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Schriftliche-Division-Rechner

Bereich: 0 – 1.000.000.000

Bereich: 1 – 1.000.000.000

Ergebnis

102

Quotient

Rest
10
Schritt für Schritt
1 / 12 = 0 r 1; 12 / 12 = 1 r 0; 3 / 12 = 0 r 3; 34 / 12 = 2 r 10
Probe
12 * 102 + 10 = 1234

Die schriftliche Division ist das Verfahren, mit dem man eine ganze Zahl durch eine andere teilt, wenn die Antwort nicht aufgeht, und diese Seite druckt jeden Schritt davon aus. Für 1.234 ÷ 12 besteht die Rechnung aus vier Zeilen. Teile 1 durch 12: zu klein, also ist die Quotientenziffer 0 und der Rest 1. Hole die nächste Ziffer herunter, um 12 zu bilden, und teile durch 12: die Ziffer ist 1 und der Rest 0. Hole die 3 herunter, das ergibt 3, teile durch 12: die Ziffer ist 0 und der Rest 3. Hole die 4 herunter, das ergibt 34, teile durch 12: die Ziffer ist 2 und der Rest 10. Die Quotientenziffern lauten der Reihe nach 1, 0, 2 — 1.234 ÷ 12 ist also 102 Rest 10, und der letzte Rest, die 10, ist der, der stehen bleibt. Jede Zeile des Verfahrens hat dieselbe Gestalt: den bisher aufgebauten Wert nehmen, feststellen, wie oft der Divisor ganz hineinpasst, diese Anzahl als eine Ziffer der Antwort notieren und behalten, was übrig bleibt, um es mit der nächsten Ziffer zu verbinden. Deshalb hat der Quotient am Ende so viele Ziffern wie der Dividend, und deshalb kann eine Null eine völlig brauchbare Ziffer der Antwort sein — die 0 in der Mitte von 102 leistet echte Arbeit. Der Rest ist hier immer der nicht negative, also die Konvention, bei der 0 der kleinste Wert ist, den er annehmen kann. Bei negativen Zahlen liefern die beiden gebräuchlichen Konventionen verschiedene Ergebnisse, und dieser Fall gehört auf die Seite für den Divisionsrest. Die letzte Ausgabe ist die Probe: Divisor mal Quotient plus Rest ergibt den Dividenden, was keine zusätzliche Rechnung ist, sondern die Definition dessen, was Quotient und Rest überhaupt bedeuten. 12 × 102 + 10 ist 1.234, die drei Zahlen passen also zueinander. Zwei Sonderfälle kommen vor. Ein Dividend, der kleiner als der Divisor ist, ergibt einen Quotienten von 0 und einen Rest, der dem Dividenden entspricht, denn der Divisor passt nicht ein einziges Mal hinein. Und ein Divisor von 1 ergibt einen Quotienten gleich dem Dividenden mit einem Rest von 0, mit einer Zeile pro Ziffer. Die Ziffern des Quotienten sind außerdem der Ort, an dem die Dezimalbruchentwicklung herkommt: Sobald sich die Rechnung zu wiederholen beginnt, wie bei 1 ÷ 7, wiederholen sich auch die Nachkommastellen.

5.432 ÷ 17 ausgeschrieben, eine Spalte je Bestandteil eines Schrittes

SchrittWertDivisorZifferRest
151705
2541733
33317116
41621799

Liest man eine Zeile von links nach rechts, hat man eine Zeile der Rechnung: den Wert, der geteilt wird, den Divisor, mit dem er verglichen wird, die entstehende Quotientenziffer und das, was übrig bleibt. Die erste Zeile stellt 5 gegen 17, das geht 0 mal mit 5 Rest, die Ziffer ist also 0. Die nächste Zeile holt die 4 herunter, das macht 54, und 54 ÷ 17 ist 3 mit 3 Rest. Das Muster, auf das es ankommt, steht in der Spalte Wert: Jeder Eintrag ist der vorige Rest mit einer weiteren Ziffer des Dividenden dahinter, und genau das heißt eine Ziffer herunterholen; es ist das Einzige, was von einer Zeile zur nächsten weitergereicht wird. Die Ziffernspalte sammelt sich zur Antwort, 0 3 1 9, also 319, und der letzte Eintrag der Restspalte, die 9, ist der Rest der ganzen Division. Rechnen Sie die Probe: 17 × 319 + 9 = 5.432. Beachten Sie, dass die führende 0 der Ziffernspalte in der Antwort wegfällt, die mittlere 0 dagegen nicht — eine Null als Ziffer heißt, dass der Divisor nicht in den Wert dieses Schrittes passte, und das ist eine Information, während eine führende Null schlicht nicht geschrieben wird. Die Tabelle ist auf 5.432 ÷ 17 festgelegt und folgt nicht dem, was Sie eingetippt haben; die Anzeige oben füllt dieselben vier Spalten für Ihre Zahlen, eine Zeile pro Ziffer.

Formel

1.234 ÷ 12 → 1/12 = 0 r 1; 12/12 = 1 r 0; 3/12 = 0 r 3; 34/12 = 2 r 10 ⇒ Quotient 102, Rest 10, und 12 × 102 + 10 = 1.234

1234
Der Dividend, die Zahl, die geteilt wird, eine ganze Zahl von 0 bis 1.000.000.000. Null ist erlaubt und ergibt einen Quotienten und einen Rest von 0. Negative Zahlen und Nachkommastellen werden abgelehnt, weil das Verfahren unten von Ziffern ausgeht und diese Seite keine Vorzeichenkonvention festlegt
12
Der Divisor, die Zahl, durch die geteilt wird, eine ganze Zahl von 1 bis 1.000.000.000. Er kann nicht 0 sein: Nichts lässt sich in null Teile zerlegen, und kein Quotient würde die Probe bestehen. Er darf größer als der Dividend sein; dann ist der Quotient 0 und der Rest ist der Dividend selbst
1, 2, 3, 4
Die Ziffern des Dividenden, eine nach der anderen von links genommen. Jeder Schritt hängt die nächste an den Rest des Schrittes davor, und genau das heißt eine Ziffer herunterholen. Die Anzahl der Schritte entspricht der Anzahl der Ziffern des Dividenden, 1.234 braucht also vier Schritte und 1.000.000.000 zehn
0, 1, 0, 2
Die Quotientenziffer, die in jedem Schritt entsteht: wie oft der Divisor ganz in den Wert dieses Schrittes passt. Ein Schritt, dessen Wert kleiner als der Divisor ist, steuert die Ziffer 0 bei, und diese Nullen gehören zur Antwort — die 102 hat eine in der Mitte, und wer sie weglässt, bekommt 12
1, 0, 3, 10
Der Rest, der in jedem Schritt übrig bleibt, immer der nicht negative. Der letzte davon ist der Rest der ganzen Division; die früheren sind Zwischenwerte und verschwinden, sobald die nächste Ziffer heruntergeholt wird. Hier wird nichts jemals negativ, weshalb negative Dividenden auf die Seite mit den Restkonventionen gehören
dividend = divisor × quotient + remainder
Die Probe und zugleich die Definition der ganzen Operation und kein zusätzliches Ergebnis: für 1.234 ÷ 12 lautet sie 12 × 102 + 10 = 1.234. Stimmt diese Zeile, sind Quotient und Rest per Definition richtig; stimmt sie nicht, ist nichts anderes auf der Seite zu gebrauchen

Dies ist das schriftliche Verfahren selbst, gebraucht wird es also von denen, die es lernen. Die Schrittfolge ist die Rechnung, die sonst auf Papier stünde, und es lohnt sich, sie Zeile für Zeile mit der eigenen zu vergleichen, wenn ein Ergebnis abweicht — die Stelle, an der beide auseinandergehen, ist der Fehler, und das ist brauchbarer, als die richtige Zahl genannt zu bekommen. Die Probe ist die andere Hälfte davon: Divisor mal Quotient plus Rest ergibt den Dividenden, und wer Quotient und Rest hat, kann sie bestätigen, ohne die schriftliche Division noch einmal zu rechnen. Über den Unterricht hinaus ist dieselbe Zerlegung die Art, wie man mit dem Teilen umgeht, sobald ganze Dinge nicht zerteilt werden können — 1.234 Stück in Gruppen zu 12 ergibt 102 volle Gruppen mit 10 übrig, und der Rest ist der Teil, der sich nicht verteilen lässt. Ein Rest von 0 heißt, die Division ist aufgegangen. Das Verfahren ist außerdem der Ursprung der Dezimalbruchentwicklung: Führt man die Rechnung mit einer angehängten Null über das Komma hinaus fort, entstehen die Nachkommastellen des Quotienten, und sobald sich ein Rest wiederholt, wiederholt sich auch die Dezimalstelle — 1 ÷ 7 durchläuft dieselben sechs Reste immer wieder, weshalb 1/7 ein wiederkehrendes Muster aus sechs Ziffern hat. Programmiersprachen gehen mit einem negativen Dividenden auf zwei verbreitete Arten um, dem Abschneiden und dem Abrunden, und sie widersprechen sich; der hier ausgegebene nicht negative Rest gehört zur zweiten, und die Seite für den Divisionsrest zeigt beide nebeneinander.

Rechenbeispiele

  1. 1.234 ÷ 12, der Standardfall

    1. Die 1 herunterholen: 1 ÷ 12 geht 0 mal, die erste Quotientenziffer ist also 0 und 1 bleibt übrig
    2. Die 2 herunterholen: der Wert ist 12, und 12 ÷ 12 geht 1 mal auf, ohne dass etwas übrig bleibt
    3. Die 3 herunterholen: der Wert ist 3, und 3 ÷ 12 geht 0 mal, es bleiben 3
    4. Die 4 herunterholen: der Wert ist 34, und 34 ÷ 12 geht 2 mal, es bleiben 10
    5. Die Quotientenziffern lauten der Reihe nach 0, 1, 0, 2 — ohne die führende Null geschrieben sind das 102
    6. Der letzte Rest ist 10, und die Probe bestätigt ihn: 12 × 102 + 10 = 1.234

    Der Standardfall und zugleich der, der zeigt, warum Nullen im Quotienten zählen. Der dritte Schritt steuert eine 0 bei, weil 3 kleiner als 12 ist, und diese Ziffer ist keine Verzierung — die Antwort heißt 102 und nicht 12. Die führende 0 aus dem ersten Schritt fällt weg, denn 102 und 0102 sind dieselbe Zahl in verschiedener Schreibweise. Die Probezeile sollte man als Satz lesen: der Divisor mal die Antwort plus das Übriggebliebene ergibt wieder die Zahl, mit der man angefangen hat.

  2. 5.432 ÷ 17, das Beispiel der Referenztabelle

    1. Die 5 herunterholen: 5 ÷ 17 geht 0 mal, es bleiben 5
    2. Die 4 herunterholen: der Wert ist 54, und 54 ÷ 17 geht 3 mal (3 × 17 = 51), es bleiben 3
    3. Die 3 herunterholen: der Wert ist 33, und 33 ÷ 17 geht 1 mal (17), es bleiben 16
    4. Die 2 herunterholen: der Wert ist 162, und 162 ÷ 17 geht 9 mal (9 × 17 = 153), es bleiben 9
    5. Die Quotientenziffern sind 0, 3, 1, 9, also 319, und der Rest ist 9

    Die vier Zeilen, die die Tabelle unten Spalte für Spalte auseinandernimmt, und der Grund, warum es sich lohnt, beides zu lesen: Jeder Schritt multipliziert den Divisor zurück, um das größte Produkt zu finden, das noch hineinpasst — 3 × 17 = 51 gegen 54, dann 1 × 17 = 17 gegen 33, dann 9 × 17 = 153 gegen 162 — und der Rest ist die Lücke dazwischen. Die Lücken sind hier 3, 16 und 9, alle kleiner als der Divisor 17, und das ist die Invariante, die jede Quotientenziffer zur größten macht, die funktioniert.

  3. Ein sich wiederholender Rest: eine Milliarde geteilt durch 7

    1. Die 1 herunterholen: 1 ÷ 7 geht 0 mal, es bleiben 1
    2. Nacheinander jede 0 herunterholen, das ergibt 10, 30, 20, 60, 40, 50 und dann wieder 10
    3. Die Quotientenziffern sind 1, 4, 2, 8, 5, 7 und danach wiederholen sich 1, 4, 2, 8
    4. Nach dem siebten Schritt ist der Rest wieder 1, der ganze Zyklus beginnt also von vorn
    5. Der Quotient ist 142857142 und der letzte Rest ist 6

    Die Reste laufen hier 1, 3, 2, 6, 4, 5 und dann zurück zur 1 — der Zyklus von 1/7, weshalb sich die Quotientenziffern als 142857 wiederholen. Diese Wiederholung ist keine Eigenheit dieses Dividenden: Sobald ein Rest wiederkehrt, wiederholt sich alles danach ebenfalls, denn der nächste Schritt hängt nur von dem Wert ab, der heruntergeholt wird. Sie ist auch der Grund, warum ein Bruch in Dezimalschreibweise entweder abbricht oder periodisch wird, und warum 1/7 einen periodischen Block aus sechs Ziffern hat. Beachten Sie, dass die Probe in der Ergebnisanzeige die Zahl ohne Tausenderpunkte druckt, weil sie reiner Text ist: Dort steht 1000000000, nicht 1.000.000.000.

  4. Wenn der Divisor größer als der Dividend ist: 7 geteilt durch 999.999.999

    1. Es gibt nur eine Ziffer herunterzuholen, die 7
    2. 7 ÷ 999.999.999 geht 0 mal, denn 999.999.999 ist sehr viel größer als 7
    3. Die Quotientenziffer ist 0, und der ganze Dividend bleibt übrig
    4. Der Quotient ist 0 und der Rest ist 7

    Ein Quotient von 0 ist eine echte Antwort und kein Fehlschlag. Passt der Divisor nicht ein einziges Mal hinein, wird nichts abgezogen, der Rest ist also der gesamte Dividend, und die Probe lautet 999999999 * 0 + 7 = 7. Die Schrittliste besteht aus einer einzigen Zeile, weil der Dividend eine einzige Ziffer hat — die Anzahl der Schritte entspricht immer der Anzahl der zu teilenden Ziffern und nie der Größe des Divisors.

Einschränkungen

Beide Zahlen müssen ganze Zahlen sein. Der Dividend reicht von 0 bis einschließlich 1.000.000.000, der Divisor von 1 bis einschließlich 1.000.000.000. Ein Divisor von 0 wird abgelehnt: Es gibt keine Zahl, die mit 0 multipliziert einen von null verschiedenen Dividenden zurückgibt, kein Quotient und kein Rest könnten die Probe also bestehen. Negative Zahlen werden abgelehnt statt mit einer Vorzeichenregel behandelt, weil das hier gezeigte schriftliche Verfahren mit Ziffern arbeitet und die beiden Konventionen für die Division negativer Zahlen auseinandergehen — diese Seite druckt den nicht negativen Rest, und der Fall, in dem das zählt, gehört auf die Seite für den Divisionsrest, die beide Konventionen nebeneinander zeigt. Nachkommastellen werden abgelehnt: Das Verfahren lässt sich durch Anhängen von Nullen über ein Komma hinaus fortsetzen, aber das ist ein anderes Vorgehen und diese Seite tut es nicht, obwohl die wiederkehrenden Reste oben genau daher kommen. Null als Dividend wird angenommen und ergibt einen Quotienten von 0 mit einem Rest von 0. Die Schrittliste hat eine Zeile pro Ziffer des Dividenden, ein zehnstelliger Dividend erzeugt also zehn Zeilen, und die Anzeige ist mit Absicht lang — das ist die Rechnung und keine Zusammenfassung davon. Die Referenztabelle unten ist auf 5.432 ÷ 17 festgelegt und folgt nicht Ihrer Eingabe; die Anzeige oben beantwortet Ihre Zahlen, und die Tabelle ist dafür da, zu zeigen, was jede Spalte eines Schrittes bedeutet. Jeder Wert ist exakt, und es wird nichts gerundet.

Häufige Fragen

Wie geht man bei der schriftlichen Division Schritt für Schritt vor?
Man arbeitet von links durch den Dividenden, eine Ziffer nach der anderen. Man teilt den bisher aufgebauten Wert durch den Divisor, schreibt auf, wie oft er ganz hineinpasst, und das ist die nächste Ziffer der Antwort, und behält den Rest. Dann holt man die nächste Ziffer herunter — man hängt sie an den Rest an — und wiederholt das, bis die Ziffern aufgebraucht sind. Für 1.234 ÷ 12 ergibt das die Ziffern 0, 1, 0, 2 und einen letzten Rest von 10, die Antwort lautet also 102 Rest 10.
Was ist der Unterschied zwischen Quotient und Rest?
Der Quotient gibt an, wie oft der Divisor ganz in den Dividenden passt, und der Rest ist das, was übrig bleibt, wenn er nicht mehr hineinpasst. Beide sind durch die Definition aneinander gebunden: Dividend gleich Divisor mal Quotient plus Rest. Für 1.234 ÷ 12 ist der Quotient 102 und der Rest 10, und 12 × 102 + 10 ergibt wieder 1.234. Der Rest ist immer kleiner als der Divisor, und genau das macht den Quotienten zur größten ganzen Zahl, die funktioniert.
Warum ist der Rest hier nie negativ?
Weil diese Seite die Konvention verwendet, bei der der Rest der nicht negative ist — es wird das größte Vielfache des Divisors abgezogen, das den Dividenden nicht übersteigt, und was bleibt, liegt zwischen 0 und dem Divisor. Programmiersprachen schneiden häufig stattdessen ab, und dabei kann ein negativer Rest stehen bleiben: −1 geteilt durch 2 ergibt beim Abschneiden den Rest −1 und unter dieser Konvention die 1. Die Seite für den Divisionsrest zeigt beide nebeneinander. Negative Dividenden werden hier abgelehnt und nicht mit einer stillen Entscheidung behandelt.
Kann in der Antwort eine Null vorkommen?
Ja, und die Null ist Teil der Antwort. Eine Null als Ziffer erscheint immer dann, wenn der Wert in diesem Schritt kleiner als der Divisor ist, 1.234 ÷ 12 erzeugt also die Ziffern 0, 1, 0, 2 — die mittlere Null darf nicht wegfallen, denn 102 und 12 sind verschiedene Zahlen. Nur eine führende Null wird weggelassen, weil 0102 und 102 dieselbe Zahl sind.
Was passiert, wenn der Dividend kleiner als der Divisor ist?
Der Quotient ist 0 und der Rest ist der ganze Dividend. 7 ÷ 999.999.999 geht 0 mal, es wird also nichts abgezogen und die ganze 7 bleibt übrig; die Probe lautet 999999999 × 0 + 7 = 7. Die Schrittliste hat eine Zeile, weil die Anzahl der Schritte immer der Anzahl der Ziffern des Dividenden entspricht und nicht von irgendetwas am Divisor abhängt.
Warum beginnen sich die Reste zu wiederholen?
Weil jeder Schritt nur von dem Wert abhängt, der in ihn hineingeht; sobald ein Rest wiederkehrt, wiederholt sich alles danach mit ihm. Teilt man eine Milliarde durch 7, entstehen die Reste 1, 3, 2, 6, 4, 5 und dann wieder 1, die Quotientenziffern wiederholen sich also als 142857. Daher kommen die periodischen Dezimalbrüche: Führt man dieselbe Rechnung mit angehängten Nullen über das Komma hinaus fort, wird aus diesem Zyklus der periodische Block von 1/7.

Quellen

Verwandte Rechner

Divisionsrest-RechnerQuotient und Rest – nach beiden Vorzeichenregeln.Bruch-in-Dezimalzahl-RechnerDezimalwert eines Bruchs, exakt oder gerundet.Dezimal-in-Binär-UmrechnerHalbiert eine Dezimalzahl schrittweise in ihre Binärform.Rundungs-RechnerRundet auf jede Stelle oder auf signifikante Stellen.