Winkelgeschwindigkeit-Rechner

Winkelgeschwindigkeit = 2π ÷ Umdrehungsdauer Umfangsgeschwindigkeit = Winkelgeschwindigkeit × Radius Drehzahl in rpm = Winkelgeschwindigkeit × 60 ÷ 2π

n

Die Drehzahl, standardmäßig in rpm — das Feld nimmt auch rad/s, °/s und U/s. Es ist die Zahl vom Drehzahlmesser, vom Typenschild eines Motors oder von einem Rad, und sie muss größer als null sein. Zu den Einheiten: rpm ist die internationale Schreibweise für Umdrehungen je Minute und entspricht genau der im Deutschen ebenso üblichen U/min — dieselbe Größe, zwei Schreibweisen, und die Auswahlliste führt beide Seiten dieser Achse. Umdrehungen je Sekunde ist die handlichere Einheit beim Rechnen, weil eine Umdrehung 2π Radiant ist und eine Minute sechzig Sekunden hat; die Umrechnung ändert deshalb Winkel- und Zeiteinheit in einem Schritt.

r

Der Abstand von der Drehachse zu dem Punkt, der Sie interessiert, standardmäßig in Metern — das Feld nimmt auch cm, mm, km, Zoll und Fuß. Null ist erlaubt und ergibt eine Umfangsgeschwindigkeit von null: Die Achse selbst bewegt sich nicht. Der Radius ist die Größe, die oft vergessen wird, weil die Drehzahl allein nichts darüber sagt, wie schnell etwas wirklich unterwegs ist — dieselben 3.000 U/min bedeuten an einer 3 cm langen Welle etwas völlig anderes als an einem 3 m langen Rotorblatt. Er geht linear ein: doppelter Radius, doppelte Umfangsgeschwindigkeit, und bei einem ausgedehnten Körper hat jeder Punkt seinen eigenen Wert.

ω

Die Winkelgeschwindigkeit — das Hauptergebnis, immer in Radiant je Sekunde ausgegeben. Das ist die Form, die der Rest der Mechanik braucht: Drehmoment, Drehimpuls und Zentripetalkraft nehmen alle ω und nicht rpm. Der Grund ist, dass der Radiant ein reines Verhältnis aus Bogenlänge und Radius ist und deshalb dimensionslos — multipliziert man eine Winkelgeschwindigkeit in rad/s mit einem Radius in Metern, kommt unmittelbar eine Geschwindigkeit in m/s heraus, während dieselbe Rechnung mit Umdrehungen je Minute einen Faktor 2π/60 mitschleppen würde. 1 rad/s sind 9,5493 rpm.

T

Die Umdrehungsdauer für einen vollen Umlauf, in Sekunden — die Zeit von einer Umdrehung zur nächsten, auch Periodendauer genannt. Sie ist der Kehrwert der Drehzahl, doppelte Drehzahl heißt also halbe Dauer. Als Kontrolle ist sie wertvoller, als sie aussieht: Eine Umdrehung je Minute ist genau eine Sekunde je Umdrehung, und wer diesen Bezugspunkt im Kopf hat, liest eine Dauer von 0,008 s nicht um den Faktor zehn falsch — das sind Tausende Umdrehungen je Minute, eine Festplatte und keine Windkraftanlage. In der Schwingungstechnik ist sie meist die nützlichere der beiden Zahlen, weil ihr Kehrwert die Frequenz ist, mit der sich die Drehung wiederholt.

v

Die Umfangsgeschwindigkeit eines Punkts im eingetragenen Radius, in Metern je Sekunde — entlang des Kreises, den er durchläuft, und nicht die geradlinige Strecke, die er dabei zurücklegt. Sie ist das Produkt ω · r und damit die einzige der drei Ausgaben, die vom Radius abhängt; ändern Sie ihn, und die Winkelgeschwindigkeit und die Umdrehungsdauer bleiben unverändert. Vorsicht bei der Bedeutung: Es ist nicht die Geschwindigkeit, mit der sich die Maschine fortbewegt. Die Felge eines Rads hat gegenüber der Achse 25 m/s, während das Fahrzeug eine eigene Geschwindigkeit hat, die nur dann gleich groß ist, wenn das Rad ohne Schlupf rollt.

Greifen Sie zu, wenn sich etwas dreht und Sie wissen wollen, was diese Drehung in den Einheiten bedeutet, mit denen der Rest der Physik arbeitet — eine Riemenscheibe oder ein Getriebe auslegen, die Umfangsgeschwindigkeit einer Felge gegen die Freigabe des Reifens prüfen, die Schnittgeschwindigkeit eines Lüfters oder einer Schleifscheibe bestimmen oder die 7.200 rpm eines Datenblatts in die rad/s umrechnen, die eine Drehmoment- oder Zentripetalkraftrechnung braucht. Drei Gewohnheiten machen die Antworten brauchbarer. Erstens: Lesen Sie die Umdrehungsdauer als Gegenprobe — eine Umdrehung je Minute ist genau eine Sekunde, eine Dauer von 0,008 s gehört also zu etwas mit Tausenden Umdrehungen je Minute. Zweitens: Denken Sie daran, dass der Radius echte Arbeit leistet — dieselbe Drehung ist bei doppeltem Radius doppelt so schnell, weshalb die Felge und nicht die Nabe die Höchstgeschwindigkeit eines Fahrzeugs begrenzt. Drittens: Verwechseln Sie diese Seite nicht mit der Seite zur Winkelbeschleunigung. Diese hier beschreibt eine Drehung, die bereits stattfindet, und kann Ihnen nicht sagen, ob die Drehzahl steigt oder fällt. Wie schnell sich die Drehung ändert, ist eine andere Rechnung mit anderen Eingaben — der Anfangs- und der Enddrehzahl und der Zeit dazwischen.

1. Ein Autorad: 800 rpm, der Reifen 0,3 m von der Achse

   1. 800 rpm in Umdrehungen je Sekunde: 800 ÷ 60 = 13,333 U/s
   2. In rad/s: 13,333 × 2π = 83,776 rad/s
   3. Umdrehungsdauer: 2π ÷ 83,776 = 0,075 s, also 1 ÷ 13,333 U/s
   4. Umfangsgeschwindigkeit: 83,776 × 0,3 = 25,133 m/s
   5. In km/h, weil der Tacho das anzeigt: 25,133 × 3,6 = 90,5 km/h

   Die interessante Zahl ist die letzte, weil sie sich gegen die Wirklichkeit prüfen lässt: Ein Rad mit 800 rpm dieser Größe gehört zu einem Auto mit etwa 90 km/h — eine glaubwürdige Autobahngeschwindigkeit und eine glaubwürdige Radgröße. Daran sieht man auch, warum der Radius eine Eingabe sein muss und nicht etwas, das die Seite nachschlagen könnte: Aus der Drehung allein folgt nicht, wie schnell das Fahrzeug fährt. Die Umdrehungsdauer lohnt ebenfalls einen Blick: 0,075 s heißt, das Rad dreht sich dreizehnmal je Sekunde, und die Aufstandsfläche des Reifens wird dreizehnmal je Sekunde verformt — genau die Frequenz, bei der Reifenabrollgeräusch und Profilverschleiß stattfinden.

2. Eine Doppelschleifmaschine: 1.400 rpm, Scheibe mit 0,15 m

   1. 1.400 rpm in Umdrehungen je Sekunde: 1.400 ÷ 60 = 23,333 U/s
   2. In rad/s: 23,333 × 2π = 146,608 rad/s
   3. Umdrehungsdauer: 2π ÷ 146,608 = 0,043 s
   4. Umfangsgeschwindigkeit: 146,608 × 0,15 = 21,991 m/s
   5. Das sind rund 22 m/s am Umfang, also etwa 79 km/h

   Hier ist die Umfangsgeschwindigkeit der ganze Punkt. Die Freigabe einer Schleifscheibe wird als höchste zulässige Schnittgeschwindigkeit in Metern je Sekunde angegeben und nicht als Drehzahl, weil dieselbe Drehzahl auf einer kleinen Scheibe unbedenklich und auf einer großen gefährlich ist — die Scheibe wird von ihrer eigenen Zugfestigkeit zusammengehalten, und die Last darauf wächst mit dem Quadrat der Umfangsgeschwindigkeit. 1.400 rpm ist das, was ein vierpoliger Motor an einem 50-Hz-Netz dreht, und 22 m/s liegen bequem innerhalb der Freigabe einer üblichen Scheibe; stecken Sie eine Scheibe mit 0,3 m auf dieselbe Spindel, verdoppelt sich die Umfangsgeschwindigkeit auf 44 m/s, ohne dass sich am Motor irgendetwas ändert.

3. Eine Welle mit genau einer Umdrehung je Minute, ein Punkt 1 m außen

   1. 60 rpm sind 60 Umdrehungen in 60 Sekunden, also 1 Umdrehung je Sekunde
   2. Umdrehungsdauer: 1 ÷ 1 U/s = 1 s — eine Umdrehung je Sekunde, also eine Sekunde je Umdrehung
   3. In rad/s: 1 U/s × 2π = 6,283 rad/s, dasselbe wie 60 × 2π ÷ 60
   4. Gegenprobe über die Umdrehungsdauer: 2π ÷ 6,283 = 1 s, die beiden stimmen also überein
   5. Umfangsgeschwindigkeit bei 1 m: 6,283 × 1 = 6,283 m/s

   Dieses Beispiel gibt es, um die eine Drehzahl festzunageln, deren Umdrehungsdauer sich ohne jede Arithmetik prüfen lässt. Bei 60 rpm ist die Dauer genau eine Sekunde, weil 60 Umdrehungen in 60 Sekunden eine Umdrehung je Sekunde sind — und dieser Bezugspunkt ist es, der verhindert, dass eine Dauer von 0,008 s um den Faktor zehn falsch gelesen wird: Das sind Tausende Umdrehungen je Minute, eine Festplattenscheibe und keine Hunderter. Er trennt außerdem zwei Zahlen, die gleich geschrieben werden und sich um den Faktor 60 unterscheiden: 60 rpm sind 1 U/s, während 60 U/s 3.600 rpm wären. Die Umfangsgeschwindigkeit fällt dann aus dem Umfang heraus, denn ein Punkt bei 1 m legt in genau einer Sekunde 2πr = 6,283 m zurück. Reale Dinge mit 60 rpm: der Sekundenzeiger einer Uhr, ein langsamer Betonmischer und der Ausgang eines stark ins Langsame übersetzten Getriebes.

Die Seite beschreibt eine Drehung in einem einzigen Augenblick — einen Zustand der Bewegung — und sagt nichts darüber, wie er erreicht wurde oder wie lange er anhält. Nichts hier handelt von Drehmoment, Leistung oder Trägheitsmoment: Dass eine Welle mit 314 rad/s dreht, sagt nicht, was sie antreibt, denn dieselbe Winkelgeschwindigkeit braucht einen winzigen Motor an einer unbelasteten Welle und einen großen an einem belasteten Schwungrad. Die Umfangsgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit eines Punkts auf einer Kreisbahn und nicht eine Geschwindigkeit in Fahrtrichtung der Maschine: Die Felge eines Rads hat gegenüber der Achse 25 m/s, während die Fahrgeschwindigkeit eine eigene Größe ist, die nur beim Rollen ohne Schlupf gleich groß ist. Der Radius wird als fester Abstand behandelt, weshalb nichts hier einen sich ändernden Radius abdeckt — eine Eiskunstläuferin, die die Arme anzieht, ein Seil, das auf eine Trommel aufwickelt, oder ein Turbinenblatt, das sich durchbiegt. Die Seite setzt außerdem ideale Steifigkeit und Schlupffreiheit voraus: Ein Riemen, ein Reifen oder eine Kupplung, die durchrutschen, machen die Umfangsgeschwindigkeit am Ausgang um genau das Schlupfverhältnis falsch. Und eine Drehung mit wechselnder Richtung liegt außerhalb dessen, was diese Seite ausdrücken kann — rpm wird als Betrag behandelt, und die Felder weisen negative Werte zurück; eine rückwärts laufende Welle muss also als ihr Betrag eingetragen werden, mit der Richtung an anderer Stelle vermerkt.

Wie rechne ich eine Drehzahl in eine Winkelgeschwindigkeit um?

Multiplizieren Sie die Drehzahl mit 2π und teilen Sie durch 60 — dasselbe wie eine Multiplikation mit 0,10472. Eine Welle mit 3.000 rpm hat also eine Winkelgeschwindigkeit von 3.000 × 2π ÷ 60 = 314,159 rad/s. Der Faktor steht deshalb da, weil eine Umdrehung 2π Radiant ist und eine Minute 60 Sekunden hat: Die Umrechnung von rpm in rad/s ändert Winkel- und Zeiteinheit in einem Schritt. Die Seite nimmt diese Umrechnung im Hauptergebnis vor, Sie können das Feld also in rpm stehen lassen und die Antwort in Radiant je Sekunde lesen.

Warum ist der Radius eine Eingabe, wenn ich doch nur die Winkelgeschwindigkeit will?

Weil die Karte in der Werkzeugliste drei Dinge verspricht — Winkelgeschwindigkeit, Umdrehungsdauer und Umfangsgeschwindigkeit —, und die Umfangsgeschwindigkeit braucht einen Radius. Ohne den Abstand von der Achse lässt sich keine Umfangsgeschwindigkeit ausgeben: Ein Punkt auf der Achse bewegt sich überhaupt nicht, und dieselbe Drehung ist bei doppeltem Radius doppelt so schnell. Der Radius ist mit 0,1 m vorbelegt, damit er nie im Weg steht, und er hat auf die beiden anderen Ausgaben keinerlei Einfluss — ändern Sie ihn, und rad/s und Umdrehungsdauer bleiben genau, wo sie waren.

Worin unterscheidet sich diese Seite von der zur Winkelbeschleunigung?

Diese Seite beschreibt eine Drehung, die gerade jetzt stattfindet: eine Winkelgeschwindigkeit, eine Umdrehungsdauer, eine Umfangsgeschwindigkeit. Die Winkelbeschleunigung handelt von der Änderung — davon, wie schnell die Drehung zu- oder abnimmt —, und ihre Formel lautet α = (ω₂ − ω₁) ÷ t, sie braucht also zwei Winkelgeschwindigkeiten und eine Zeit. Eine Welle mit gleichmäßigen 3.000 rpm hat eine Winkelgeschwindigkeit und überhaupt keine Winkelbeschleunigung, eine schneller werdende hat beides. Die beiden Seiten teilen dieselbe Einheitentabelle für die Drehung und sonst nichts, und sie zu verwechseln ergibt eine Antwort, die um einen Faktor der Zeit danebenliegt.

Wie komme ich auf die Umdrehungsdauer einer Umdrehung?

Teilen Sie 2π durch die Winkelgeschwindigkeit, oder gleichwertig 60 durch die Drehzahl. Bei 3.000 rpm ist die Umdrehungsdauer 60 ÷ 3.000 = 0,02 Sekunden, also die Zeit von einer Umdrehung zur nächsten — die Welle macht damit fünfzig Umdrehungen je Sekunde. Die Umdrehungsdauer ist oft die nützlichere der beiden Zahlen, wenn es um Schwingungen geht, weil ihr Kehrwert die Frequenz ist, mit der sich die Drehung wiederholt. Ein Rad mit dreizehn Umdrehungen je Sekunde, wie im ersten Beispiel, verformt seinen Reifen dreizehnmal je Sekunde, und diese Rate ist die umgekehrte Umdrehungsdauer.

Wie groß ist die Umfangsgeschwindigkeit eines Punkts auf einem drehenden Körper?

Sie ist die Winkelgeschwindigkeit mal dem Radius, v = ωr, und sie gilt entlang des Kreises und nicht in irgendeiner Geraden. Ein Punkt 0,3 m neben der Achse eines Rads mit 83,776 rad/s bewegt sich mit 25,133 m/s — etwa 90 km/h —, und ein Punkt auf demselben Rad bei 0,15 m bewegt sich mit genau der Hälfte. Die Achse selbst hat die Umfangsgeschwindigkeit null, weshalb die Seite einen Radius von null zulässt und null ausgibt, statt sich zu beschweren. Das eine, was diese Zahl nicht ist, ist die Geschwindigkeit des Fahrzeugs: Bei einem Rad, das ohne Schlupf rollt, sind beide gleich, und sobald der Reifen rutscht, nicht mehr.

Sollte ich U/s oder Hz für die Drehzahl verwenden?

Sie haben denselben Zahlenwert und sind nicht dieselbe Einheit, und die Seite bietet U/s im Feld an, gibt aber nie Hz aus. Eine Drehung mit 3.000 rpm sind 50 U/s, und 50 Hz ist zugleich die Netzfrequenz, auf die ein vierpoliger Motor synchronisiert ist — die beiden Zahlen fallen also zusammen, aber die eine zählt Umdrehungen und die andere Perioden einer periodischen Größe. U/s als Hz zu schreiben ist der Weg, auf dem eine Drehzahl als Frequenz gelesen wird; das wird in dem Moment wichtig, in dem es um Resonanz, Schwingungen oder Filter geht, wo das Hz die Größe ist, auf die hin ausgelegt wird, und die Drehzahl eine mechanische Folge davon.

• Rotational Motion and Angular Momentum (College Physics 2e, §6.1) — ω = Δθ ÷ Δt, the relation between period and angular velocity, and the definition of the radian — OpenStax
• The International System of Units (SI Brochure, 9th edition) — the radian as the coherent SI unit of plane angle, so that rad/s and s⁻¹ coincide numerically without being interchangeable names — Bureau International des Poids et Mesures
• Linear speed and the relation v = ωr — including why the radius must appear explicitly and why two points on the same rotating body have different linear speeds — Wikipedia
• ANSI B7.1 — Safety Requirements for the Use, Care and Protection of Abrasive Wheels, the standard behind the maximum surface speed marked on a grinding wheel — American National Standards Institute