Zentrifugalkraft-Rechner

Zentrifugalkraft = Masse × ω² × Radius ω = 2π × Drehzahl ÷ 60 Umfangsgeschwindigkeit = ω × Radius

m

Masse des rotierenden Körpers in Kilogramm — das Feld nimmt auch Gramm, Tonnen und Pfund

ω

Winkelgeschwindigkeit in rad/s. Das Feld nimmt rpm direkt und rechnet intern um: ω = 2π × Drehzahl ÷ 60, 1.400 rpm sind also 146,61 rad/s. Dieser Term wird quadriert

r

Radius von der Drehachse bis zum Schwerpunkt, in Metern. Entscheidend ist der Abstand zur Masse, nicht die Größe der Trommel — eine Last an der Wand einer Trommel mit 0,5 m Durchmesser sitzt bei 0,25 m

v

Umfangsgeschwindigkeit, ω × r, angegeben in m/s und in mph. Es ist die Geschwindigkeit, mit der der Körper davonflöge, wenn die Halterung verschwände, und es ist der Eingabewert, den die Seite zur Zentripetalkraft verlangt

Diese Seite ist für den, der etwas dreht und wissen will, was die Konstruktion aushalten muss: eine Waschmaschinentrommel am Ende eines Programms, ein Lüfter- oder Gebläserad, eine Schleifscheibe, eine Turbinenschaufel, den Rotor einer Zentrifuge, eine Festplattenscheibe, ein Rad, das ein Auswuchtgewicht verloren hat. Die Frage ist in allen Fällen dieselbe — halten die Lager und das Gehäuse den Zug aus — und die Antwort ist diese Kraft. Zwei Dinge machen sie brauchbarer. Erstens: Der Radius ist der Abstand von der Achse zur Masse, nicht der Durchmesser der Maschine; halber Radius heißt halbe Kraft, und eine Last, die nicht mittig sitzt, liegt irgendwo zwischen null und der Wand. Zweitens: Lesen Sie das Ergebnis nicht als Sicherheitsreserve für sich. Interessant ist meist das Verhältnis der Kraft zur Gewichtskraft des Körpers; dieselbe Last am selben Radius ist bei 2.800 rpm rund 2.200-mal so schwer wie im Stillstand. Dieses in g gemessene Verhältnis — die g-Kraft — ist die Angabe, mit der Zentrifugen ausgelegt werden, und es ist, anders als die Kraft, für jede Probenmasse gleich. Wenn Sie dagegen etwas von außen beim Kreisen beobachten — ein Auto in der Kurve, eine Kugel am Faden, einen Satelliten im Orbit —, dann passt die Seite zur Zentripetalkraft zu Ihrer Frage.

1. Eine Last von 2 kg bei 0,254 m Radius und 1.400 rpm

   1. 1.400 rpm = 1.400 × 2π ÷ 60 = 146,61 rad/s
   2. Radius: 0,254 m (das Feld nimmt Meter)
   3. Kraft: 2 × 146,61² × 0,254 = 10.918,9 N
   4. In den anderen Einheiten: 10,919 kN, also 2.454,7 lbf — etwa 1,1 Tonnen
   5. Umfangsgeschwindigkeit: 146,61 × 0,254 = 37,24 m/s, also 83,3 mph

   Zehn Kilonewton sind die Zahl, die man festhalten sollte: Aus einer Last, die man mit einer Hand trägt, wird eine Tonne Zug an der Trommel, sobald die Maschine auf Drehzahl ist. An der Last hat sich nichts geändert — es sind dieselben 2 kg nasser Wäsche —, die Kraft kommt vollständig aus der Drehung. Sie ist auch die Kraft, die das Schleuderlager aufnehmen muss, und sie erklärt das Poltern einer Maschine mit einem Ziegel darin: Die Last sitzt nicht mittig, der Radius ihres Schwerpunkts läuft also einmal pro Umdrehung herum, und die ganze Maschine reagiert darauf.

2. Dieselbe Last, Schleuderdrehzahl auf 2.800 rpm verdoppelt

   1. 2.800 rpm = 293,22 rad/s — genau die doppelte Winkelgeschwindigkeit des vorigen Beispiels
   2. Kraft: 2 × 293,22² × 0,254 = 43.675,4 N
   3. Vergleich mit dem vorigen Beispiel: 10.918,9 N, die Kraft ist also auf das 4,0-Fache gestiegen
   4. In den anderen Einheiten: 43,675 kN, also 9.818,6 lbf — etwa 4,5 Tonnen
   5. Umfangsgeschwindigkeit: 74,48 m/s, also 166,6 mph — die hat sich nur verdoppelt

   Dieses Beispielpaar ist die ganze Seite. Eine Verdopplung der Drehzahl vervierfacht die Kraft, weil das ω in der Formel quadriert wird, während sich die Umfangsgeschwindigkeit nur verdoppelt, weil sie linear in ω ist. Maschinenbauer nutzen das kräftig aus: Eine höhere Schleuderdrehzahl ist der billigste Weg, Wasser aus der Wäsche zu bekommen, und bezahlt wird er von den Lagern — doppelte Drehzahl ist vierfache Last. Es erklärt auch, warum die letzten paar hundert Umdrehungen eines Schleudergangs die sind, die die Maschine schütteln, und warum eine Unwucht, die bei 1.400 rpm hinnehmbar ist, bei 2.800 rpm ein Serviceeinsatz wird.

3. Eine Ultrazentrifuge: 50 g bei 0,08 m Radius und 100.000 rpm

   1. 100.000 rpm = 10.471,98 rad/s
   2. Radius: 0,08 m (das Feld nimmt Meter)
   3. Kraft: 0,05 × 10.471,98² × 0,08 = 438.649,1 N
   4. In den anderen Einheiten: 438,649 kN, also 98.612,2 lbf
   5. Umfangsgeschwindigkeit: 10.471,98 × 0,08 = 837,76 m/s — Mach 2,4, und 1.874 mph

   Fünfzig Gramm sind ein Probenröhrchen; die Kraft darauf beträgt fast 45 Tonnen, also knapp das Millionenfache seines eigenen Gewichts. Mit diesem Verhältnis wird eine Zentrifuge tatsächlich verkauft, und deshalb muss der Rotor aus Titan oder Kohlenstofffaser gefräst werden statt aus Aluminium: Das Material muss diese Kraft an jedem Punkt seiner eigenen Masse aushalten, und der Rand des Rotors bewegt sich mit mehr als der doppelten Schallgeschwindigkeit. Nichts an dieser Zahl ist exotische Arithmetik — es ist dieselbe Formel wie bei der Waschmaschine, mit einer 70-fach höheren Drehzahl und einer 40-fach kleineren Masse, und die Drehzahl im Quadrat gewinnt deutlich.

Das ist eine Rechnung im rotierenden Bezugssystem, und die Kraft, die herauskommt, ist ein Trägheitseffekt und keine Wechselwirkung: Nach außen drückt nichts auf den Körper, und wenn man die Halterung durchtrennt, beschleunigt der Körper nicht nach außen, sondern fliegt tangential davon. Die Seite sagt also, was die Lager, das Seil oder das Gehäuse aufbringen müssen — die Gegenkraft zur Zentripetalkraft —, und nicht, was im Inertialsystem auf den Körper wirkt. Sie setzt einen starren Körper voraus, dessen Schwerpunkt auf dem eingetippten Radius liegt und der sich relativ zur Trommel nicht bewegt; eine Last, die mit steigender Drehzahl nach außen rutscht, ist eine andere Rechnung, und ein sich verformender rotierender Körper ebenso. Sie setzt eine gleichförmige Drehung voraus: Beim Hoch- und Runterfahren kommt eine tangentiale Kraft aus der Winkelbeschleunigung hinzu, die diese Seite nicht berechnet. Sie ignoriert die Schwerkraft und das Eigengewicht des Körpers, unterstellt also eine senkrechte Achse — bei waagerechter Achse schwankt die Lagerlast über eine Umdrehung, und genau das ist der Mechanismus hinter dem Rütteln einer unwuchtigen Maschine. Auftrieb und Strömungswiderstand eines Rotors in einem Fluid sind ignoriert, was bei einem Zentrifugenrotor in einer Luftkammer bei hoher Drehzahl zählt. Und das Ergebnis ist eine Zahl für einen einzelnen Körper: über die Spannungen im Inneren des Körpers, die Auswuchtung der Baugruppe oder die Tatsache, dass die höchste zulässige Drehzahl eines Rotors von der Festigkeit des Materials gesetzt wird und nicht von dieser Kraft, sagt sie nichts.

Wie lautet die Formel für die Zentrifugalkraft?

F = mω²r, mit der Masse m, dem Radius r von der Achse und der Winkelgeschwindigkeit ω in rad/s. Steht Ihre Drehzahl in rpm, rechnen Sie zuerst um: ω = 2π × Drehzahl ÷ 60, 1.400 rpm sind also 146,61 rad/s. Eine Last von 2 kg bei 0,25 m und 1.400 rpm ergibt 2 × 146,61² × 0,25 = 10.746,9 N, also etwas mehr als eine Tonne Kraft.

Ist die Zentrifugalkraft eine echte Kraft?

Nicht in dem Sinn, in dem es die Schwerkraft oder ein Seil ist. Im ruhenden Bezugssystem zeigt die einzige echte Kraft auf einen kreisenden Körper nach innen, zur Achse, und sie wird immer von etwas aufgebracht — einem Seil, einem Reifen, der Wand einer Trommel. Die Zentrifugalkraft ist das, was diese echte Kraft wird, wenn man im rotierenden Bezugssystem rechnet: eine scheinbare Kraft nach außen, die die echte Kraft nach innen ausgleicht, sodass dort nichts beschleunigt. Der Betrag stimmt in beiden Fällen, deshalb ist die Formel nützlich, aber es drückt kein Körper nach außen, und wenn die Halterung reißt, fliegt nichts nach außen, sondern tangential davon.

Warum ergibt die doppelte Drehzahl die vierfache Kraft?

Weil die Winkelgeschwindigkeit in F = mω²r quadriert wird. Von 1.400 auf 2.800 rpm verdoppelt sich ω, und 2² = 4, eine Last, die mit 10,9 kN zog, zieht also mit 43,7 kN. Die Umfangsgeschwindigkeit verdoppelt sich im selben Schritt nur, weil v = ωr linear in ω ist. Dieser Unterschied ist der Grund, warum Schleudern über die Drehzahl angegeben werden und nicht über die Geschwindigkeit der Trommelwand, und warum Maschinen am Ende eines Schleudergangs am stärksten rütteln.

Wie rechne ich rpm in rad/s um?

Mit 2π multiplizieren und durch 60 teilen, also ω = Drehzahl × 0,10472. Das ergibt 1.400 rpm = 146,61 rad/s, 2.800 rpm = 293,22 rad/s und 100.000 rpm = 10.471,98 rad/s. Das Feld auf dieser Seite nimmt rpm direkt und erledigt die Umrechnung für Sie; der Wert in rad/s ist trotzdem gut zu kennen, weil er der Wert ist, der quadriert wird, und weil die Radialbeschleunigung und die übrigen Drehformeln darin geschrieben sind.

Was ist der Unterschied zwischen Zentrifugal- und Zentripetalkraft?

Es ist derselbe Betrag aus zwei verschiedenen Bezugssystemen, und die Seite zur Zentripetalkraft berechnet genau dieselbe Zahl, nur aus der Umfangsgeschwindigkeit statt aus der Drehzahl. Zentripetal heißt die echte Kraft nach innen im ruhenden System — die Spannung im Seil, die Reibung zwischen Reifen und Fahrbahn, die Schwerkraft, die einen Satelliten hält. Zentrifugal heißt die scheinbare Kraft nach außen im rotierenden System, und die ist dann die nützliche, wenn Sie die Maschine sind, die die Last hält, denn es ist die Last, die Ihre Lager aufnehmen müssen. Im rotierenden Bezugssystem ist sie eine Scheinkraft, aber für die Auslegung ist sie die richtige Kraft — das ist die Unterscheidung, die in der deutschen Physikausbildung an dieser Stelle immer wieder geübt wird.

Warum wandert eine unwuchtige Waschmaschine über den Boden?

Weil der Schwerpunkt der Last nicht mehr auf der Achse liegt. Eine Unwucht von 2 kg in 0,25 m Abstand zieht bei 1.400 rpm mit etwa 10,7 kN, und diese Kraft zeigt im rotierenden System in eine feste Richtung — vom Boden aus gesehen dreht sie sich also einmal pro Umdrehung mit, die Maschine wird 23-mal in der Sekunde in die eine und dann in die andere Richtung gedrückt. Boden und Aufhängung können das nicht als ruhende Last aufnehmen, deshalb wandert die Maschine. Das Ganze skaliert außerdem mit dem Quadrat der Drehzahl, weshalb das Problem am Ende des Programms auftritt und nicht am Anfang.

• Centripetal Force (College Physics 2e, §6.3) — the real force in the inertial frame, and the apparent outward force that appears when you do the analysis in the rotating frame — OpenStax
• Centrifugal force — the rotating-frame treatment, the washing machine and centrifuge examples, and why the force vanishes in an inertial frame — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — radians per second as the SI unit of angular velocity, the exact pound and inch factors used above, and standard gravity — National Institute of Standards and Technology