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CalcMax

Dezimal-in-Binär-Umrechner

Ergebnis

10001

Binär

Stellenwerte
16 + 1

Wer eine Dezimalzahl in eine Binärzahl umrechnen will, findet hier den Weg dorthin. Der Wert ändert sich nicht, nur die Schreibweise, und der Weg ist ein wiederholtes Halbieren. Die Zahl durch zwei teilen, den Rest behalten, den Quotienten wieder durch zwei teilen und so weiterfahren, bis der Quotient null wird. Die Reste sind die Binärziffern — sie fallen aber in umgekehrter Reihenfolge an, der zuletzt hingeschriebene Rest ist also die erste Ziffer der Antwort. Nehmen wir die 17: 17 ÷ 2 ist 8 Rest 1, dann 8 ÷ 2 ist 4 Rest 0, dann 4 ÷ 2 ist 2 Rest 0, dann 2 ÷ 2 ist 1 Rest 0, und schließlich 1 ÷ 2 ist 0 Rest 1. Von unten nach oben gelesen sind die Reste 1, 0, 0, 0, 1, die 17 heißt im Dualsystem also 10001. Diese Umkehrung ist die Stelle, an der die meisten Fehler passieren, weshalb die Seite jede Division ausdruckt und nicht nur die Antwort. Der Stellenwert einer Stelle im Zweiersystem ist eine Zweierpotenz, und die Antwort als Summe dieser Stellenwerte zurückzulesen ist die Art, wie man die Rechnung prüft: 10001 hat eine 16 und eine 1 und sonst nichts, und 16 + 1 ist wieder 17. Die Richtung spielt genauso eine Rolle, wenn die Zahl kürzer wird — eine ganze Zahl, die eine Zweierpotenz ist wie die 16, wird zu einer einzigen Eins mit Nullen dahinter, und eine, die um eins kleiner ist als eine Zweierpotenz, wird zu lauter Einsen, 15 ist also 1111 und 255 ist 11111111. Führende Nullen ändern nichts am Wert, weder in der Eingabe noch in der Antwort.

Die 17 Schritt für Schritt durch zwei teilen, bis der Quotient null wird

RundeDivisionQuotientRest
117 ÷ 281
28 ÷ 240
34 ÷ 220
42 ÷ 210
51 ÷ 201

Das ist das Verfahren und kein Ergebnis, deshalb steht es fest auf der 17, während das Panel darüber umrechnet, was Sie eingetippt haben. Liest man die Restspalte von unten nach oben, erscheinen die Ziffern der Antwort in der richtigen Reihenfolge: 1, 0, 0, 0, 1, also 10001. Die Spalte muss von unten gelesen werden, weil jede Division die niederwertigste Ziffer dessen findet, was übrig ist; die erste Runde legt die Einerstelle fest, die zweite die Zweierstelle und so weiter, die Runden laufen also von rechts nach links durch die Antwort. Aufhören darf das Verfahren, wenn der Quotient null wird, weil ein Quotient von null bedeutet, dass oberhalb der aktuellen Stelle nichts mehr gesetzt ist. Zwei Einzelheiten sind in der Tabelle sehenswert: Jeder Rest ist 0 oder 1 und kann nichts anderes sein, weil der Divisor zwei ist; und der Quotient schrumpft in jeder Runde um mehr als die Hälfte, weshalb die Treppe selbst für die größte zulässige Eingabe nur etwa fünfzig Zeilen lang ist. Wer eine andere Zahl umrechnet, führe dieselben vier Spalten auf dem Papier — die Tabelle sagt, welche Spalten es sind, nicht, welche Zahlen bei Ihnen stehen werden.

Formel

17 ÷ 2 = 8 r 1 → 8 ÷ 2 = 4 r 0 → 4 ÷ 2 = 2 r 0 → 2 ÷ 2 = 1 r 0 → 1 ÷ 2 = 0 r 1 ⇒ 17 = 10001 = 16 + 1

17
Die umzurechnende ganze Zahl, im Zehnersystem geschrieben. Sie muss ganzzahlig sein: Ein Dezimaltrennzeichen oder ein Tausenderpunkt wird abgelehnt statt weggerundet, weil diese Seitengruppe durchweg mit ganzen Zahlen arbeitet
÷ 2
Der Schritt, der sich wiederholt. Zwei ist die Basis, in die umgerechnet wird, jede Runde fragt also, wie oft die Zwei hineinpasst — und was übrig bleibt, ist genau die Ziffer, die an diese Stelle gehört
quotient
Der Teil, der in die nächste Runde mitgeht. Das Verfahren endet, wenn der Quotient null wird, und das ist das Zeichen dafür, dass keine höhere Stelle mehr gebraucht wird
remainder
Die Ziffer, die diese Runde erzeugt. Eine Division durch zwei kann nur 0 oder 1 übrig lassen, weshalb die Antwort als Binärziffern herauskommt und nicht als irgendein anderer Zeichensatz
⇒ 10001
Die Ziffern, von unten nach oben zusammengesetzt. Der zuerst gefundene Rest ist die rechteste Ziffer und der zuletzt gefundene die linkeste — das ist der eine Schritt dieses Verfahrens, den man leicht verkehrt herum macht
16 + 1
Die Antwort, zurückgelesen als Binärstellenwerte: 10001 hat Einsen nur an der Sechzehner- und an der Einerstelle, deren Summe also wieder 17 ergibt. Das ist die Gegenprobe, die die Seite ausdruckt, und sie funktioniert, weil die Summe der Stellenwerte einer Binärzahl die Zahl selbst ist
53 bits
Wie lang die Antwort sein darf: dreiundfünfzig Binärstellen, was dezimal 9.007.199.254.740.991 entspricht. Oberhalb dieser Breite kann eine Maschine benachbarte ganze Zahlen nicht mehr auseinanderhalten, eine größere Eingabe wird also abgelehnt, statt in etwas umgerechnet zu werden, das nur richtig aussieht

Eine Zahl im Zweiersystem hinzuschreiben ist immer dann fällig, wenn die Notation einer Maschine von Hand erzeugt werden muss. Mehrere kleine Werte in eine ganze Zahl zu verpacken heißt auszurechnen, welche Bits jeder Wert belegt, und das fängt mit dem Wert im Dualsystem an: ein Farbkanal, ein Satz Berechtigungsflags, ein Bitfeld in einem Konfigurationsregister. Wer ein Datenblatt liest, begegnet derselben Aufgabe von der anderen Seite, denn die dort abgedruckten Bereiche und Masken sind hexadezimal oder binär geschrieben, und die Zahl, aus der sie stammen, ist dezimal. In der Ausbildung wird die Richtung meist direkt verlangt — rechne dezimal in binär um und schreibe den Rechenweg hin —, und die ausgedruckte Treppe ist genau dieser Rechenweg, eine Zeile je Division. Dieselbe Umrechnung beantwortet Fragen, die gar nicht wie Umrechnungen aussehen: Wie viele Bits braucht ein Wert dieser Größe, welche Zweierpotenz liegt gerade darüber, und warum läuft ein Acht-Bit-Feld von 0 bis 255 und nicht bis 256. Programmierer greifen im Kopf meist zu den Zweierpotenzen statt zur Treppe und ziehen die größte passende Potenz ab, und auch das unterstützt diese Seite: Jede erfolgreiche Subtraktion lässt eine 1 an dieser Stelle zurück, und die neben der Antwort ausgegebene Stellenwertsumme ist genau diese Einsen wieder zusammengezählt.

Rechenbeispiele

  1. 17 im Dualsystem schreiben

    1. 17 ÷ 2 = 8, Rest 1 — die 1 hinschreiben
    2. 8 ÷ 2 = 4, Rest 0
    3. 4 ÷ 2 = 2, Rest 0
    4. 2 ÷ 2 = 1, Rest 0
    5. 1 ÷ 2 = 0, Rest 1 — der Quotient ist null geworden, also aufhören
    6. Die Reste von unten nach oben lesen: 1, 0, 0, 0, 1, das ist 10001

    Der Standardfall, und der, der die Umkehrung zeigt: Der zuerst gefundene Rest ist die letzte Ziffer der Antwort. Liest man die Reste in der Reihenfolge, in der sie entstanden sind, kommt 10001 rückwärts heraus — hier ist 10001 rückwärts zufällig wieder 10001, die Regel prüft man also besser am nächsten Beispiel. Die Gegenprobe: 16 + 1 = 17.

  2. Ein ganzes Byte schreiben, 255

    1. 255 ÷ 2 = 127, Rest 1
    2. 127 ÷ 2 = 63, Rest 1 — und jede weitere Runde lässt ebenfalls 1 übrig
    3. 63 → 31 → 15 → 7 → 3 → 1, jeweils mit Rest 1
    4. 1 ÷ 2 = 0, Rest 1 — acht Runden insgesamt
    5. Acht Reste von 1, von unten nach oben gelesen: 11111111

    255 ist der größte Wert, den ein Acht-Bit-Feld fassen kann, und das liegt hieran: Acht Binärstellen ergeben 2⁸ Kombinationen, und die größte davon ist 11111111. Die andere Seite derselben Tatsache ist, dass 256 die 100000000 ist — neun Stellen —, und das ist die Zahl, die nicht mehr in ein Byte passt. Die Stellenwertsumme ist das ganze Lineal aufaddiert, und es lohnt sich, sie einmal vollständig zu sehen.

  3. Eine Zweierpotenz, 16

    1. 16 ÷ 2 = 8, Rest 0
    2. 8 ÷ 2 = 4, Rest 0
    3. 4 ÷ 2 = 2, Rest 0
    4. 2 ÷ 2 = 1, Rest 0
    5. 1 ÷ 2 = 0, Rest 1
    6. Von unten nach oben gelesen: eine 1 und vier Nullen dahinter, also 10000

    Eine Zweierpotenz erzeugt genau einen Rest von 1 und hört dann auf, die Stellenwertsumme fällt also auf einen einzigen Summanden zusammen. Das ist die Gestalt, die man wiedererkennen sollte: Jede Zahl, die eine Zweierpotenz ist, ist im Dualsystem eine einzige Eins mit Nullen dahinter, und deshalb sind Zweierpotenzen die natürliche Einheit für Feldbreiten, Seitengrößen und Pufferkapazitäten.

  4. Führende Nullen ändern den Wert nicht

    1. Die führenden Nullen der Eingabe stehen vorne an der Dezimalzahl und tragen nichts bei
    2. Die Umrechnung läuft über die 17, genau wie im ersten Beispiel
    3. Beide Ausgaben lauten Wort für Wort so wie dort

    Führende Nullen werden auf der Eingabeseite angenommen, weil eine Dezimalzahl oft aus einer Quelle eingefügt wird, die sie aufgefüllt hat, und sie ändern nichts: null Hunderter sind immer noch null Hunderter. In der anderen Richtung gilt dasselbe, wenn ein Wert absichtlich auf eine feste Breite aufgefüllt wird — 00010001 in einem Acht-Bit-Feld ist dieselbe Zahl wie 10001, und die Seite nimmt beides an.

Einschränkungen

Diese Seite rechnet nur ganze Zahlen um. Ein Dezimaltrennzeichen wird abgelehnt statt gerundet, 17,5 lässt sich also nicht umrechnen — eine Lesart mit Nachkommastellen bräuchte eine zweite Regel darüber, wie viele Stellen man zeigt und wie man die letzte rundet, und jede Seite dieser Gruppe zieht diese Grenze an derselben Stelle. Tausenderpunkte werden ebenfalls abgelehnt, schreiben Sie also 1500 und nicht 1.500. Das ist für deutschsprachige Leser die ungewohnte Seite dieser Regel: Die deutsche Schreibweise von vierstelligen Zahlen ist genau die, die hier nicht angenommen wird, denn der Punkt wird in manchen Sprachen als Dezimaltrennzeichen gelesen, und zwischen den beiden Lesarten zu raten ist schlechter als nachzufragen. Die Eingabe darf höchstens 9.007.199.254.740.991 betragen, was dreiundfünfzig Binärstellen entspricht; ein größerer Wert lässt sich von einer Maschine nicht mehr genau halten und wird mit einer Meldung abgelehnt statt in etwas umgerechnet, das wie eine Antwort aussieht. Führende Nullen und ein vorangestelltes Minuszeichen sind beide erlaubt. Die Seite druckt in der Tabelle unten die Halbierungstreppe für die 17, und die ist fest und folgt nicht der Zahl, die Sie eingetippt haben — das Panel beantwortet Ihre Zahl, die Tabelle zeigt das Verfahren. Die Gegenrichtung, also eine Binärzahl als Dezimalzahl zurückzulesen, ist eine eigene Seite, und mit dem Ergebnis wird hier nicht gerechnet.

Häufige Fragen

Wie rechne ich eine Dezimalzahl von Hand in eine Binärzahl um?
Durch zwei teilen, den Rest hinschreiben, dann den Quotienten wieder durch zwei teilen und so weiter, bis der Quotient null ist. Für die 17 ergibt das die Reste 1, 0, 0, 0, 1 — und weil jede Runde die nächste Ziffer von rechts liefert, liest man sie von unten nach oben und erhält 10001. Die Alternative, die viele schneller finden, ist das Abziehen der größten passenden Zweierpotenz: eine 1 an dieser Stelle merken und mit dem Rest weitermachen. Beide Wege ergeben dieselben Ziffern, und die auf dieser Seite ausgegebene Stellenwertsumme ist das, was der zweite Weg übrig lässt.
Warum liest man die Reste von unten nach oben?
Weil die erste Division eine Frage über die kleinste Stelle beantwortet und nicht über die größte. Die 17 durch zwei zu teilen fragt, wie viele Zweien darin stecken und was übrig bleibt — und was übrig bleibt, ist die Einerziffer, denn es ist der Teil, der keine Zwei mehr ergeben hat. Die nächste Runde stellt dieselbe Frage an die Zweier, und was sie übrig lässt, ist die Zweierziffer. Die Runden wandern also von der rechtesten Ziffer zur linkesten, und sie in der Reihenfolge ihres Entstehens zu lesen ergibt die Antwort rückwärts.
Kann ich eine Dezimalzahl mit Nachkommastellen umrechnen?
Hier nicht. Diese Seite nimmt ganze Zahlen, 17,5 wird also abgelehnt statt gerundet. Brüche sind im Dualsystem wohldefiniert — die Stellen rechts vom Punkt sind ein Halb, ein Viertel, ein Achtel wert —, aber eine Seite, die sie annähme, müsste entscheiden, wie viele davon sie behält und wie sie die letzte rundet, und jede Seite dieser Gruppe rechnet mit ganzen Zahlen. Dadurch bleibt die Grenze überall an derselben Stelle, ein Wert wird also nicht von der einen Seite angenommen und von der anderen abgelehnt.
Welche ist die größte Dezimalzahl, die ich hier umrechnen kann?
9.007.199.254.740.991, deren Binärform dreiundfünfzig Einsen sind. Die Grenze ist keine Wahl dieser Seite: Ab dieser Breite kann eine Maschine benachbarte ganze Zahlen nicht mehr auseinanderhalten, eine längere Antwort wäre also nicht verlässlich und wird mit einer Meldung abgelehnt statt umgerechnet. Dieselbe Obergrenze erscheint auf der Leseseite als Grenze von dreiundfünfzig Stellen und im Sechzehnersystem als vierzehn Ziffern, weil es eine einzige Grenze ist, in drei Basen geschrieben.
Warum druckt die Seite neben der Binärzahl auch eine Stellenwertsumme?
Damit man die Antwort nachprüfen kann, statt sie glauben zu müssen. Die Binärzahl ist das, wonach gefragt wurde, aber einer richtigen 10001 sieht man nicht an, dass sie richtig ist. Zählt man die Stellenwerte zusammen, die sie trägt — hier 16 und 1 —, kommt die Zahl heraus, mit der man angefangen hat, und das ist die Umrechnung rückwärts. Ergibt die Summe nicht wieder Ihre Zahl, ist die Binärzahl falsch, und das weiß man dann ohne ein zweites Werkzeug.
Gibt es einen schnelleren Weg als das wiederholte Teilen?
Bei Zahlen, die einem oft begegnen, ja: die Zweierpotenzen bis etwa 1024 lernen und die größte passende abziehen. Die 17 nimmt die 16, übrig bleibt 1, die Antwort ist also 10001, bevor man eine einzige Division hingeschrieben hat. Die Treppe ist besser, wenn die Zahl unbekannt ist, denn sie braucht keine Arithmetik, bei der man sich vertun kann — wiederholt durch zwei zu teilen ist mechanisch. Beide Wege enden bei denselben Ziffern, und keiner ist richtiger als der andere.

Quellen

Verwandte Rechner

Binär-in-Dezimal-UmrechnerWandelt Binär in Dezimal um, mit den Stellenwerten.Dezimal-in-Hexadezimal-UmrechnerTeilt eine Dezimalzahl durch sechzehn, mit den Buchstaben.Binär-RechnerAddiert, subtrahiert, multipliziert und teilt Binärzahlen.Schriftliche-Division-RechnerSchriftlich dividieren, Schritt für Schritt, mit Rest.