Divisionsrest-Rechner

47 = 5 × 9 + 2 ⇒ Quotient 9, Rest 2; und -47 = 5 × -10 + 3 beim Abrunden gegenüber -47 = 5 × -9 + -2 beim Abschneiden

47

Der Dividend, also die Zahl, die geteilt wird — eine ganze Zahl von -1.000.000.000 bis 1.000.000.000. Negative Werte sind erlaubt und sind der ganze Grund, warum es das Feld für die Konvention gibt. Nachkommastellen werden abgelehnt statt gerundet, denn ein Rest ist eine Aussage über ganze Zahlen

5

Der Divisor, eine ganze Zahl von -1.000.000.000 bis 1.000.000.000. Er darf nicht 0 sein, weil kein Quotient die Probe erfüllen würde. Er darf auch negativ sein, und ein negativer Divisor dreht unter beiden Konventionen das Vorzeichen des Quotienten um — die Probe ist das, was dabei die Übersicht hält

truncated

Die Konvention, die den Nachkommateil des genauen Quotienten verwirft und ihn damit in Richtung null schiebt: -47 ÷ 5 ergibt -9, weil -9,4 zu -9 abgeschnitten wird. Der Rest trägt anschließend das Vorzeichen des Dividenden und darf negativ sein. Das ist das, was die meisten Programmiersprachen liefern, und hier ist es die Voreinstellung

euclidean

Die Konvention, die den Quotienten stattdessen auf die nächste ganze Zahl nach unten schiebt, sodass der Rest nie negativ wird: -47 ÷ 5 ergibt -10 mit dem Rest 3. Zahlentheorie und Modulo-Rechnung brauchen diese Fassung, weil ein negativer Rest keinen Sinn ergibt, wenn er für eine Position im Zyklus steht. In der Auswahl steht sie unter dem Namen euklidisch. Sind beide Zahlen positiv, stimmen die beiden Konventionen überein

quotient 9

Wie oft der Divisor ganz hineinpasst. Beim Abschneiden ist das der genaue Quotient ohne seinen Nachkommateil, beim Abrunden der genaue Quotient auf die nächste ganze Zahl nach unten. Die beiden unterscheiden sich um genau 1, wenn die Vorzeichen den Rest negativ werden lassen, und sonst nie

remainder 2

Was übrig bleibt, und die Zahl, um die sich diese ganze Seite dreht. Er ist immer betragsmäßig kleiner als der Divisor, und er ist 0, sobald die Division genau aufgeht. Sein Vorzeichen ist der ganze Unterschied zwischen den beiden Konventionen: Beim Abschneiden folgt er dem Dividenden, beim Abrunden fällt er nie unter 0

Dinge in Gruppen aufzuteilen ist der Alltagsfall, und in ihm spielt die Konvention nie eine Rolle: 47 Stücke in Fünfergruppen ergeben 9 volle Gruppen und 2 Stücke übrig, und niemand würde die Antwort -9 mit -2 übrig nennen. Sobald die Zahlen negativ werden können, wird die Konvention wichtig, und das passiert häufiger, als es aussieht. Die ganzzahlige Division in der Programmierung ist der übliche Fall — die meisten Sprachen schneiden ab, -47 / 5 ist also -9 mit dem Rest -2, und Code, der einen nie negativen Rest annimmt, bricht bei negativen Eingaben. Die Modulo-Rechnung ist die andere Seite: Uhrzeiten, Kalenderdaten, das Durchlaufen einer Liste und die Rechnerarithmetik mit ganzzahligen Werten fester Breite brauchen alle die abgerundete Fassung, weil »drei Schritte zurück von hier« auf einer echten Position im Zyklus landen muss. Im Unterricht wird der Rest beim Abschneiden zusammen mit der schriftlichen Division gelehrt, wobei negative Zahlen entweder ausgeklammert oder mit derselben Regel behandelt werden, nach der das Vorzeichen dem Dividenden folgt. Die Probezeile lohnt sich in jeder dieser Umgebungen, weil die beiden Konventionen Quotienten liefern, die sich um eins unterscheiden, und Reste, die sich um den Divisor unterscheiden, und beide Paare erfüllen die Definition — ein Paar, das sie nicht erfüllt, ist ein Fehler, unabhängig davon, welche Konvention gemeint war.

1. 47 ÷ 5, wo beide Konventionen übereinstimmen

   1. Die 5 passt neunmal in die 47: 5 × 9 = 45
   2. 47 - 45 = 2, es bleiben also 2 übrig
   3. Der genaue Quotient ist 9,4; abgeschnitten ergibt das 9
   4. Abgerundet ergibt 9,4 ebenfalls 9, die beiden Konventionen stimmen hier also überein
   5. Probe: 5 * 9 + 2 = 47

   Die voreingestellte Eingabe und der Fall, in dem das Feld für die Konvention keinen Unterschied macht. Beide Konventionen stimmen immer dann überein, wenn Dividend und Divisor dasselbe Vorzeichen haben, was jedes Paar positiver Zahlen einschließt; die Wahl zeigt sich erst, wenn eine der beiden Zahlen negativ ist. Die Probe als Satz zu lesen ist die Gewohnheit, die sich lohnt: Divisor mal Quotient plus Rest muss genau den Dividenden zurückgeben. Die Anzeige druckt sie als 5 * 9 + 2 = 47, also mit Sternchen statt Malzeichen und ohne Tausenderpunkte, weil sie als reiner Text ausgegeben wird und dabei nicht lokalisiert wird.

2. -47 ÷ 5 abgeschnitten: der Rest wird negativ

   1. Der genaue Quotient ist -47 ÷ 5 = -9,4
   2. Das Abschneiden verwirft den Nachkommateil und schiebt den Quotienten in Richtung null: -9
   3. 5 × -9 = -45, das ist 2 mehr als -47, also müssen 2 zurückgenommen werden: der Rest ist -2
   4. Der Rest trägt das Vorzeichen des Dividenden, deshalb ist er hier negativ
   5. Probe: 5 * -9 + -2 = -47

   Der Quotient ist -9 und nicht -10, und der Rest ist -2 und nicht 3. Sowohl dieses Paar als auch das nächste erfüllen dieselbe Definition, und genau das ist der Punkt der Seite: -9 mit dem Rest -2 und -10 mit dem Rest 3 sind beides korrekte Zerlegungen von -47, und die Konvention entscheidet, welche man bekommt. Die meisten Programmiersprachen landen hier, Code, der einen nie negativen Rest annimmt, wird von dieser Zeile also überrascht. Die Anzeige druckt die Probe unverändert als 5 * -9 + -2 = -47.

3. -47 ÷ 5 abgerundet: der Rest bleibt nicht negativ

   1. Der genaue Quotient ist weiterhin -47 ÷ 5 = -9,4
   2. Das Abrunden geht auf die nächste ganze Zahl nach unten statt in Richtung null: -10
   3. 5 × -10 = -50, das liegt 3 unter -47, es bleiben also 3 übrig: der Rest ist 3
   4. Der Rest ist nicht negativ, und genau das garantiert diese Konvention
   5. Probe: 5 * -10 + 3 = -47

   Gleicher Dividend, gleicher Divisor, andere Antwort — und diese ist keine Korrektur des vorigen Beispiels. Das Abrunden ist das, was die Modulo-Rechnung braucht, weil ein Rest, der für eine Position im Zyklus steht, nicht negativ sein kann; -47 modulo 5 ist dort 3, und von jedem Ergebnis einer Modulo-Operation wird erwartet, dass es zwischen 0 und dem Divisor liegt. Der Quotient ist um eins niedriger als beim Abschneiden und der Rest um genau den Divisor größer — das ist der feste Zusammenhang zwischen den beiden Konventionen. Die Anzeige druckt die Probe als 5 * -10 + 3 = -47.

4. Ein negativer Divisor nahe der Grenze: 1.000.000.000 ÷ -999.999.999

   1. Der Divisor ist negativ, der genaue Quotient also ebenfalls: etwa -1,000000001
   2. In Richtung null abgeschnitten ergibt das -1
   3. -999.999.999 × -1 = 999.999.999, das ist 1 weniger als 1.000.000.000
   4. Der Rest ist 1, und er übernimmt das Vorzeichen des Dividenden, das positiv ist
   5. Probe: -999999999 * -1 + 1 = 1000000000

   Beide Zahlen liegen am Rand dessen, was die Seite annimmt, und der Quotient kommt als -1 heraus, weil der Divisor betragsmäßig nur knapp größer ist als der Dividend. Die Probe ist der Teil, den es sich zu lesen lohnt: Zwei negative Zahlen, die multipliziert eine positive ergeben, plus ein Rest von 1, landen genau auf dem Dividenden. Ein negativer Divisor dreht unter beiden Konventionen das Vorzeichen des Quotienten um, während der Rest weiterhin dem Dividenden folgt. Die Anzeige druckt die Probe unverändert als -999999999 * -1 + 1 = 1000000000, ohne Tausenderpunkte und mit Sternchen, weil sie als reiner Text ausgegeben wird — dieselbe Zahl steht in der Eingabe und in der Prosa dieser Seite also in zwei Schreibweisen, und das ist Absicht.

Dividend und Divisor müssen ganze Zahlen von -1.000.000.000 bis 1.000.000.000 einschließlich sein, und der Divisor darf unter keiner Konvention 0 sein — es gibt keine Zahl, die mit 0 multipliziert einen von 0 verschiedenen Dividenden zurückgibt, also könnten kein Quotient und kein Rest die Probe erfüllen. Nachkommastellen werden abgelehnt statt gerundet: Ein Rest ist eine Aussage darüber, wie ganze Zahlen durch ganze Zahlen geteilt werden. Das Feld für die Konvention kennt genau zwei Werte, Abschneiden oder Abrunden (euklidisch), und beide stehen immer zur Verfügung; eine dritte Möglichkeit gibt es nicht, und die Seite rät nicht, welche gemeint war. Bei zwei positiven Zahlen macht die Wahl keinen Unterschied, und die beiden Konventionen sind sich in nichts uneins außer im Vorzeichen des Restes und in einem Quotienten, der um eins abweicht. Beim Abschneiden kann der Rest negativ werden, und das ist das Verhalten der Konvention und kein Fehler. Die Referenztabelle unten ist fest auf ±47 und ±5 eingestellt und folgt Ihrer Eingabe nicht: Sie legt alle vier Vorzeichenkombinationen nebeneinander, damit sich die beiden Konventionen vergleichen lassen, während die Anzeige oben beantwortet, was Sie eingegeben haben. Jeder Wert ist exakt — alle vier Zahlen sind ganze Zahlen weit innerhalb des Bereichs, den eine Maschine genau darstellt —, hier wird also nichts gerundet.

Warum gibt es für dieselbe Division zwei Antworten?

Weil die Definition nur verlangt, dass Quotient mal Divisor plus Rest wieder den Dividenden ergibt, und bei einem negativen Dividenden erfüllen sowohl ein kleinerer Quotient mit negativem Rest als auch ein größerer Quotient mit positivem Rest diese Bedingung. -47 ÷ 5 ist -9 mit dem Rest -2, wenn der Quotient in Richtung null abgeschnitten wird, und -10 mit dem Rest 3, wenn er abgerundet wird. Beides ist richtig, und welche der beiden Antworten man bekommt, entscheidet die Konvention.

Welche Konvention ist die richtige?

Voreingestellt ist das Abschneiden, weil die meisten Programmiersprachen es so machen und weil die meisten unter einer ganzzahligen Division genau das verstehen: Der Quotient wandert in Richtung null und der Rest folgt dem Vorzeichen des Dividenden. Nehmen Sie das Abrunden, in der Auswahl als euklidisch bezeichnet, wenn der Rest nicht negativ werden darf: Modulo im mathematischen Sinn, Positionen im Zyklus, Kalenderrechnung und alles, wo der Rest ein Index in eine sich wiederholende Liste ist. Bei zwei positiven Zahlen macht die Wahl überhaupt keinen Unterschied.

Was ist der Rest, wenn der Divisor negativ ist?

Es gilt dieselbe Regel, nur mit umgekehrtem Vorzeichen des Quotienten. 47 ÷ -5 ergibt abgeschnitten -9 mit dem Rest 2, weil der Rest dem Dividenden folgt und nicht dem Divisor. Ein negativer Divisor dreht also das Vorzeichen des Quotienten um und lässt die Vorzeichenregel des Restes unangetastet — genau das zeigt die zweite Zeile der Tabelle.

Ist das dasselbe wie die Modulo-Operation?

Verwandt, aber nicht identisch. Modulo liefert nur den Rest und ist normalerweise mit einem nicht negativen Ergebnis definiert, was hier dem Abrunden entspricht. Der Unterschied zeigt sich bei negativen Eingaben: -47 modulo 5 ist 3, während die ganzzahlige Division mit Abschneiden -2 zurückgibt. Ist ein nicht negatives Ergebnis gewünscht, wählen Sie das Abrunden; soll der Quotient in Richtung null gerundet sein, wählen Sie das Abschneiden.

Was ist der Rest, wenn die Division genau aufgeht?

Null, unter beiden Konventionen. Geht der Divisor in einer ganzen Zahl oft auf, so bleibt nichts übrig, und die Probe lautet Divisor mal Quotient gleich Dividend, ohne einen dritten Term. Ein Rest von 0 ist eine normale Antwort und heißt, dass die Division exakt war — nicht, dass die Ausgabe versagt hat.

Warum darf der Divisor nicht null sein?

Weil kein Quotient und kein Rest die Probe erfüllen könnten. Ist der Divisor 0, so ist 0 mal irgendein Quotient wieder 0, die Probe bräuchte also einen Rest, der gleich dem Dividenden ist und zugleich betragsmäßig kleiner als der Divisor — für jeden Dividenden ungleich 0 unmöglich, und bei einem Dividenden von 0 wäre nicht eine Antwort richtig, sondern jede Zahl auf einmal. Die Seite lehnt die Eingabe daher ab, statt etwas Beliebiges zurückzugeben.

• Remainder — from Wolfram MathWorld (English original; die Definition, die Gleichung, die Dividend, Divisor, Quotient und Rest verknüpft, und die verschiedenen Konventionen bei negativen Vorzeichen) — Wolfram MathWorld (United States)
• Modulo — from Wolfram MathWorld (English original; woher die Konvention mit dem nie negativen Rest kommt und warum ein negativer Rest als Position im Zyklus nicht brauchbar ist) — Wolfram MathWorld (United States)
• Division — Mathebibel: die deutschsprachige Darstellung von Dividend, Divisor und Quotient und der Probe, die auf dieser Seite ausgegeben wird — Mathebibel (Deutschland)
• Ganze Zahlen — Mathebibel: die deutschsprachige Einführung in die ganzen Zahlen, ihre Ordnung und die Vorzeichenregeln, auf denen die beiden Konventionen aufsetzen — Mathebibel (Deutschland)