Lineare-Interpolation-Rechner

y = y₁ + (x − x₁) × (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) t = (x − x₁) ÷ (x₂ − x₁) y = (1 − t)·y₁ + t·y₂

x₁, y₁

Der erste bekannte Punkt. Er verankert die Linie: Bei x gleich x₁ liefert die Formel exakt y₁, weil der ganze Abstandsterm zu null zusammenfällt. x₁ darf null sein und ist es häufig, der Punkt liegt dann auf der y-Achse.

x₂, y₂

Der zweite bekannte Punkt. Beide Punkte zusammen legen die Linie fest, und mehr braucht eine gerade Linie nicht. Ihre x-Werte müssen sich unterscheiden: Zwei Punkte mit demselben x beschreiben eine senkrechte Linie, bei der ein einziges x auf alle y-Werte zugleich zeigt, und dafür gibt es keine einzelne Antwort.

x

Die Stelle, an der ein Wert gesucht ist. Sie muss nicht zwischen den beiden Punkten liegen — außerhalb dieses Bereichs läuft derselbe Ausdruck weiter, und das Ergebnis ist dann eine Extrapolation und keine Interpolation; genau deshalb wird diese Lage ausgewiesen und nicht eingeschränkt.

t

Der Streckenanteil: wie weit die Stelle von dem ersten Punkt aus gerechnet auf der Linie liegt. Beim ersten Punkt ist er 0, auf halbem Weg 0,5 und beim zweiten 1, und er ist das Gewicht, in dem die beiden y-Werte gemischt werden — das Teilstück der Linie, im Sinn des Verhältnisses, in dem die Stelle sie teilt.

Man nimmt sie, wenn zwei Messungen bekannt sind und ein Wert dazwischen gebraucht wird: ein Wert zwischen zwei Tabelleneinträgen, eine Größe zu einem Zeitpunkt zwischen zwei Beobachtungen, oder irgendein Paar von Größen, von dem man annimmt, dass es sich geradlinig gemeinsam bewegt. Dienen die beiden Punkte dagegen dazu, die Steilheit zu messen, ist das die Steigung einer Geraden; ist der gesuchte Wert genau die Mitte, ist es der Mittelpunkt.

1. Auf halbem Weg zwischen (1, 2) und (3, 8)

   1. Die Änderung in y ist 8 − 2 = 6, die Änderung in x ist 3 − 1 = 2
   2. Die Linie steigt also je 1 in x um 3 in y, die Steigung ist 3
   3. x = 2 liegt 1 Einheit in einem 2 Einheiten breiten Intervall, der Streckenanteil ist damit 1 ÷ 2 = 0,5
   4. Die beiden Werte in diesem Verhältnis mischen: (1 − 0,5) × 2 + 0,5 × 8 = 1 + 4 = 5
   5. Der interpolierte Wert ist y = 5

   Der Standardfall und der, den man zweimal lesen sollte: Bei einem Anteil von genau einem Halb ist die Antwort das schlichte Mittel der beiden y-Werte 2 und 8. Das ist ein Zufall der exakten Mitte und keine Regel — an der Viertelstelle wäre die Antwort 3,5.

2. Eine Linie, die fällt

   1. Die Änderung in y ist −20 − 0 = −20, die Änderung in x ist 10 − 0 = 10
   2. Die Steigung ist −20 ÷ 10 = −2, die Linie fällt also um zwei Einheiten je einer nach rechts
   3. x = 4 liegt 4 Einheiten in einem 10 Einheiten breiten Intervall, der Streckenanteil ist 0,4
   4. Mischen: 0,6 × 0 + 0,4 × (−20) = −8
   5. Der interpolierte Wert ist y = −8

   Hier tragen beide Enden ein Vorzeichen, und das ist der Grund, die Rechnung mit der Hand nachzuprüfen: Die waagerechte Strecke beträgt 10 und nicht −10, und die Antwort liegt zwischen den beiden bekannten Werten statt jenseits von ihnen. Läse man das Intervall rückwärts, kehrten Steigung und Anteil gemeinsam ihr Vorzeichen um, während y richtig bliebe — genau deshalb steht der Anteil neben der Antwort.

3. Jenseits des zweiten Punktes gefragt

   1. Dieselbe Linie wie im ersten Beispiel: ein Anstieg von 3 je 1 nach rechts
   2. x = 4 liegt 3 Einheiten in einem 2 Einheiten breiten Intervall, der Streckenanteil ist 3 ÷ 2 = 1,5
   3. Der Anteil liegt über 1, und damit sagt die Antwort selbst, dass die Stelle jenseits des zweiten bekannten Wertes liegt
   4. Mischen: (1 − 1,5) × 2 + 1,5 × 8 = −1 + 12 = 11
   5. Der Wert ist y = 11

   Extrapolation, und der Grund, warum die Position als schlichte Zahl gedruckt wird, statt auf das Intervall beschnitten zu werden. Ein Anteil von 1,5 sagt, dass die Stelle ein halbes Teilstück über das Ende hinaus liegt; die Arithmetik ist dieselbe wie beim Interpolieren, es ändert sich nur die Auslegung.

Die beiden bekannten Punkte müssen verschiedene x-Werte haben. Zwei übereinanderliegende Punkte mit demselben x beschreiben eine senkrechte Linie, bei der ein x unendlich vielen y-Werten entspricht und es keine einzelne interpolierte Antwort gibt — diese Eingabe wird deshalb abgewiesen, statt eine Unendlichkeit zurückzugeben. Alle fünf Zahlen sind auf einen Betrag von einer Million begrenzt, weil Steigung und Anteil beides Quotienten sind, die das Panel auf sechs Nachkommastellen rundet, und die Gegenprobe darüber hinaus nicht mehr aufgeht. Werte außerhalb des Intervalls werden angenommen und ausgewiesen statt abgewiesen: Die Position kommt über 1 oder unter 0 zurück, und das ist die Art, in der die Seite mitteilt, dass sie extrapoliert hat. Was sie nicht mitteilen kann, ist, ob das Extrapolieren sinnvoll war — eine gerade Linie durch zwei Punkte sagt nichts darüber, was hinter ihnen geschieht, und eine Angabe zur Verlässlichkeit wird nicht gedruckt, weil zwei Punkte keine tragen können.

Was ist eine lineare Interpolation?

Eine gerade Linie durch zwei bekannte Punkte legen und den Wert an einer Stelle dazwischen ablesen. Das Wort linear sagt die Annahme laut mit: Die Größe ändert sich über das Intervall mit gleichbleibender Rate, die Antwort ist deshalb ein gewichtetes Gemisch der beiden bekannten Werte und keine Messung.

Was sagt mir die Position auf der Strecke?

Wie weit die Stelle von dem ersten bekannten Punkt aus gerechnet auf der Linie liegt. Beim ersten ist sie 0, auf halbem Weg 0,5 und beim zweiten 1. Der Wert selbst lässt sich als Gemisch der beiden bekannten y-Werte in genau diesen Anteilen schreiben, der Anteil ist also alles, was das Interpolieren über die zwei Punkte hinaus beisteuert.

Kann ich außerhalb der beiden Punkte interpolieren?

Man kann, und diese Seite tut es — die Tätigkeit ist dann aber eine Extrapolation, und die Position kommt über 1 oder unter 0 zurück, um das zu sagen. Eine gerade Linie durch zwei Punkte ist eine Annahme über das Intervall zwischen ihnen; über eines der beiden Enden hinaus verlängert ist sie eine sehr viel kräftigere Annahme über etwas, das die Daten nie abgedeckt haben.

Warum wird ein senkrechtes Punktepaar abgewiesen?

Weil es keine einzelne Antwort zu geben gibt. Zwei Punkte mit demselben x liegen übereinander, und die Linie durch sie ordnet diesem einen x alle y-Werte auf einmal zu. Die Seite weist diese Eingabe mit Namen ab, statt eine Unendlichkeit zurückzugeben, die wie eine Antwort aussähe.

Spielt die Reihenfolge der beiden Punkte eine Rolle?

Für den Wert, der von der Linie abgelesen wird, nicht — für Steigung und Position schon. Vertauscht man die beiden Punkte, kehrt sich das Vorzeichen der Steigung und das des Streckenanteils um, während der interpolierte y-Wert dort bleibt, wo er war, denn es wird dieselbe Linie in der anderen Richtung beschrieben.

Warum wird keine Angabe zur Verlässlichkeit gedruckt?

Weil zwei Punkte keine tragen können. Eine Anpassung, die an zwei Punkten gemessen wird, ist von Bauart wegen perfekt, jede Zahl zur Anpassungsgüte käme also immer bei ihrem besten Wert heraus, ganz gleich was die zugrunde liegenden Daten tatsächlich tun. Gedruckt werden stattdessen die Steigung und die Position — Aussagen über die Linie und nicht über die Daten.

• Cartesian Coordinates — the two-axis frame the known points and the wanted position are both written in — Wolfram MathWorld (United States)
• Slope — the constant ratio the interpolated values step by, and the quantity that has no meaning when the two x values match — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — the object two distinct points determine, and the assumption that makes reading a value between them meaningful — Wolfram MathWorld (United States)
• Interpolation — das Verfahren auf Deutsch, mit Rechenweg und Beispielen zwischen zwei bekannten Werten — Frustfrei-Lernen