Rundungs-Rechner

1234,5678 auf Einer gerundet ⇒ 1235 kaufmännisch, 1234 abgeschnitten; 2,5 ⇒ 3 oder 2; 1567 auf 2 signifikante Stellen ⇒ 1600

1234,5678

Der zu rundende Wert, jede Zahl von −1.000.000.000 bis 1.000.000.000, Nachkommastellen eingeschlossen. Er ist zugleich die Zahl, aus der die Referenztabelle unten gebaut ist; ihre sieben Zeilen zeigen also den Wert, der bereits auf dem Bildschirm steht, an sieben verschiedenen Stellen

p0, pm2, s2

Die Stelle, auf die gerundet wird, gewählt aus dreizehn Optionen in einer Liste. Die p-Optionen benennen einen Stellenwert: p3 ist der nächste Tausender, p0 der nächste Einer, pm2 das nächste Hundertstel, und dieser Stellenwert ist die Größe, die hier zählt, nicht die Anzahl der Nachkommastellen. Die s-Optionen benennen eine Anzahl signifikanter Stellen, s1 bis s6, gezählt ab der ersten Ziffer ungleich null

kaufmännisches Runden

Die Regel für den Fall genau in der Mitte: Ein Wert auf halbem Weg zwischen zwei Kandidaten wandert von der Null weg, aus 2,5 wird also 3 und aus −2,5 wird −3. Es ist die in der Schule gelehrte Konvention, und zugleich die, die wie ein Fehler aussieht, wenn eine lange Reihe von Werten mit einer 5 an der Rundungsstelle summiert wird, weil jeder einzelne in dieselbe Richtung geschoben wird

abgeschnitten

Die zweite Ausgabe und die andere Hälfte der Frage nach der Mitte: derselbe Wert an derselben Stelle, aber mit verworfenen statt gerundeten Ziffern, was immer zur Null hin wandert. 2,5 abgeschnitten ergibt 2 und −2,5 ergibt −2. Sie steht neben dem gerundeten Wert, weil erst dadurch die Konvention sichtbar wird — bei den meisten Eingaben sind die beiden Ausgaben nämlich identisch

1567 → 1600

Signifikante Stellen in Aktion. Die Zählung beginnt bei der ersten Ziffer ungleich null, 1567 auf zwei signifikante Stellen behält also die 1 und die 5 und rundet den Rest, was 1600 ergibt. Die nachgestellten Nullen bleiben: Die Antwort behauptet zwei signifikante Stellen, und 1600 als 1600 zu schreiben ist die einzige Art, wie ein Leser diese Behauptung sehen kann

1,005 → 1,01

Warum auf den Dezimalziffern gerechnet wird und nicht durch Multiplizieren und Dividieren in Gleitkomma. 1,005 wird als Wert ein Haar unterhalb von 1,005 gespeichert, der übliche Weg über die doppelte Genauigkeit rundet deshalb auf 1,00 ab; das Rechnen auf den Ziffern liefert die Antwort, die ein Mensch erwartet, nämlich 1,01. Das Beispiel unten hält genau diesen Fall fest

Das Melden einer Messung ist der klassische Fall, und von dort stammen die signifikanten Stellen: Eine auf den Millimeter genau abgelesene Länge sollte nicht mit sechs Nachkommastellen angegeben werden, weil die zusätzlichen Ziffern eine Genauigkeit behaupten, die das Messgerät nie hatte. Signifikante Stellen sind die Notation, die diese Behauptung ehrlich hält, und deshalb ist das Runden einer Messung nicht dasselbe wie das Runden einer Zahl in einem Rätsel. Geld ist die Alltagsfassung einer Dezimalstelle — Beträge werden auf das nächste Hundertstel gerundet, und die Regel für den Fall genau in der Mitte ist dort eine echte Entscheidung, weil sie bestimmt, wohin ein Bruchteil eines Cent wandert; über viele Buchungen hinweg erzeugt eine Regel, die immer in dieselbe Richtung drückt, eine sichtbare Abweichung. Statistik und Berichtswesen runden der Lesbarkeit wegen: Prozentsätze auf eine Nachkommastelle, Einwohnerzahlen auf den nächsten Tausender, Mittelwerte auf dieselbe Genauigkeit wie ihre Eingaben. Das Abschneiden hat eigene Verwendungen, und sie sind der Grund, warum es hier steht statt weggelassen zu werden: Das Verwerfen in Richtung Null ist das, was viele Programmiersprachen voreingestellt tun, und es ist das, was erscheint, wenn ein Wert in einem Format mit fester Genauigkeit gespeichert wird. In allen diesen Lagen gilt derselbe Merksatz: Zweimal runden ist nicht dasselbe wie einmal runden, und eine gerundete Zahl ist eine Aussage über Genauigkeit und nicht bloß eine kürzere Schreibweise des Originals. Rechnen mit gerundeten Werten verstärkt den Unterschied, weshalb die Fassung dieses Problems für signifikante Stellen ein eigenes Werkzeug ist und nicht diese Seite.

1. 1234,5678 auf Einer gerundet

   1. Die Kandidaten beiderseits von 1234,5678 sind 1234 und 1235
   2. Entscheidend ist die erste Nachkommastelle, die 5
   3. Kaufmännisches Runden liest die 5 als Grund, sich von der Null wegzubewegen; der Wert rundet also auf 1235 auf
   4. Die Nachkommastellen 5678 dahinter ändern daran nichts — maßgeblich ist die Ziffer an der Rundungsstelle, alles danach bricht nur Gleichstände
   5. Das Abschneiden verwirft den Nachkommateil stattdessen und ergibt 1234

   Der Standardwert und zugleich die Zahl, aus der die Referenztabelle unten gebaut ist. Die 5 an der ersten Nachkommastelle leistet die ganze Arbeit: Die 6, die 7 und die 8 dahinter sind bedeutungslos, und ein Wert von 1234,5001 würde genauso gerundet. Hier unterscheiden sich die beiden Ausgaben, was der bequeme Fall ist — bei den meisten Eingaben stimmen kaufmännisches Runden und Abschneiden überein, und erst das Zahlenpaar verrät, ob die Regel für den Fall genau in der Mitte im Spiel war.

2. Der Fall genau in der Mitte: 2,5 auf Einer gerundet

   1. 2,5 liegt genau zwischen 2 und 3
   2. Kaufmännisches Runden bewegt von der Null weg, der gerundete Wert ist also 3
   3. Abschneiden bewegt zur Null hin, der abgeschnittene Wert ist also 2
   4. Keines von beiden ist ein Fehler; es sind zwei Konventionen für dieselbe Eingabe

   Der kleinste Fall, der den Unterschied zeigt, und der, den man sich merken sollte. Kaufmännisches Runden ist nicht die einzige Konvention in Gebrauch: Das Runden zur geraden Nachbarzahl würde 2,5 auf die gerade Nachbarin 2 führen, was bei langen Messreihen zählt, weil das stete Aufrunden von Hälften einen kleinen Aufwärtsdrall einbringt. Diese Seite verwendet das kaufmännische Runden — die Schulkonvention — und sagt das, statt es entdecken zu lassen.

3. Ein negativer Wert genau in der Mitte: −2,5 auf Einer gerundet

   1. −2,5 liegt genau zwischen −3 und −2
   2. Kaufmännisches Runden bewegt von der Null weg, und von der Null weg heißt auf der negativen Seite weiter nach unten — die Antwort ist also −3
   3. Abschneiden bewegt zur Null hin und ergibt −2
   4. Das Vorzeichen ergibt sich aus dem Abstand zur Null, nicht aus der Richtung auf dem Zahlenstrahl

   Der Fall, der kaufmännisches Runden von «immer aufrunden» trennt. Beide Werte hier folgen derselben Regel — von der Null weg —, bewegen sich auf dem Zahlenstrahl aber in entgegengesetzte Richtungen, weil die Null in der Mitte liegt. Jede Regel, die ohne Zusatz als «rundet auf» beschrieben wird, ist genau deshalb mehrdeutig, und die negativen Zeilen der Referenztabelle zeigen denselben Effekt an anderen Stellen.

4. 1,005 auf zwei Nachkommastellen

   1. Die Kandidaten sind 1,00 und 1,01
   2. Entscheidend ist die dritte Nachkommastelle, die 5, und das ist genau der Fall in der Mitte
   3. Kaufmännisches Runden bewegt von der Null weg, der Wert rundet also auf 1,01
   4. Das Abschneiden verwirft die 5 und behält 1,00, wobei die nachgestellte Null stehen bleibt, damit die Genauigkeit sichtbar ist

   Das Beispiel, das die Umsetzung rechtfertigt. Der naheliegende Weg — mit 100 multiplizieren, runden, durch 100 teilen — führt auf 1,00 (auf dem Bildschirm steht 1.00), weil sich 1,005 nicht exakt speichern lässt und der gespeicherte Wert ein Haar darunter liegt. Erwartet wird 1,01 (auf dem Bildschirm 1.01), und genau das liefert das Rechnen auf den Dezimalziffern. Dasselbe passiert bei vielen Alltagswerten, ein um eins in der letzten Stelle abweichendes Ergebnis ist also meistens dieser Effekt und kein Fehler in der Regel.

5. 1567 auf zwei signifikante Stellen

   1. Die erste signifikante Stelle ist die 1 an der Tausenderstelle, die zweite ist die 5
   2. Zwei signifikante Stellen heißt, diese beiden Ziffern zu behalten und an der Hunderterstelle zu runden
   3. Die Ziffer danach ist die 6, sie rundet die 5 auf, der Wert wird also zu 1600
   4. Die nachgestellten Nullen bleiben, denn sie halten fest, dass zwei signifikante Stellen behalten wurden
   5. Abgeschnitten an derselben Stelle ergibt 1500

   Dasselbe Ergebnis wie beim Runden auf den nächsten Hunderter, nur vom anderen Ende her erreicht. Beachten Sie, was die Ausgabe nicht verraten kann: 1600 als schlichte Zahl geschrieben ist nicht zu unterscheiden von 1600, auf Einer gerundet, oder von einer Messung, die zufällig genau 1600 betrug. Die Nullen stehen zu lassen ist das Äußerste, was diese Notation leisten kann, und signifikante Stellen durch eine Rechnung zu tragen — wo die Anzahl Multiplikation und Division überstehen muss —, ist ein anderes Problem als das Runden eines einzelnen Wertes.

Der Wert muss zwischen −1.000.000.000 und 1.000.000.000 liegen, Nachkommastellen eingeschlossen, und die Stelle wird aus dreizehn Optionen gewählt statt getippt; eine Stelle außerhalb dieser Liste lässt sich also nicht verlangen. Gerundet wird auf den Dezimalziffern des Wertes, so wie er dasteht, und nicht durch Skalieren in Gleitkomma — die Ergebnisse stimmen deshalb mit dem überein, was die Ziffern sagen: 1,005 auf zwei Nachkommastellen ergibt 1,01 (auf dem Bildschirm steht 1.01), während der übliche Weg über Multiplizieren und Dividieren auf 1,00 führt (auf dem Bildschirm 1.00). Dieselbe Entscheidung hat eine sichtbare Folge: Die Ergebnisse werden immer mit einem Punkt als Dezimaltrenner ausgegeben und nie mit Tausenderpunkten. Wer ein Komma getippt hat, sieht in der Antwort also einen Punkt; die Anzeige gibt die Werte als Text aus und schickt sie nicht durch eine Textvorlage. Das ist Absicht und gilt auf allen Seiten, die Text ausgeben. Nachgestellte Nullen bleiben stehen, weil sie die Genauigkeit festhalten, die die Antwort behauptet; 1234,6 und 1234,57 sind deshalb verschiedene Ausgaben an verschiedenen Stellen und werden nicht gleich geschrieben. Negative Werte werden über den Abstand zur Null gerundet, ein negativer Wert genau in der Mitte wandert also auf dem Zahlenstrahl nach unten statt nach oben. Die Referenztabelle unten steht fest bei 1234,5678 und folgt Ihrer Eingabe nicht; sie zeigt die ersten sieben Optionen, angewandt auf diese eine Zahl, und die sechs Optionen für signifikante Stellen sind in ihrer Notiz beschrieben statt mit eigenen Zeilen aufgeführt. Eine laufende Summe wird hier nicht gerundet, und es summiert sich nichts auf: Diese Seite rundet einen Wert pro Rechnung.

Was bedeutet kaufmännisches Runden?

Dass ein Wert genau auf halbem Weg zwischen zwei Kandidaten von der Null weg wandert: Aus 2,5 wird 3 und aus −2,5 wird −3. Das ist die Konvention, die in der Schule gelehrt wird und die diese Seite verwendet. Sie ist nicht die einzige in Gebrauch — das Runden zur geraden Nachbarzahl schickt eine Hälfte stattdessen zur geraden Zahl, was den kleinen Aufwärtsdrall vermeidet, den das stete Aufrunden von Hälften über lange Wertelisten einbringt.

Worin unterscheiden sich Nachkommastellen und signifikante Stellen?

Nachkommastellen zählen ab dem Komma, signifikante Stellen ab der ersten Ziffer ungleich null. 1567 auf zwei signifikante Stellen ergibt 1600, dasselbe wie das Runden auf den nächsten Hunderter, während 1567 auf zwei Nachkommastellen 1567,00 ergibt. Signifikante Stellen sind die Notation für Messungen, weil die Anzahl sich nicht ändert, wenn dieselbe Größe in einer anderen Einheit geschrieben wird.

Warum rundet 1,005 auf 1,01 und nicht auf 1,00?

Weil der Wert genau auf der Mitte liegt und die Seite Hälften von der Null weg rundet, und zwar auf den Dezimalziffern gerechnet statt durch Skalieren in Gleitkomma. Der übliche Weg, mit 100 zu multiplizieren, zu runden und wieder zu teilen, führt auf 1,00, weil 1,005 als Wert ein Haar unterhalb von 1,005 gespeichert wird. Das Rechnen auf den Ziffern ergibt 1,01, und das ist es, was die Regel sagt und was jemand beim Aufschreiben der Zahl erzeugen würde.

Was ist Abschneiden, und warum wird es angezeigt?

Beim Abschneiden werden die überzähligen Ziffern verworfen statt gerundet, der Wert wandert also immer zur Null hin: Aus 2,5 wird 2 und aus −2,5 wird −2. Es steht neben dem gerundeten Wert an derselben Stelle, weil das Paar am deutlichsten zeigt, ob die Regel für den Fall genau in der Mitte im Spiel war — bei Eingaben abseits einer Mitte stimmen die beiden Ausgaben überein, und wo sie auseinandergehen, hat die Konvention den Unterschied gemacht.

Sind die nachgestellten Nullen signifikant?

Ja, und sie bleiben absichtlich stehen. 1234,6 auf eine Nachkommastelle und 1234,57 auf zwei sind verschiedene Aussagen darüber, wie genau der Wert bekannt ist, und das Weglassen der Null würde den Unterschied verwischen. Dasselbe gilt für eine ganze Zahl, die auf signifikante Stellen gerundet wurde: 1600 behält seine Nullen, weil sie festhalten, dass zwei signifikante Stellen behalten wurden.

Führt diese Seite signifikante Stellen durch eine Rechnung?

Nein. Sie rundet jeweils einen Wert und trägt keine Genauigkeit durch eine Rechenkette, in der das Ergebnis von der ungenauesten Eingabe begrenzt wird und Zwischenwerte bis zum Schluss ungerundet bleiben müssen. Das ist ein anderes Problem als das Runden einer einzelnen Zahl, denn es verlangt, dass die Anzahl signifikanter Stellen Multiplikation und Division übersteht, was ein schlicht gerundeter Wert nicht darstellen kann.

• Rounding — from Wolfram MathWorld (English original; die Definition, die Regeln für den Fall genau in der Mitte einschließlich Aufrunden und Runden zur geraden Nachbarzahl, und wie sich die Wahl auf summierte Ergebnisse auswirkt) — Wolfram MathWorld (United States)
• Decimal expansion — from Wolfram MathWorld (English original; wie eine Zahl als Ziffernfolge mit Stellenwerten geschrieben wird und warum die Ziffern hinter dem Komma die Genauigkeit tragen) — Wolfram MathWorld (United States)
• Dezimalbruch — Mathebibel: die deutschsprachige Darstellung der Dezimalstellen und ihrer Werte, also genau der Stellen, auf die diese Seite rundet — Mathebibel (Deutschland)
• Ganze Zahlen — Mathebibel: der deutsche Unterrichtszugang zum Runden ganzer Zahlen, mit der Stelle, auf die gerundet wird, und der Schreibweise von Zehner- und Hunderterstellen — Mathebibel (Deutschland)