Bruch-in-Dezimalzahl-Rechner

Dezimalzahl = Zähler ÷ Nenner Gekürzter Bruch = Zähler/Nenner, nachdem der größte gemeinsame Teiler weggekürzt wurde Periodenlänge = die Länge des wiederkehrenden Ziffernblocks (0, wenn die Dezimalzahl abbricht)

Zähler

Der obere Teil des Bruchs, eine ganze Zahl. Er darf negativ oder null sein; ein Zähler von null ergibt die Dezimalzahl null, und ein Bruch, dessen Zähler größer ist als sein Nenner, ergibt eine Dezimalzahl über eins

Nenner

Der untere Teil des Bruchs, eine ganze Zahl bis hunderttausend und nicht null. Dieses Feld entscheidet, ob die Dezimalzahl abbricht oder sich wiederholt, und wenn sie sich wiederholt, wie lang die Periode ist — eine Tatsache über den Nenner allein

Dezimalzahl

Der Zähler geteilt durch den Nenner, auf sechs Stellen gezeigt. Bricht die Dezimalzahl ab, enthalten diese sechs Stellen die ganze Antwort mit nachgestellten Nullen; wiederholt sie sich, sind sie die an der sechsten Stelle gerundete Darstellung und keine abgeschnittene oder gar exakte Form davon

Gekürzter Bruch

Der Bruch in gekürzter Form, und das ist die Form, in der sein Wiederholungsverhalten beurteilt werden muss: 2/4 wird als 1/2 gemeldet, und es ist die 2 in diesem Nenner, die über das Abbrechen entscheidet, nicht die eingetippte 4

Periodenlänge

Wie viele Ziffern der wiederkehrende Block lang ist, oder null, wenn die Dezimalzahl abbricht. Ein Drittel ergibt 1, ein Siebtel ergibt 6, ein Siebenundneunzigstel ergibt 96 — und die Zahl hängt nur vom gekürzten Nenner ab, jeder Bruch mit einer Siebenundneunzig darunter hat also eine Periode von 96, unabhängig von seinem Zähler

Drei Anwendungen, in aufsteigender Reihenfolge danach, wie sehr die dritte Ausgabe hilft. Einen Bruch zum Messen oder für eine Tabellenkalkulation in eine Dezimalzahl umzuwandeln, ist die schlichte: Drei Achtel sind 0,375, ein Halb ist 0,5, und die vier Brüche mit kleinen Nennern sollte man ohnehin auswendig kennen. Zu prüfen, ob sich ein Bruch exakt umwandeln lässt, ist die zweite, und es ist die Frage, die zählt, wenn die Antwort in eine feste Anzahl von Nachkommastellen muss — ein Nenner aus lauter Zweien und Fünfen wandelt sich sauber um, einer mit einer Sieben oder einer Drei darin nie, egal wie viele Stellen man erlaubt. Und abzuschätzen, wie viel Genauigkeit man aufgibt, ist die dritte: Ein Bruch mit einer Periode von ein oder zwei Ziffern ist durch sechs Nachkommastellen gut dargestellt, einer mit einer Periode von 96 nicht — ein Siebenundneunzigstel erscheint als 0,010309, und die nächsten sechs Stellen der wahren Darstellung sind völlig andere Ziffern, was man wissen sollte, bevor diese Zahl in eine Rechnung geht. Zwei Fälle liegen außerhalb dessen, was die Seite tut. Eine periodische Dezimalzahl zurück in ihren exakten Bruch zu verwandeln, ist die umgekehrte Richtung und ein eigenes Problem, und eine auf sechs Stellen ausgegebene Dezimalzahl hat die periodische Struktur, die es lösen würde, bereits weggeworfen. Und gemischte Zahlen werden nicht als Eingabe akzeptiert: Zwei und ein Viertel geht als 9/4 hinein, weil die Division einen einzelnen Zähler und Nenner braucht.

1. Drei Achtel — eine Dezimalzahl, die abbricht

   1. Den Zähler durch den Nenner teilen: 3 ÷ 8 = 0,375
   2. Die Division geht auf, die Periode ist also 0
   3. Der Bruch ist bereits gekürzt, er wird also als 3/8 gemeldet

   Der Standardfall und die einfache Art: Die Acht ist allein aus Zweien gebaut, die Dezimalzahl bricht also ab, und die sechs Stellen der Anzeige enthalten die ganze Antwort mit Nullen dahinter. Die Periodenausgabe von null ist es, die das sagt — eine Null bedeutet hier, dass nichts gerundet und nichts weggeworfen wurde, was sie zur ersten Zahl macht, die man ansieht, wenn es auf die Exaktheit einer Dezimalzahl ankommt.

2. Ein Drittel — eine Dezimalzahl, die nie abbricht

   1. Teilen: 1 ÷ 3 = 0,333333…
   2. Die Drei ist nicht aus Zweien und Fünfen gebaut, die Darstellung endet also nie
   3. Der wiederkehrende Block ist die einzelne Ziffer 3, die Periode ist also 1
   4. Die Anzeige zeigt die ersten sechs Stellen, 0,333333

   Der Fall, für den die Periodenausgabe existiert, und der, in dem die Dezimalzahl am wenigsten verlässlich ist. 0,333333 ist nicht ein Drittel — es ist ein Drittel, gerundet an der sechsten Stelle, und mit drei multipliziert ergibt es 0,999999 statt 1. Die Periode von 1 sagt Ihnen, dass die Anzeige die Ansicht einer unendlichen Darstellung ist und nicht die ganze Antwort; eine Periode von null auf derselben Seite sagte das Gegenteil. Ein Drittel plus zwei Drittel zu addieren ist die klassische Vorführung: Die Dezimalzahlen ergeben 0,999999, die Brüche exakt 1.

3. Zweiundzwanzig Siebtel — eine lange Periode und ein unechter Bruch

   1. Teilen: 22 ÷ 7 = 3,142857142857…
   2. Die Sieben bringt einen Primfaktor außer zwei und fünf mit, die Dezimalzahl wiederholt sich also
   3. Der wiederkehrende Block ist 142857, sechs Ziffern lang
   4. Die Anzeige zeigt 3,142857, und der Bruch ist bereits gekürzt

   Ein Bruch größer als eins, die Dezimalzahl hat also einen ganzzahligen Teil, und ein Nenner von sieben, dessen Periode sechs Ziffern lang ist — die längste, die ein einstelliger Nenner erzeugt. Zweiundzwanzig Siebtel ist die klassische Näherung für Pi, auf zwei Nachkommastellen genau, und der wiederkehrende Block 142857 ist selbst berühmt als die Periode von einem Siebtel. Die Periodenausgabe leistet hier echte Arbeit: Sie sagt, dass die sechs gezeigten Ziffern der vollständige wiederkehrende Block sind und kein gerundetes Bruchstück eines längeren.

4. Zwei Viertel wird als ein Halb gemeldet

   1. Zuerst kürzen: 2 und 4 haben den gemeinsamen Teiler 2, der Bruch ist also 1/2
   2. Die gekürzte Form teilen: 1 ÷ 2 = 0,5
   3. Die Zwei ist allein aus Zweien gebaut, die Periode ist also 0

   Die Seite kürzt, bevor sie teilt, und so sieht das aus: Die Bruchausgabe ist 1/2 und nicht die eingetippte 2/4. Der Wert ist in beiden Fällen derselbe, und die gekürzte Form ist die, aus der das Wiederholungsverhalten gelesen werden muss — der Nenner, der über das Abbrechen entscheidet, ist der gekürzte. Das einmal zu sehen erklärt, warum ein Bruch, den man in einer unerwarteten Form eintippt, in einer anderen zurückkommt.

5. Ein Siebenundneunzigstel — eine Periode länger als die Anzeige

   1. Teilen: 1 ÷ 97 = 0,010309278350515…
   2. Siebenundneunzig ist prim und weder zwei noch fünf, die Dezimalzahl wiederholt sich also
   3. Die Periode ist 96 Ziffern lang
   4. Die Anzeige zeigt die ersten sechs Stellen, 0,010309

   Der Extremfall und der Grund, warum sich die Periode auch dann auszugeben lohnt, wenn sie groß ist. Sechsundneunzig Ziffern sind weit mehr als die sechs auf der Anzeige, Sie sehen also ein Sechzehntel der ersten Wiederholung — eine Zahl, die man sehr weit tragen müsste, bevor ihr Muster sichtbar würde. Eine Periode von 96 neben einer sechsstelligen Dezimalzahl ist eine Warnung: Es heißt nicht, dass die Dezimalzahl falsch ist, es heißt, dass sie eine Momentaufnahme ist. Vergleichen Sie das mit dem Fall des Drittels, wo die Periode von 1 dieselben sechs Stellen zu einer viel besseren Darstellung der Zahl macht.

Die Dezimalzahl wird auf sechs Stellen gezeigt, exakt ist sie also nur, wenn die Periodenlänge null ist. Ist die Periode größer als null, hat die Zahl keine endliche Dezimalform, und die sechs Ziffern sind die an der sechsten Stelle gerundete Darstellung — ein Drittel erscheint als 0,333333, und das ist kein Drittel, und ein Drittel plus zwei Drittel erscheint als 0,999999 statt als 1. Eine Periode größer als sechs bedeutet, dass die Anzeige nur einen Teil einer einzigen Wiederholung zeigt. Die Seite kürzt vor dem Teilen, ein Bruch, der in einer anderen als der gekürzten Form eingegeben wird, kommt also gekürzt zurück: 2/4 wird als 1/2 gemeldet und 100/8 als 25/2, und die Periode, die eine Eigenschaft des gekürzten Nenners ist, wird aus dieser gekürzten Form berechnet. Ganzzahlige Ergebnisse werden als ganze Zahlen ausgegeben und nicht als Brüche über eins, 5/1 kommt also als 5 zurück und ein Zähler von null als 0. Gemischte Zahlen werden nicht akzeptiert: Zwei und ein Viertel muss als 9/4 eingegeben werden, weil die Division mit einem einzelnen Zähler und Nenner arbeitet, und ein nicht ganzzahliger Wert in einem der beiden Felder wird abgewiesen statt umgewandelt. Die Nenner sind auf hunderttausend gedeckelt, was auch die Periode begrenzt — die längste Periode, die ein erlaubter Nenner erzeugen kann, liegt knapp unter hunderttausend Ziffern. Und die Periode wird als Anzahl von Ziffern gemeldet und nicht als die Ziffern selbst: Die Seite sagt Ihnen, dass die Darstellung eines Siebenundneunzigstels sich alle sechsundneunzig Stellen wiederholt, ohne Ihnen zu zeigen, welche sechsundneunzig Ziffern das sind.

Wie wandelt man einen Bruch in eine Dezimalzahl um?

Den Zähler durch den Nenner teilen: Drei Achtel sind 3 ÷ 8 = 0,375, und ein Halb ist 1 ÷ 2 = 0,5. Die Division ist das ganze Verfahren — das Einzige, was man vorher tun sollte, ist das Kürzen des Bruchs, denn der gekürzte Nenner ist es, der entscheidet, ob die Dezimalzahl abbricht oder endlos weiterläuft.

Woran erkenne ich, ob die Dezimalzahl abbricht?

An den Primfaktoren des gekürzten Nenners. Ist er nur aus Zweien und Fünfen gebaut, bricht die Dezimalzahl ab: 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25 und 100 ergeben alle abbrechende Dezimalzahlen. Enthält er irgendeine andere Primzahl — eine Drei, eine Sieben, eine Elf —, wiederholt sich die Dezimalzahl endlos und lässt sich in keiner endlichen Anzahl von Stellen exakt schreiben. Die Ausgabe der Periodenlänge sagt Ihnen, welcher Fall vorliegt: null bedeutet, die Dezimalzahl bricht ab, alles andere ist die Länge des wiederkehrenden Blocks.

Warum wird 1/3 als 0,333333 angezeigt?

Weil die Anzeige sechs Nachkommastellen trägt und ein Drittel keine endliche Dezimalform hat, die sechste Stelle ist also die, an der die Darstellung gerundet wird. 0,333333 ist nicht exakt ein Drittel — mit drei multipliziert ergibt es 0,999999 statt 1, und das ist der rechnerische Weg, den Unterschied zu sehen. Die Periodenlänge von 1 ist die Art dieser Seite, Ihnen das zu sagen: Die Dezimalzahl läuft weiter, und was gezeigt wird, ist eine Ansicht davon und nicht die Antwort.

Warum wird 2/4 als 1/2 angezeigt?

Weil die Seite den Bruch vor dem Teilen kürzt, und die gekürzte Form ist die, auf die es für alles Weitere ankommt, was sie meldet. Der Wert ist in beiden Fällen derselbe — 0,5 —, aber die Periodenlänge ist eine Eigenschaft des gekürzten Nenners, das Kürzen muss also zuerst geschehen: Es ist die 2 in 1/2, die sagt, dass die Dezimalzahl abbricht, und nicht die eingetippte 4. Brüche, die in einer höheren Form als nötig eingegeben werden, kommen immer gekürzt zurück.

Was bedeutet eine Periodenlänge von 96?

Dass sich die Dezimaldarstellung dieses Bruchs alle sechsundneunzig Stellen wiederholt — bei einem Siebenundneunzigstel läuft der Block aus sechsundneunzig Ziffern endlos weiter. Es ist kein Maß dafür, wie genau die angezeigte Dezimalzahl ist: Die sechs gezeigten Stellen sind so weit richtig, wie sie gehen, sie sind nur ein kleiner Teil einer einzigen Wiederholung. Was es Ihnen sagt, ist, dass sechs Nachkommastellen die Zahl nicht gut darstellen können, da die folgenden Ziffern keine Fortsetzung des sichtbaren Musters sind, sondern eines viel längeren.

Darf die Antwort größer als eins oder negativ sein?

Beides ist gewöhnlich. Ein Zähler größer als der Nenner ergibt eine Dezimalzahl über eins — zweiundzwanzig Siebtel sind 3,142857 —, und die Bruchausgabe bleibt unecht, statt zu einer gemischten Zahl zu werden. Ein negativer Zähler ergibt eine negative Dezimalzahl, und das Vorzeichen bleibt im Zähler des Bruchs: minus drei Viertel ist minus 0,75 und steht als -3/4 da. Die Periodenlänge wird von beidem nicht berührt, weil sie nur vom Nenner abhängt.

• Repeating Decimal — eine Dezimaldarstellung, in der sich eine Ziffer oder ein Ziffernblock endlos wiederholt; das ist die Eigenschaft, die die Periodenausgabe misst, zusammen mit der Regel, dass eine abbrechende Dezimalzahl einen gekürzten Nenner ohne andere Primfaktoren als 2 oder 5 hat — Wolfram MathWorld (United States)
• Decimal fraction — ein arithmetischer Bruch mit einer ganzzahligen Zehnerpotenz als Nenner; genau das ist die Klasse der Brüche, deren Dezimaldarstellung abbricht — Encyclopedia of Mathematics, European Mathematical Society (international)
• Fraction — Zähler, Nenner und das Kürzen eines Bruchs auf seine einfachste Form, also der Schritt, der geschehen muss, bevor die Primfaktoren des Nenners abgelesen werden können — Wolfram MathWorld (United States)
• Bruch in Dezimalzahl — Mathebibel: Zähler durch Nenner teilen, die drei Fälle abbrechend, rein periodisch und gemischt periodisch, samt der Primfaktorregel für den Nenner — Mathebibel (Deutschland)