 889,64 = 1.779,29
   5. Endgeschwindigkeit: √(1.779,29 ÷ 0,5975) = √2.978 = 54,6 m/s
   6. In den anderen Einheiten: 196,5 km/h

   Das ist die Zahl, die jeder Fallschirmspringer irgendwann lernt: rund 200 km/h in Bauchlage, im normalen Bogen. Bemerkenswert ist, was der dritte Schritt tatsächlich sagt — die Luftwiderstandskraft ist gleich dem Gewicht, denn das ist die Definition des Endzustands. Die Seite druckt sie eigens aus, damit dieses Gleichgewicht zu sehen ist statt geglaubt werden zu müssen. Bemerkenswert ist außerdem, dass sich die Masse auf eine interessante Weise herausrechnet: ein schwererer Springer fällt schneller, aber nur mit der Wurzel, 20 Prozent mehr Gewicht bringen also rund 10 Prozent mehr Geschwindigkeit.

2. Derselbe Springer, kopfüber

   1. Gleiche Masse und gleicher Koeffizient — es ändert sich nur die Stirnfläche, von 7,5 sq ft auf 2,5 sq ft
   2. 2,5 sq ft = 0,2323 m², ein Drittel der Fläche in Bauchlage
   3. Nenner: 1,225 × 0,2323 × 0,7 = 0,1992
   4. Endgeschwindigkeit: √(1.779,29 ÷ 0,1992) = √8.932 = 94,5 m/s
   5. In den anderen Einheiten: 340,3 km/h
   6. Luftwiderstandskraft: unverändert 889,64 N

   Auf ein Drittel der Fläche gesenkt, steigt die Geschwindigkeit um √3 = 1,73, also von rund 196 km/h auf 340 km/h — und das ist der ganze Grund, warum es den Wettkampf im Speed-Skydiving gibt und warum dieselbe Person in Jeans langsamer fällt als in einem engen Anzug. Die Luftwiderstandskraft ist in beiden Haltungen identisch, weil sich das Gewicht nicht geändert hat; geändert hat sich die Geschwindigkeit, bei der diese Kraft erreicht wird. Zum Maßstab: 340 km/h ist ungefähr die Endgeschwindigkeit, die ein menschlicher Körper ganz ohne Fallschirm erreicht, und deshalb lautet das Notfallverfahren bei einem Zwischenfall im Sprung, flach zu werden, und nicht, nach irgendetwas zu greifen.

3. Derselbe Springer unter einer Kappe von 540 sq ft

   1. 540 sq ft = 50,168 m² — das ist die Fläche der Kappe und nicht die des Springers
   2. Strömungswiderstandskoeffizient einer offenen Kappe: 1,42, die stumpfste Form der Referenztabelle
   3. Nenner: 1,225 × 50,168 × 1,42 = 87,28
   4. Endgeschwindigkeit: √(1.779,29 ÷ 87,28) = √20,39 = 4,5 m/s
   5. In den anderen Einheiten: 16,3 km/h
   6. Absinkzeit aus 900 m bei dieser Rate: etwa 3,4 Minuten

   Die ganze Seite in einem Vergleich: derselbe Mensch, dasselbe Gewicht, eine Luftwiderstandskraft, die sich überhaupt nicht bewegt hat, und eine Sinkgeschwindigkeit, die zwölfmal kleiner ist. Am Springer hat sich nichts geändert; die Fläche ist um den Faktor 72 gewachsen und der Koeffizient um den Faktor zwei, und die Geschwindigkeit ging mit der Wurzel daraus. Die 16 km/h sind die Zahl, die sich gegen die eigene Erfahrung prüfen lässt — ein Fallschirmabsprung ist ein Schritt von einer hohen Mauer, und deshalb kommt es überhaupt auf die Landetechnik an und deshalb ist eine Kappe, die sich nicht ganz öffnet, überlebbar, eine harte Landung aber nicht.

Die Formel setzt voraus, dass die Luftwiderstandskraft mit dem Quadrat der Geschwindigkeit wächst, was bei hohen Reynolds-Zahlen eine gute Näherung ist und bei niedrigen eine schlechte: bei einem sehr kleinen oder sehr langsamen Körper — ein Staubkorn, eine absinkende Zelle, ein Ballon — ist der Widerstand eher linear in der Geschwindigkeit, und die tatsächliche Endgeschwindigkeit weicht von der dieser Seite ab. Der Strömungswiderstandskoeffizient ist auch bei fester Form keine Konstante; er hängt von der Reynolds-Zahl ab, die 0,47 der Kugel oben gilt also für eine glatte Kugel in einem bestimmten Bereich und fällt bei höheren Geschwindigkeiten gegen 0,1. Die Seite sagt nichts über die Annäherung an die Endgeschwindigkeit: sie liefert die Obergrenze und nicht die Zeit dorthin, und die ersten Sekunden eines Sturzes beschreibt tatsächlich die Formel des freien Falls. Sie setzt ein ruhendes und gleichförmiges Medium voraus, Wind, Thermik, ein Fall durch Wolken oder ein Absinken in dichtere Luft nahe dem Boden liegen also außerhalb — das Dichtefeld ist eine einzelne Zahl und kein Profil. Sie setzt voraus, dass der Körper nicht taumelt, rotiert oder seine Form ändert, was bei einem Menschen eine gehaltene Haltung bedeutet; ein Körper, der ins Trudeln gerät, ist ein anderes Problem. Der Auftrieb bleibt unberücksichtigt, was für alles zählt, was leicht genug ist, um im Medium zu schweben, und die Kompressibilität der Luft oberhalb von etwa 100 m/s ebenfalls, wo die Zahlen hier den Widerstand zunehmend überschätzen. Und es ist eine Rechnung für einen einzelnen Körper: eine Kappe mit Last, ein Bündel von Körpern an einer Leine oder alles mit einer Verbindung ist ein System und kein Körper.

Wie lautet die Formel für die Terminalgeschwindigkeit?

v = √(2mg ÷ ρ·A·c_w). Der Zähler ist das Doppelte des Gewichts; der Nenner ist die Dichte des Mediums mal der Stirnfläche mal dem Strömungswiderstandskoeffizienten, und alle drei bremsen den Fall. Für einen Springer von 80 kg in Bauchlage — 0,7 m² und c_w 0,7 in Luft mit 1,225 kg/m³ — ergibt das 51,1 m/s, also rund 184 km/h. Die Wurzel ist der Grund, warum die doppelte Masse nur etwa das 1,41-Fache der Geschwindigkeit bringt.

Wie schnell fällt ein Fallschirmspringer?

In Bauchlage im normalen Bogen rund 196 km/h und kopfüber mit angelegten Armen und Beinen rund 340 km/h. Beide Werte kommen aus derselben Formel und demselben Gewicht: zwischen ihnen ändert sich nur die Stirnfläche, von 7,5 auf 2,5 Quadratfuß. Unter einer Kappe von 540 Quadratfuß sinkt derselbe Springer mit etwa 16 km/h, das ist ein Schritt von einer Mauer und kein Sturz.

Fällt ein schwererer Körper schneller?

Er erreicht eine höhere Endgeschwindigkeit, aber nur mit der Wurzel der Masse, die Wirkung ist also viel schwächer, als man erwartet. Der Weg von 80 kg auf 90,7 kg — 13 Prozent schwerer — hebt die Geschwindigkeit in Bauchlage von 51,1 auf 54,6 m/s, also um etwa 7 Prozent. Im Vakuum gibt es überhaupt keinen Unterschied: ohne Luft fallen alle Körper gleich schnell. In Luft ist der Unterschied real, aber bescheiden, und die Form ist weit wichtiger als das Gewicht.

Welchen Strömungswiderstandskoeffizienten nehme ich?

Man nehme ihn aus der Referenztabelle und nicht aus dem Gedächtnis, und man behandle ihn als Band statt als Dezimalzahl: 1,28 für eine senkrecht angeströmte Platte, 1,42 für eine offene Fallschirmkappe, 1,2 für einen quer angeströmten langen Zylinder, 0,7 für einen Menschen in Bauchlage, 0,47 für eine glatte Kugel und 0,3 für einen Pkw. Wer zwischen zwei Zeilen liegt, nimmt die stumpfere — der Koeffizient sinkt, je stromlinienförmiger eine Form wird, und zu hoch zu schätzen hält die Antwort auf der sicheren Seite.

Worin unterscheidet sich die Terminalgeschwindigkeit von der Geschwindigkeit im freien Fall?

Der freie Fall ist das, was gilt, bevor die Luft eine Rolle spielt, und er hat keine Geschwindigkeitsgrenze — die Formel v = g × t sagt immer weiter mehr Geschwindigkeit voraus. Die Terminalgeschwindigkeit ist die Obergrenze, die der Luftwiderstand setzt, und sie ist erreicht, wenn die Luftwiderstandskraft auf das Gewicht des Körpers angewachsen ist. Bei einem Menschen geschieht das nach etwa 10 bis 12 Sekunden und rund 450 Metern Fall, danach ändert sich die Geschwindigkeit nicht mehr. Unterhalb von etwa 5 m/s oder bei Körpern kleiner als ein Sandkorn ist das quadratische Widerstandsgesetz, mit dem diese Seite rechnet, das falsche Modell.

Was geschieht, wenn ich statt in Luft in Wasser falle?

Die Dichte des Mediums geht von 1,225 kg/m³ auf etwa 1.025, ist also rund 840-mal größer, und die Endgeschwindigkeit fällt um die Wurzel daraus — ein Mensch erreicht in Meerwasser etwa 1,8 m/s statt 51 m/s. Das ist die ehrliche Lesart der Formel, und es ist zugleich der Grund, warum ein Sturz aus großer Höhe ins Wasser trotzdem tödlich ist: man erreicht die Wasseroberfläche zuerst mit der Endgeschwindigkeit der Luft, und das Wasser muss einen dann in Sekundenbruchteilen abbremsen.

• Drag Forces (College Physics 2e, §5.2) — the quadratic drag law, the drag coefficient, and terminal velocity as the speed where drag equals weight — OpenStax
• Drag coefficient of common shapes — the reference values for a flat plate, a sphere, a cylinder and a car body that the table below is drawn from — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — standard gravity as 9.80665 m/s², the density of air and water in kg/m³, and the exact factors behind the square-foot and pound conversions used above — National Institute of Standards and Technology