Zentripetalkraft-Rechner

Zentripetalkraft = Masse × Geschwindigkeit² ÷ Radius Zentripetalbeschleunigung = Geschwindigkeit² ÷ Radius g-Kraft = Beschleunigung ÷ 9,80665

m

Masse in Kilogramm — das Feld nimmt auch Gramm, Tonnen und Pfund. Sie bestimmt die Kraft, aber nicht die Beschleunigung: Ein schwereres Auto braucht für dieselbe Kurve mehr Haftung und fährt sie doch genau gleich

v

Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde, und dieser Term wird quadriert — das Feld nimmt auch km/h, mph und ft/s. Zehn Prozent schneller verlangt 21 Prozent mehr Kraft, und deshalb ist Geschwindigkeit in Kurven wirksamer als alles andere

r

Radius der Kurve in Metern, vom Mittelpunkt des Kreises zum Körper gerechnet und nicht als Breite der Fahrbahn. Er steht im Nenner: Eine weitere Kurve braucht weniger Kraft, und zwar im umgekehrten Verhältnis

a

Zentripetalbeschleunigung, v²/r, in m/s² — die Beschleunigung jeder gleichförmigen Kreisbewegung. Sie zeigt auch bei konstanter Geschwindigkeit zum Mittelpunkt, weil sich die Richtung der Geschwindigkeit in jedem Augenblick ändert

g

Dieselbe Beschleunigung in Vielfachen der Normfallbeschleunigung, 9,80665 m/s² je g. Auf der Straße ist diese Zahl zugleich der Reibungskoeffizient, den die Reifen brauchen; im Orbit ist sie die Schwerkraft, die zieht

Diese Seite ist für alles, was eine Kurve fahren soll und wovon Sie wissen wollen, was das kostet: ein Auto oder ein Fahrrad in der Kurve, ein Zug im Bogen, eine Kugel am Faden, ein Satellit oder eine Raumstation im Orbit, ein Fahrgast im Looping, eine Probe in der Zentrifuge, ein geladenes Teilchen im Magnetfeld. Die Frage ist immer dieselbe — wie viel Kraft nach innen, und bringt der verfügbare Urheber sie auf. Zwei Gewohnheiten helfen. Erstens: Lesen Sie die g-Zahl statt der Newton, denn sie lässt sich von einer Lage auf die andere übertragen. 0,637 g auf der Straße ist ein Reibungskoeffizient, den die Reifen erfüllen können, 4 g im Looping brauchen Gurt und eine kräftige Nackenmuskulatur, und 0,884 g im Orbit ist einfach die Schwerkraft, die ohnehin da war. Zweitens: Prüfen Sie den Urheber, bevor Sie der Antwort glauben. Wenn die Seite für eine Kurve bei Nässe einen Reibungskoeffizienten von 1,2 verlangt, dann heißt das nicht, dass die Kraft groß ist, sondern dass diese Kurve mit dieser Geschwindigkeit nicht fahrbar ist — ein nasser Reifen liefert keine 1,2.

1. Ein Auto von 1.500 kg mit 90 km/h auf einer Kurve von 100 m Radius

   1. Geschwindigkeit 25 m/s, das entspricht 90 km/h; der Radius von 100 m geht direkt in die Formel
   2. Beschleunigung: 25² ÷ 100 = 625 ÷ 100 = 6,25 m/s²
   3. Kraft: 1.500 × 6,25 = 9.375 N, das sind 2.107,6 lbf
   4. In g: 6,25 ÷ 9,80665 = 0,637 g

   Die g-Zahl ist die, die man mitnimmt. Auf der Straße ist sie zugleich der Reibungskoeffizient, den die Reifen liefern müssen, und 0,637 liegt deutlich innerhalb der 0,7 bis 0,9, die ein trockener Reifen auf gutem Asphalt schafft — diese Kurve geht also auf, mit mäßiger Reserve. Bei Nässe liefert derselbe Reifen etwa 0,4 bis 0,5, die Zahl liegt darüber, und aus der Frage nach der nötigen Kraft wird die Frage, wie schnell diese Kurve überhaupt fahrbar ist: etwa 20 m/s oder 72 km/h. Die Kraft selbst ist eine andere Größe — 9.375 N sind ungefähr das Gewicht eines Kleinwagens, der zwei oder drei Sekunden lang seitlich an den Reifen zieht.

2. Dasselbe Auto auf einem Radius von 50 m, der Hälfte

   1. Nur der Radius ändert sich: 50 m, die Hälfte des vorigen Beispiels
   2. Beschleunigung: 625 ÷ 50 = 12,5 m/s²
   3. Kraft: 1.500 × 12,5 = 18.750 N, also 4.215,2 lbf
   4. In g: 12,5 ÷ 9,80665 = 1,275 g

   Halber Radius verdoppelt die Anforderung, und 1,275 g liegt jenseits dessen, was ein Straßenreifen kann — darum geht es in diesem Beispiel. Die nötige Kraft fällt nicht allmählich aus, wenn eine Kurve enger wird; sie überschreitet die verfügbare Haftung bei einem bestimmten Radius, und jenseits davon fährt das Auto schlicht nicht mehr um die Kurve. Deshalb fühlt sich dieselbe Geschwindigkeit auf einer Autobahnausfahrt völlig anders an als auf einem Kreisverkehr: Am Auto hat sich nichts geändert, der Radius ging von 100 m auf 50 m. Die Masse kürzt sich aus der g-Zahl heraus, ein leichteres Auto ist hier also nicht sicherer — es braucht anteilig weniger Kraft von Reifen, die anteilig weniger Haftung haben.

3. Die Internationale Raumstation: 420 t mit 27.576 km/h

   1. 7.660 m/s sind 27.576 km/h; der Bahnradius beträgt 6.771 km, gemessen vom Erdmittelpunkt, also rund 400 km über der Oberfläche
   2. Beschleunigung: 7.660² ÷ 6.771.000 = 58.675.600 ÷ 6.771.000 = 8,666 m/s²
   3. Kraft: 420.000 × 8,666 = 3.639.603 N, also 818.215,3 lbf
   4. In g: 8,666 ÷ 9,80665 = 0,884 g

   Die Station wiegt 420 Tonnen, und die Kraft nach innen beträgt 3,6 Meganewton — und nichts zieht an ihr, in dem Sinn, dass kein Seil und kein Reifen beteiligt ist. Die Schwerkraft ist der ganze Urheber, und 0,884 g ist genau die Stärke der Schwerkraft in dieser Höhe. Das ist das allgemeine Muster für Umlaufbahnen: Die nötige Zentripetalkraft ist immer gleich der vorhandenen Schwerkraft, deshalb fliegt der Körper um den Planeten, statt hineinzustürzen oder davonzufliegen. Es ist auch der Grund, warum die Besatzung schwebt: Sie fällt mit 0,884 g, und die Station um sie herum fällt genauso, es drückt sie also nichts auf einen Boden. Beachten Sie außerdem, dass die Beschleunigung nicht klein ist — die Station beschleunigt stärker zur Erde hin als ein Auto in der Grenzlage seiner Kurve.

Die Formel beschreibt eine Bewegung auf einem Kreis mit konstanter Geschwindigkeit, und die Beschleunigung zeigt nur deshalb zum Mittelpunkt, weil die Geschwindigkeit konstant ist — ein Auto, das in der Kurve bremst oder beschleunigt, hat zusätzlich eine tangentiale Beschleunigung, und die Gesamtheit ist die Vektorsumme beider, also mehr, als diese Seite angibt. Sie setzt voraus, dass die Kurve ein Kreis ist; eine echte Straßenkurve ist eine Klotoide oder Spirale, ihr Radius ändert sich also entlang der Strecke und die Spitzenanforderung liegt an einer Stelle statt überall. Woher die Kraft kommt, sagt die Seite nicht, und das ist in der Praxis die Annahme, die am ehesten falsch ist: Ein Reifen kann nur liefern, was seine Haftung zulässt, ein Seil hat eine Bruchlast, und eine überhöhte Kurve bringt einen Teil der Kraft über die Normalkraft auf statt über die Reibung, was diese Seite nicht abbildet. Sie behandelt den Körper als Punktmasse und ignoriert damit, dass ein echtes Auto wankt, dass seine Reifen die Last ungleich verteilen und dass sein Schwerpunkt über der Fahrbahn liegt — ein hoch gebautes Fahrzeug kann kippen, bevor es rutscht. Sie setzt voraus, dass der Körper auf einem festen Radius bleibt; ein Satellit, der langsam absinkt, ein Auto, das über die Vorderräder nach außen schiebt, und ein Fahrer, der sich in die Kurve legt, liegen alle außerhalb. Nichts hier ist relativistisch: Bei Bahngeschwindigkeiten liegt die Korrektur in der achten Dezimalstelle, aber das Feld nimmt auch Geschwindigkeiten an, bei denen das nicht mehr gilt, und ein geladenes Teilchen im Magnetfeld ist ein eigenes Problem mit eigener Formel.

Wie lautet die Formel für die Zentripetalkraft?

F = mv²/r, und die Beschleunigung allein ist a = v²/r. Ein Auto von 1.500 kg braucht bei 25 m/s auf einem Radius von 100 m die Kraft 1.500 × 625 ÷ 100 = 9.375 N, das ist eine Beschleunigung von 6,25 m/s² oder 0,637 g. Achten Sie darauf, wo der Radius steht: im Nenner. Wird die Kurve von 100 m auf 50 m enger, verdoppelt sich die Kraft — deshalb fühlt sich dieselbe Geschwindigkeit auf einer Ausfahrt und in einem Kreisverkehr völlig verschieden an.

Was ist der Unterschied zwischen Zentripetal- und Zentrifugalkraft?

Zentripetal ist die echte Kraft nach innen im Bezugssystem des Bodens, und sie hat immer einen Urheber — die Haftung der Reifen, die Spannung eines Fadens, die Schwerkraft bei einem Satelliten. Zentrifugal ist die scheinbare Kraft nach außen, die erscheint, wenn man im rotierenden System rechnet, und nach außen drückt dabei nichts. Die Beträge sind gleich, beide Seiten liefern also dieselbe Zahl; der Unterschied ist die Frage, die man stellt. Sind Sie das Auto, wollen Sie wissen, ob die Reifen sie aufbringen. Sind Sie die Maschine, die die Last hält, wollen Sie wissen, was Ihre Lager aufnehmen müssen.

Was bringt die Zentripetalkraft auf, wenn ein Auto durch eine Kurve fährt?

Die Reibung zwischen Reifen und Fahrbahn, und in einer überhöhten Kurve stammt ein Teil davon aus der Normalkraft statt aus der Haftreibung. Eine überhöhte Kurve ist deshalb bei gleicher Geschwindigkeit weniger anspruchsvoll als eine ebene, und genau darum sind Autobahnkreuze und Steilwandkurven so gebaut. Deshalb hat die g-Zahl auf der Straße eine Doppelrolle: Sie ist zahlenmäßig gleich dem Reibungskoeffizienten, den die Reifen aufbringen müssen, ohne dass eine Masse darin vorkommt. Ein trockener Reifen auf gutem Asphalt schafft etwa 0,7 bis 0,9, bei Nässe etwa 0,4 bis 0,5, auf Eis unter 0,1. Verlangt die Seite mehr, als die Fahrbahn hergibt, dann ist die ehrliche Antwort nicht eine größere Kraft, sondern eine niedrigere Geschwindigkeit.

Warum braucht eine weitere Kurve weniger Kraft?

Weil der Radius im Nenner steht. Von 100 m auf 200 m Radius halbiert sich die nötige Kraft bei gleicher Geschwindigkeit, von 100 m auf 50 m verdoppelt sie sich. Dieses umgekehrte Verhältnis ist der Grund, warum Autobahnkreuze mit langen, weiten Bögen gebaut werden, und ebenso der Grund, warum ein Kreisverkehr bei derselben Geschwindigkeit wie eine offene Kurve heftig wirkt. Es ist zugleich der billigste Weg, die Anforderung zu senken, denn eine Verringerung der Geschwindigkeit muss gegen das Quadrat anarbeiten, während ein größerer Radius direkt wirkt.

Braucht ein schwereres Auto in der Kurve mehr Haftung?

Es braucht mehr Kraft im Verhältnis zu seiner Masse und hat zugleich mehr zur Verfügung, weil die Reibung, die ein Reifen aufbringen kann, proportional zur Last auf ihm ist — in erster Näherung ist die Kurvengeschwindigkeit also gleich. Deshalb kommt die Masse in der g-Zahl dieser Seite gar nicht vor: 0,637 g ist die Anforderung an die Reifen, ob das Auto 1.500 kg oder 3.000 kg wiegt. Für alles andere zählt die Masse sehr wohl — die Kraft in Newton, die Wärme im Reifen, die Last auf der Aufhängung —, und die saubere Kürzung bricht zusammen, wenn der Reifen an seiner Grenze arbeitet; deshalb sind schwere Fahrzeuge in der Praxis langsamer in Kurven.

Warum braucht die Raumstation eine Zentripetalkraft, wenn nichts an ihr zieht?

Es zieht etwas an ihr: die Schwerkraft. In 400 km Höhe beträgt die Erdanziehung noch etwa 0,884 g, und die 420 Tonnen der Station brauchen 3,6 Meganewton Kraft nach innen, um mit 7.660 m/s auf ihrer Bahn zu bleiben. Genau das bringt die Schwerkraft auf, und das heißt, im Orbit zu sein — die Station fällt ständig zur Erde und bewegt sich gleichzeitig schnell genug seitwärts, dass der Boden im selben Maß wegkrümmt. Nichts hält sie oben, und deshalb schwebt die Besatzung: Sie und die Station fallen gemeinsam.

• Centripetal Acceleration (College Physics 2e, §6.2) — a = v²/r, why the acceleration points inward at constant speed, and the worked car and orbit examples — OpenStax
• Centripetal force — the force that always has a supplier, the banked-curve and orbiting-satellite cases, and the friction coefficient a corner demands — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — standard gravity as 9.80665 m/s², and the exact mile, foot and pound factors used in the examples above — National Institute of Standards and Technology