Steigungs-Achsenabschnitt-Rechner

Punkte (x1, y1) und (x2, y2) → m = (y2 − y1) ÷ (x2 − x1) → b = y1 − m × x1 → y = m × x + b

m

Die Steigung: wie weit die Gerade je Schritt nach rechts steigt. Sie ist der Anstieg geteilt durch die waagerechte Strecke, und ihr Vorzeichen ist die Richtung — positiv steigt, negativ fällt, null ist eine waagerechte Gerade. Eine Steigung von 4 heißt, dass y um 4 zunimmt, während x um 1 zunimmt.

b

Der y-Achsenabschnitt: der y-Wert dort, wo die Gerade die senkrechte Achse kreuzt, also derselbe wie der y-Wert bei x = 0. Es ist das, was von einem Punkt übrig bleibt, nachdem der Beitrag der Steigung herausgerechnet wurde, und die einzige Zahl auf dieser Seite, die man unmittelbar aus der Gleichung abliest.

(x1, y1), (x2, y2)

Die beiden Punkte. Man darf jeden von beiden als den ersten bezeichnen: Vertauscht man sie, kehren sich die Vorzeichen von Zähler und Nenner der Steigung beide um, und die beiden Umdrehungen heben sich auf. Sie dürfen sich keine x-Koordinate teilen, weil diese Division durch null ginge.

x, y

Die beiden Variablen der fertigen Gleichung. Jedes Paar, das sie erfüllt, liegt auf der Geraden, und das macht die Gleichung nützlich: Man setzt irgendein x ein und bekommt den y-Wert des Punktes darüber, ohne einen der beiden ursprünglichen Punkte zu brauchen.

Man nimmt sie, wenn eine Gerade durch zwei ihrer Punkte beschrieben ist und man die Gerade selbst haben will — die Gleichung, die Steigung und die Stelle, an der sie die Achse kreuzt — statt einer einzelnen Zahl über sie. Zwei abgelesene Werte aus einer Tabelle, zwei Positionen in einem Diagramm, ein Startwert und eine spätere Messung: Daraus sagt die Steigung, wie schnell sich etwas ändert, und der Achsenabschnitt, wo es angefangen hat. Ist nur die Steigung gesucht oder nur eine Vorhersage zwischen den beiden Punkten, tun die verwandten Rechner unten genau das und nichts anderes.

1. (1, 2) und (3, 10) — der gewöhnliche Fall

   1. Anstieg: 10 − 2 = 8. Waagerechte Strecke: 3 − 1 = 2
   2. Steigung: m = 8 ÷ 2 = 4
   3. Achsenabschnitt: b = 2 − 4 × 1 = −2
   4. Die Gleichung: y = 4x − 2

   Die Probe an beiden Punkten ist die Gewohnheit, die sich lohnt: bei x = 1 ergibt 4 × 1 − 2 = 2 ✓, und bei x = 3 ergibt 4 × 3 − 2 = 10 ✓. Dass der Achsenabschnitt negativ ist, obwohl beide Punkte über der Achse liegen, ist kein Fehler — die Gerade ist steil genug, um die Achse weit links vom ersten Punkt zu kreuzen, bei x = 0,5.

2. (0, 1) und (2, 2) — eine Steigung, die keine ganze Zahl ist

   1. Anstieg: 2 − 1 = 1. Waagerechte Strecke: 2 − 0 = 2
   2. Steigung: m = 1 ÷ 2 = 0,5
   3. Der erste Punkt liegt bereits auf der Achse, b = 1 fällt also unmittelbar heraus: b = 1 − 0,5 × 0 = 1
   4. Die Gleichung: y = (1/2)x + 1

   Der Koeffizient wird eingeklammert, weil 1/2x als eins geteilt durch 2x gelesen würde. Und die beiden gedruckten Zahlen stimmen mit der Gleichung genau überein: Die Steigungszeile sagt 0,5, die Gleichung sagt (1/2) — dieselbe Zahl, einmal als Dezimalzahl und einmal als Bruch, denn eine Dezimalzahl, die nach wenigen Stellen endet, wird als Bruch gedruckt, wenn der Nenner klein genug ist, um ihn zu lesen.

3. (1, 3) und (5, 3) — eine waagerechte Gerade

   1. Anstieg: 3 − 3 = 0. Waagerechte Strecke: 5 − 1 = 4
   2. Steigung: m = 0 ÷ 4 = 0
   3. Achsenabschnitt: b = 3 − 0 × 1 = 3
   4. Die Gleichung: y = 3, weil das Steigungsglied überhaupt nichts beiträgt

   Eine Steigung von null lässt die Gleichung zusammenfallen: Es bleibt kein x darin übrig, und y = 0x + 3 würde nur ein Glied hinzufügen, das immer null ist. Das ist die einzige Stelle, an der die gedruckte Gleichung aufhört, wie y = mx + b auszusehen, und das ist richtig und keine Abkürzung — jeder Punkt der Geraden hat y = 3, ganz gleich, wie x lautet.

Nur Geraden, und nur durch zwei verschiedene Punkte. Haben beide Punkte dasselbe x, so verläuft die Gerade senkrecht: Sie hat keine Steigung und kreuzt die y-Achse nie, es gibt also keine Hauptform, die man angeben könnte, und die Seite meldet eine fehlgeschlagene Rechnung, statt eine zu drucken — die ehrliche Antwort wäre dort x = 3, und das ist keine Gleichung, die diese Seite erzeugen kann. Zusammenfallende Punkte sind derselbe Fall, denn durch einen einzigen Punkt verlaufen unendlich viele Geraden. Die Steigung wird auf sechs Nachkommastellen gerundet, bevor aus ihr der Achsenabschnitt gerechnet wird, damit die beiden gedruckten Zahlen immer mit der gedruckten Gleichung übereinstimmen; der Preis dafür ist, dass die gedruckte Gerade bei einer periodischen Steigung ab der sechsten Nachkommastelle von der exakten abweicht — 1/3 wird zu 0,333333, und aus dieser Zahl wird die Gleichung gebaut. Die Gleichung wird gedruckt und nicht gelöst: Die Seite sagt Ihnen nicht, wo die Gerade die x-Achse trifft, ob zwei Geraden parallel sind oder wie groß y an irgendeinem anderen x ist. Die Koordinaten sind auf einen Betrag von einer Million begrenzt, und Einheiten kommen nirgends vor, weil eine Koordinate eine Zahl ist und kein Messwert.

Welchen Punkt gebe ich zuerst ein?

Einen beliebigen — die Antwort ändert sich nicht. Vertauscht man die beiden Punkte, kehrt sich in (y2 − y1) ÷ (x2 − x1) das Vorzeichen des Zählers und das des Nenners um, und die beiden Umdrehungen heben sich auf. Dasselbe gilt für den Achsenabschnitt, weil er aus einem Punkt und der Steigung gerechnet wird. Wichtig ist nur, dass beide Koordinaten eines Punktes in dieselbe Zeile des Formulars eingetragen werden.

Was, wenn beide Punkte dasselbe x haben?

Dann verläuft die Gerade senkrecht und die Seite meldet eine fehlgeschlagene Rechnung. Eine senkrechte Gerade hat überhaupt keine Steigung — die waagerechte Strecke ist null, die Division hat also keine Antwort —, und sie kreuzt die y-Achse nie, die Gleichung y = mx + b kann sie deshalb nicht beschreiben, wie man m und b auch wählt. Die Gleichung einer senkrechten Geraden lautet x = 3, sie enthält weder Steigung noch y-Achsenabschnitt, und deshalb liegt sie außerhalb dessen, was diese Seite erzeugt.

Warum wird die Steigung gerundet, und was passiert bei einer periodischen Dezimalzahl?

Sie wird auf sechs Nachkommastellen gerundet, und der Achsenabschnitt wird anschließend aus dem gerundeten Wert gerechnet und nicht aus dem exakten. Das ist Absicht: So stimmen die beiden Zahlen im Ergebnisbereich genau mit der Gleichung darunter überein, und die Antwort lässt sich mit der Hand nachprüfen. Der Preis ist, dass bei einer periodischen Steigung — etwa der 1/3, die (1, 1) und (4, 2) ergeben — die gedruckte Gerade die gerundete ist: 0,333333 statt eines Drittels.

Worin unterscheidet sich diese Seite von der zur Punktsteigungsform?

In den Eingaben. Diese Seite nimmt zwei Punkte, und die hat man meistens; die Punktsteigungsseite nimmt einen Punkt und eine bereits bekannte Steigung und druckt die Gleichung in einer Gestalt, die diesen Punkt zeigt. Es ist dieselbe Gerade, die beiden Seiten lassen sich also nacheinander benutzen: Man nimmt die Steigung, die diese Seite meldet, und den ersten der beiden Punkte, und die Punktsteigungsseite schreibt dieselbe Gerade andersherum auf.

Warum steht in der Gleichung manchmal ein Bruch und manchmal eine Dezimalzahl?

Eine Dezimalzahl, die nach wenigen Stellen endet, wird als Bruch gedruckt, wenn der Nenner klein ist — 0,5 kommt als (1/2) heraus, 0,25 als (1/4) —, weil man eine Steigung mit der Hand so aufschreibt. Alles Längere bleibt eine auf sechs Stellen gerundete Dezimalzahl, ein Drittel erscheint also als 0,333333. Die Zahl ist in beiden Fällen dieselbe, und die Steigungszeile über der Gleichung stimmt immer mit ihr überein.

Wie prüfe ich die Antwort mit der Hand nach?

Man setzt eines der beiden x in die gedruckte Gleichung ein und sieht nach, ob das y dieses Punktes herauskommt. Für (1, 2) und (3, 10) lautet sie y = 4x − 2, und bei x = 1 ergibt das 2, bei x = 3 ergibt es 10 — beide Punkte liegen also auf der Geraden. Geht einer davon schief, sind die Steigung und der Achsenabschnitt über der Gleichung die beiden Zahlen, die man gegen die eigene Rechnung stellt.

• Slope — rise over run, and the sign conventions this page's first output follows — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — the object all of this is about, and the several forms its equation can take — Wolfram MathWorld (United States)
• Linear equation — y = mx + b as the two-variable equation it is, with a slope and an intercept — Wolfram MathWorld (United States)
• Lineare Funktionen — Steigung und y-Achsenabschnitt als die beiden Zahlen, aus denen die Geradengleichung gebaut wird — Mathebibel