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CalcMax

Bruch-Rechner

Bereich: 1 – 100.000

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Ergebnis

5/6

Bruch in gekürzter Form

Vor dem Kürzen
5/6
Als Dezimalzahl
0,833333

Ein Bruchrechner erledigt die vier Grundrechenarten mit zwei Brüchen auf einmal: Zähler und Nenner eintippen, addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren wählen, den zweiten Bruch eintippen — und die Antwort kommt bereits in gekürzter Form zurück. Ein Halb plus ein Drittel ist fünf Sechstel, und das Werkzeug gibt das aus statt der sechzehn Sechsunddreißigstel, die man beim Multiplizieren der Nenner erhält. Genau dieser Satz ist der Grund, überhaupt einen Rechner zu benutzen. Das Addieren von Brüchen ist die Operation, bei der es schiefgeht, weil sie die einzige der vier ist, die übereinstimmende Nenner braucht, bevor irgendetwas geschehen kann: Beim Multiplizieren wird quer multipliziert und fertig, beim Addieren und Subtrahieren müssen die Halben und Drittel erst in etwas Gemeinsames gebracht werden. Zwei Wege führen dorthin. Der sichere, den diese Seite vollständig zeigt, multipliziert jeden Zähler mit dem anderen Nenner und verwendet deren Produkt als gemeinsamen Nenner: für ein Halb und ein Drittel ergibt das fünf Sechstel über sechs, die Form vor dem Kürzen. Der ordentlichere sucht die kleinste Zahl, die beide Nenner teilen, hier die 6, und zieht dieselbe Antwort direkt auf fünf Sechstel zusammen. Beide Ausgaben gibt es, damit Sie beide sehen können, und es lohnt sich zu wissen, dass es keine zwei Antworten sind — es ist eine Zahl vor und nach dem Kürzen. Das Dividieren ist die andere Operation mit einer eigenen Regel: Durch einen Bruch zu teilen ist dasselbe wie mit dem umgedrehten Bruch zu multiplizieren, ein Halb geteilt durch drei Viertel ist also ein Halb mal vier Drittel, das sind vier Sechstel und damit zwei Drittel. Das Multiplizieren und das Subtrahieren bringen keine solche Überraschung mit, wobei beim Subtrahieren ein negativer Zähler auftaucht: Ein Halb minus ein Drittel ist ein Sechstel, ein Drittel minus ein Halb ist minus ein Sechstel, und die Seite lässt das Minuszeichen im Zähler stehen und nicht vor dem ganzen Bruch, weil die Rechnung es dorthin gesetzt hat. Vier Dinge sind über die Seite zu wissen, bevor man sich auf sie verlässt. Sie arbeitet mit unechten Brüchen statt mit gemischten Zahlen: Neun Viertel kommen als neun Viertel zurück, was die Form ist, die die nächste Rechnung braucht, und nicht als zwei und ein Viertel. Ein Nenner von null wird rundheraus abgewiesen, statt als Antwort behandelt zu werden, denn der Bruch hätte dann keinen Wert. Das Teilen durch einen Bruch, dessen Zähler null ist, wird ebenfalls abgewiesen, weil der Kehrwert von null keine Zahl ist. Und ein Zähler, der so groß ist, dass die Kreuzmultiplikation den Bereich verlässt, in dem ganze Zahlen exakt sind, wird abgewiesen statt genähert beantwortet — das ist die eine Eingabegrenze, die diese Seite zusätzlich zur Nennergrenze von hunderttausend zieht.

Die vier Rechenarten und die Stelle, an der gekürzt wird

Erster BruchOperatorZweiter BruchVor dem KürzenGekürzte FormDezimalzahl
1/2+1/35/65/60.833333
1/4+1/610/245/120.416667
3/4−1/35/125/120.416667
2/3×3/56/152/50.4
1/2÷3/44/62/30.666667
5/6×3/1015/601/40.25

Sechs Zeilen über alle vier Rechenarten, und das Spaltenpaar, auf das es ankommt, ist das vierte und das fünfte — dieselbe Zahl vor und nach dem Kürzen. Lesen Sie zuerst die zweite Zeile, denn sie zeigt die Arbeit am deutlichsten: Ein Viertel plus ein Sechstel läuft über 10/24, und das kürzt sich zu 5/12, weil zehn und vierundzwanzig den gemeinsamen Teiler 2 haben. Sehen Sie sich danach die erste und die dritte Zeile an, in denen beide Spalten denselben Bruch enthalten und überhaupt nicht gekürzt werden musste; eine Seite, die nur eine Spalte zeigte, würde beides verbergen. Die Zeilen zur Multiplikation und zur Division zeigen die Regeln, die dazugehören: Quer multiplizieren ergibt 6/15 und dann 2/5, und das Dividieren multipliziert mit dem Kehrwert, ein Halb über drei Viertel ergibt also 4/6 und dann 2/3. Die Dezimalzahl jeder Zeile ist der gekürzte Bruch auf sechs Stellen, was die letzte Spalte zu einer Kontrolle der beiden davor macht — die zweite und die dritte Zeile enden beide auf 0,416667, obwohl sie über verschiedene Rechenarten und verschiedene Zwischenbrüche zur Antwort kommen. In der Spalte Operator stehen die Rechenzeichen selbst und keine Wörter, sie ist also in jeder Sprache dieselbe. Die Spalte Vor dem Kürzen ist die Kreuzmultiplikation und nicht der kleinste gemeinsame Nenner: In der zweiten Zeile steht dort 10/24 und nicht 5/12, und genau das ist der Unterschied, den die beiden Bruchspalten sichtbar machen. Beachten Sie, dass die Zahlen in der letzten Spalte der Rechner unverändert ausgibt: Der Dezimaltrenner ist in dieser Tabelle der Punkt (0.416667 statt 0,416667), weil die Zellwerte unverändert durchgereicht werden und nicht durch eine Textvorlage laufen und Tausender nicht gruppiert sind (1000 statt 1.000).

Formel

Addieren oder subtrahieren: a/b ± c/d = (a·d ± c·b) / (b·d) Multiplizieren: a/b × c/d = (a·c) / (b·d) Dividieren: a/b ÷ c/d = (a·d) / (b·c) anschließend beide Teile durch ihren größten gemeinsamen Teiler teilen

Erster Bruch
Ein Zähler und ein Nenner, beide ganze Zahlen. Der Zähler darf negativ oder null sein; der Nenner darf nicht null sein und darf hunderttausend nicht überschreiten
Operator
Eine der vier Grundrechenarten, aus einer Liste gewählt, weil es nur vier gibt — den ersten Bruch mit dem zweiten addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren. Die Division ist diejenige, die durch Umdrehen des zweiten Bruchs ausgeführt wird, und deshalb auch die, bei der ein Zähler von null im zweiten Bruch abgewiesen wird
Zweiter Bruch
Der andere Operand, mit denselben Regeln: beliebiger ganzzahliger Zähler, ein Nenner ungleich null bis hunderttausend. Sein Zähler wird bei der Division zum Nenner des Kehrwerts
Vor dem Kürzen
Der Bruch direkt aus der Regel, noch ohne jedes Kürzen: fünf Sechstel über sechs für ein Halb plus ein Drittel. Sein Nenner ist das Produkt der beiden Nenner, weshalb diese Form manchmal Kreuzmultiplikation genannt wird — und weshalb sie größer sein kann als der kleinste gemeinsame Nenner
Gekürzte Form
Derselbe Wert, nachdem der größte gemeinsame Teiler aus beiden Teilen herausgeteilt wurde: fünf Sechstel über sechs kürzt sich zu fünf Sechstel. Das ist die Antwort, und der Schritt zwischen den beiden Ausgaben ist die gesamte Bruchkürzung
Dezimalzahl
Die Antwort als Dezimalzahl mit sechs Stellen: fünf Sechstel ist 0,833333. Ein Wert, der nicht aufgeht, wird gerundet und nicht abgeschnitten, und die sechs Stellen sind eine Anzeigeentscheidung und keine Aussage über die Genauigkeit des Bruchs

Vier Rechenarten, vier Gelegenheiten, und eine Gewohnheit, die sich lohnt. Addiert wird bei Größen, die in verschiedenen Teilen eines Ganzen anfallen — ein Drittel Tasse plus ein Viertel Tasse, und die Seite sagt Ihnen, dass das sieben Zwölftel sind. Subtrahiert wird genauso mit umgekehrtem Vorzeichen, und es ist die Operation, bei der die Reihenfolge der beiden Brüche zählt: Ein Halb minus ein Drittel ist ein Sechstel, ein Drittel minus ein Halb ist minus ein Sechstel, der zuerst eingegebene Bruch ist also der, von dem abgezogen wird. Multiplizieren ist die einfachste der vier und die, bei der am ehesten zu viel nachgedacht wird — quer multiplizieren, oben mal oben und unten mal unten, und es ist kein gemeinsamer Nenner zu suchen; ein Halb von zwei Dritteln ist ein Drittel. Dividieren ist das Multiplizieren mit dem Kehrwert, und es ist das, wofür die Leute zum Rechner greifen: drei Viertel geteilt durch ein Halb ist drei Viertel mal zwei, das sind sechs Viertel, also eineinhalb. Unter allen vier liegt eine Gewohnheit: die Antwort gegen eine grobe Dezimalzahl prüfen. Fünf Sechstel über sechs ist etwas mehr als acht Zehntel, und fünf Sechstel ist es auch, das Kürzen hat den Wert also nicht verändert — und das ist das Einzige, was das Kürzen unangetastet lassen darf. Widersprechen sich die beiden Dezimalzahlen, liegt der Fehler in der Rechnung und nicht im Kürzen, und kein nochmaliges Lesen der gekürzten Ausgabe wird ihn finden.

Rechenbeispiele

  1. Ein Halb plus ein Drittel

    1. Gemeinsamer Nenner durch Kreuzmultiplikation: 2 × 3 = 6
    2. Erster Zähler: 1 × 3 = 3
    3. Zweiter Zähler: 1 × 2 = 2
    4. Die Zähler über dem gemeinsamen Nenner addieren: (3 + 2) / 6 = 5/6
    5. Nichts kürzt sich — 5 und 6 haben keinen gemeinsamen Teiler —, der Bruch vor dem Kürzen und die Antwort sind also gleich, und die Dezimalzahl ist 0,833333

    Der Standardfall, und einer, bei dem die beiden Bruchausgaben zusammenfallen. Das passiert immer dann, wenn die kreuzmultiplizierte Form bereits gekürzt ist, was bei einer Summe zweier Stammbrüche bedeutet, dass die Nenner teilerfremd waren. Es lohnt sich, das einmal zu sehen, bevor die Fälle kommen, in denen sie sich unterscheiden, damit eine Seite, die einen Bruch zweimal zeigt, nicht wie ein Fehler aussieht.

  2. Ein Viertel plus ein Sechstel, in beiden Formen

    1. Gemeinsamer Nenner durch Kreuzmultiplikation: 4 × 6 = 24
    2. Erster Zähler: 1 × 6 = 6; zweiter Zähler: 1 × 4 = 4
    3. Beide über dem gemeinsamen Nenner addieren: (6 + 4) / 24 = 10/24
    4. Den größten gemeinsamen Teiler von 10 und 24 bestimmen: 2
    5. Beide Teile durch 2 teilen: die Antwort ist 5/12, als Dezimalzahl 0,416667

    Das Beispiel, das die beiden Ausgaben erklärt. Vierundzwanzig ist nicht die kleinste Zahl, die 4 und 6 beide teilen — das ist die 12 —, der Bruch vor dem Kürzen ist also größer als nötig, und der Kürzungsschritt leistet echte Arbeit. Über das Produkt zu gehen statt über das kleinste gemeinsame Vielfache ist keine Bequemlichkeit: Es ist eine Regel, die für jedes Nennerpaar ohne Nachdenken über deren Teiler funktioniert, und das anschließende Kürzen bringt sie in die ordentliche Form zurück. Zehn Vierundzwanzigstel und fünf Zwölftel sind dieselbe Zahl, was die übereinstimmenden Dezimalzahlen am Ende der Tabelle bestätigen.

  3. Zwei Drittel mal drei Viertel

    1. Quer multiplizieren: 2 × 3 = 6 über 3 × 4 = 12
    2. Ein gemeinsamer Nenner ist nicht nötig — dieser Schritt gehört nur zum Addieren und Subtrahieren
    3. Die Sechs kürzen: 6 ÷ 6 = 1 und 12 ÷ 6 = 2
    4. Die Antwort ist 1/2, also 0,5

    Die Multiplikation, bei der die Nenner einfach multipliziert werden und vorher nichts angeglichen werden muss. Das Kürzen ist hier bemerkenswert: Zwei Drittel mal drei Viertel ist ein Halb, also kleiner als jeder der beiden Operanden, weil beide kleiner als eins sind — ein Ergebnis, das Leute überrascht, die vom Multiplizieren erwarten, dass es vergrößert, und das eine Prüfung gegen 0,5 in einem Schritt bestätigt.

  4. Ein Halb geteilt durch drei Viertel

    1. Den zweiten Bruch umdrehen: aus 3/4 wird 4/3
    2. Stattdessen multiplizieren: (1 × 4) / (2 × 3) = 4/6
    3. Die Zwei kürzen: 4 ÷ 2 = 2 und 6 ÷ 2 = 3
    4. Die Antwort ist 2/3, also 0,666667

    Die Division, also die Multiplikation mit dem Kehrwert — die Regel, durch die der Zähler des zweiten Bruchs im Nenner der Antwort landet. Beachten Sie die Richtung: Ein Halb geteilt durch drei Viertel ist zwei Drittel, also größer als das Halb, mit dem Sie angefangen haben, weil der Divisor kleiner als eins ist. Durch eine Zahl unter eins zu teilen vergrößert das Ergebnis immer, und das ist die schnellste Plausibilitätsprüfung, die es hier gibt.

  5. Ein Drittel minus ein Drittel, und neun Viertel geteilt durch neun Viertel

    1. Gemeinsamer Nenner: 3 × 3 = 9
    2. Erster Zähler 1 × 3 = 3, zweiter Zähler 1 × 3 = 3
    3. Subtrahieren: (3 − 3) / 9 = 0/9
    4. Kürzen: null über irgendetwas ist null, und die Antwort wird als 0 ausgegeben und nicht als 0/9

    Null, eine legitime Antwort und kein leeres Ergebnis — die beiden Brüche waren gleich, und gleiche Zahlen subtrahieren sich zu nichts. Die Ausgabe vor dem Kürzen behält die Gestalt der Rechnung, die sie erzeugt hat, die Neun im Nenner, während die Antwort auf die einzelne Ziffer zusammenfällt. Derselbe Zusammenfall geschieht am anderen Ende: Neun Viertel geteilt durch neun Viertel ergibt die ganze Zahl 1, mit 36 über 36 als Form vor dem Kürzen, ein Bruch, dessen Zähler und Nenner gleich sind, wird also als ganze Zahl ausgegeben und nicht als Bruch über sich selbst.

Einschränkungen

Die Ausgabe vor dem Kürzen ist die Kreuzmultiplikation und nicht der kleinste gemeinsame Nenner. Ein Viertel plus ein Sechstel läuft über vierundzwanzig statt über zwölf, der Zwischenbruch ist also größer als der ordentliche und sieht für jeden falsch aus, der das kleinste gemeinsame Vielfache erwartet. Beide Brüche sind dieselbe Zahl und die Antwort ist richtig — die beiden Ausgaben unterscheiden sich nur darin, wie viel gekürzt wurde —, aber wenn Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner wollten, ist die gekürzte Ausgabe die richtige zum Lesen. Ergebnisse sind unechte Brüche, nie gemischte Zahlen: Neun Viertel bleibt neun Viertel, statt zwei und ein Viertel zu werden, und ein ganzzahliges Ergebnis wird als ganze Zahl ausgegeben, ein Halb geteilt durch ein Halb ist also 1 und nicht 1/1. Die Dezimalausgabe ist auf sechs Stellen gerundet, was sie zu einer Kontrolle der Antwort macht und nicht zu einer Art, sie anzugeben: Ein Drittel ist 0,333333, und die Addition von einem Drittel und zwei Dritteln erscheint als 0,999999 statt als 1, während die Bruchausgaben durch dieselbe Rechnung exakt 1 ergeben. Die Nenner sind auf hunderttausend gedeckelt, und das ist eine bewusste Obergrenze dafür, wie viel Kürzen die Seite auf einmal erledigt. Drei Eingaben werden abgewiesen statt beantwortet: ein Nenner von null, weil der Bruch keinen Wert hat; eine Division, deren zweiter Zähler null ist, weil der Kehrwert von null keine Zahl ist; und ein Zähler, der so groß ist, dass die Kreuzmultiplikation den Bereich verlässt, in dem Ganzzahlarithmetik exakt ist — das meldet die Seite als Fehler, statt einen genäherten Bruch auszugeben. Nicht ganzzahlige Zähler werden ebenfalls abgewiesen, ein Wert wie eineinhalb in einem Zählerfeld muss also von Hand in einen unechten Bruch umgewandelt werden, bevor er angenommen wird.

Häufige Fragen

Warum unterscheiden sich die beiden Bruchausgaben?
Weil die eine die Antwort ist und die andere die Arbeit. Der Bruch vor dem Kürzen kommt direkt aus der Regel — die Nenner miteinander multipliziert, die Zähler über Kreuz mit dem Nenner der anderen Seite —, und der gekürzte Bruch ist derselbe Wert, nachdem der größte gemeinsame Teiler aus beiden Teilen herausgeteilt wurde. Ein Viertel plus ein Sechstel ist 10/24 vor dem Kürzen und 5/12 danach; die Dezimalzahlen stimmen überein, und das ist der Beweis, dass sich nur die Schreibweise geändert hat.
Warum ist der Nenner vor dem Kürzen 24, wenn es die 12 auch täte?
Weil die Seite einen gemeinsamen Nenner durch Multiplikation der beiden Nenner findet und nicht durch die Suche nach dem kleinsten, den beide teilen. Vierundzwanzig ist vier mal sechs und damit ein gültiger gemeinsamer Nenner, auch wenn zwölf kleiner ist. Der Tausch ist Absicht: Multiplizieren funktioniert immer und verlangt keine Analyse der Nenner, und der Kürzungsschritt danach bringt die Antwort ohnehin auf ihre einfachste Form. Wollen Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner, lesen Sie die gekürzte Ausgabe.
Wie dividiert man Brüche?
Mit dem Kehrwert multiplizieren: den zweiten Bruch umdrehen und quer multiplizieren. Ein Halb geteilt durch drei Viertel ist ein Halb mal vier Drittel, das sind vier Sechstel, und das kürzt sich zu zwei Dritteln. Die Regel gilt, weil das Teilen durch eine Zahl dasselbe ist wie das Multiplizieren mit ihrem Kehrwert, und sie ist der Grund, warum der Zähler des zweiten Bruchs im Nenner der Antwort landet — 0,666667 gegen 0,5 bestätigt, dass die Antwort gewachsen ist, wie es beim Teilen durch etwas unter eins sein muss.
Darf die Antwort eine gemischte Zahl sein?
Nein — Ergebnisse sind unechte Brüche, neun Viertel kommen also als 9/4 zurück und nicht als 2 1/4. Ein unechter Bruch ist die Form, die weiterfunktioniert: Eine gemischte Zahl zu addieren oder zu multiplizieren heißt, sie zuerst wieder in einen unechten Bruch zu verwandeln, eine Ausgabe als gemischte Zahl würde also nur bedeuten, sie beim nächsten Schritt erneut umzuwandeln. 9/4 in zwei und ein Viertel zu verwandeln ist eine Division, und die Dezimalausgabe leistet für eine schnelle Kontrolle dasselbe.
Was passiert, wenn ein Nenner null ist?
Die Seite meldet einen Fehler, und es gibt keine Antwort zu geben: Ein Bruch mit dem Nenner null hat keinen Wert, denn der Nenner ist die Anzahl der Teile, in die das Ganze zerlegt wird, und eine Division durch null ist nicht definiert. Das Teilen durch einen Bruch, dessen Zähler null ist, wird aus demselben Grund abgewiesen — der Kehrwert von null ist keine Zahl —, während ein Zähler von null im ersten Bruch in Ordnung ist und bei jeder Multiplikation und Division null ergibt.
Wie prüfe ich, ob die Antwort stimmt?
Rechnen Sie die beiden Operanden im Kopf in Dezimalzahlen um und führen Sie die Operation mit diesen groben Zahlen aus. Ein Halb plus ein Drittel sollte zwischen 0,8 und 0,9 landen, und fünf Sechstel ist 0,833333. Zwei Brüche unter eins multipliziert sollten etwas Kleineres als jeden von beiden ergeben, und das Teilen durch etwas unter eins etwas Größeres. Widersprechen sich die grobe Antwort und der Bruch, liegt das Problem in der Rechnung und nicht im Kürzen, denn Kürzen kann nur ändern, wie eine Zahl geschrieben wird.

Quellen

Verwandte Rechner

Dezimalzahl-in-Bruch-RechnerMacht aus jeder Dezimalzahl einen gekürzten Bruch.Bruch-in-Dezimalzahl-RechnerDezimalwert eines Bruchs, exakt oder gerundet.Brüche-kürzen-RechnerKürzt einen Bruch vollständig und zeigt den Teiler.Brüche-addieren-RechnerAddiert Brüche mit ungleichen Nennern und kürzt das Ergebnis.