Brüche-addieren-Rechner

Gemeinsamer Nenner = kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) der beiden Nenner Umgerechnet = jeder Zähler × (gemeinsamer Nenner ÷ eigener Nenner) Summe = (erster umgerechneter + zweiter umgerechneter) ÷ gemeinsamer Nenner, gekürzt

Erster Bruch

Der erste Zähler und der erste Nenner. Der Nenner darf nicht null sein, und der Zähler ist derjenige, der ein Minuszeichen trägt, wenn der Bruch negativ ist.

Zweiter Bruch

Der zweite Zähler und der zweite Nenner, genau wie der erste behandelt: Die Reihenfolge der beiden Summanden ändert die Summe nicht.

Gemeinsamer Nenner

Das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner: 12 für 1/4 + 1/6. Es ist die kleinste Zahl, in die beide Nenner hineinpassen, und es ist das, was die Zähler überhaupt zusammenzählbar macht.

Umgerechnete Brüche

Jeder Bruch, umgeschrieben auf den gemeinsamen Nenner — das heißt: Der Zähler wird mit demselben Faktor multipliziert, mit dem der Nenner multipliziert wurde: 1/4 wird zu 3/12 und 1/6 wird zu 2/12. Die Werte ändern sich nicht, nur die Größe der Stücke.

Summe

Die beiden umgerechneten Zähler über dem gemeinsamen Nenner addiert und anschließend auf die einfachste Form gekürzt. Sie wird als Bruch ausgegeben, und ein unechter Bruch bleibt unecht, statt in eine gemischte Zahl umgewandelt zu werden.

Zwei Brüche werden nach dieser Methode addiert, wann immer die Nenner verschieden sind, und das ist in der Bruchrechnung der Regelfall. Der erste Anwendungsfall ist die Schulaufgabe, bei der es auf den Umformungsschritt ankommt und nicht auf das Ergebnis: Das Panel gibt die beiden umgerechneten Brüche mit aus, damit sich der Rechenweg mit dem Heft vergleichen lässt und nicht nur die Endzahl. Der zweite ist eine Messung, die in unterschiedlich großen Bruchteilen anfällt, etwa eine Viertelstunde plus eine Sechstelstunde: Die Summe ergibt erst dann einen Sinn, wenn beide in derselben Einheit gezählt werden, hier in Zwölfteln einer Stunde. Der dritte ist die Kontrolle einer fremden Rechnung: Eine Summe, die bei einer Viertel plus einem Sechstel als 10/24 herausgekommen ist, wurde über das Produkt der Nenner gebildet — richtig, aber ungekürzt; der gemeinsame Nenner 12 dieser Seite zeigt, dass dieselbe Summe auch mit kleineren Stücken zu haben ist. Stimmen die Nenner bereits überein, entfällt die Umformung ersatzlos, und es werden schlicht die Zähler addiert.

1. 1/4 + 1/6

   1. Kleinstes gemeinsames Vielfaches von 4 und 6: 12
   2. Ersten Bruch umrechnen: 1/4 = 3/12, denn 12 ÷ 4 = 3
   3. Zweiten Bruch umrechnen: 1/6 = 2/12, denn 12 ÷ 6 = 2
   4. Zähler addieren: 3 + 2 = 5, das ergibt 5/12

   Der Standardfall und der Fall, der zeigt, was der gemeinsame Nenner einbringt: Die Stücke sind Zwölftel und nicht Vierundzwanzigstel, weil 12 die kleinste Zahl ist, in die sowohl 4 als auch 6 hineinpassen. Die Summe steht bereits in gekürzter Form.

2. 1/2 + 1/3

   1. Kleinstes gemeinsames Vielfaches von 2 und 3: 6
   2. Ersten Bruch umrechnen: 1/2 = 3/6
   3. Zweiten Bruch umrechnen: 1/3 = 2/6
   4. Zähler addieren: 3 + 2 = 5, das ergibt 5/6

   Der gemeinsame Nenner ist hier zufällig das Produkt der beiden Nenner, weil 2 und 3 keinen gemeinsamen Teiler haben. Das ist der eine Fall, in dem das Multiplizieren der Nenner dasselbe liefert wie das kleinste gemeinsame Vielfache — und genau deshalb sieht die Abkürzung so aus, als funktioniere sie immer.

3. 3/4 + 5/8, ein unechtes Ergebnis

   1. Kleinstes gemeinsames Vielfaches von 4 und 8: 8, denn 8 ist bereits ein Vielfaches von 4
   2. Ersten Bruch umrechnen: 3/4 = 6/8
   3. Zweiter Bruch steht schon in Achteln
   4. Zähler addieren: 6 + 5 = 11, das ergibt 11/8

   Ein Nenner teilt den anderen, deshalb ist der gemeinsame Nenner die größere der beiden Zahlen und nicht ihr Produkt. Die Summe ist größer als eins, und sie wird als 11/8 ausgegeben: Ein unechter Bruch ist eine völlig brauchbare Schreibweise dafür, und sie hält alle Zahlen in derselben Form.

4. 1/2 + 1/2, was glatt aufgeht

   1. Die Nenner stimmen bereits überein, der gemeinsame Nenner ist also 2
   2. Umgerechnet wird nichts: Beide Brüche stehen schon in Halben
   3. Zähler addieren: 1 + 1 = 2, das ergibt 2/2
   4. Kürzen: 2/2 ist 1

   Zwei Halbe ergeben ein Ganzes, und das Panel schreibt dafür 1 statt 2/2 oder 1/1. Der Kürzungsschritt ist auch beim kleinsten gemeinsamen Nenner nicht optional: Die umgerechneten Brüche stehen in gekürzter Form, die Summe aber nicht automatisch.

Beide Eingaben müssen ganze Zahlen sein, 0,5 plus 1/3 addiert diese Seite also nicht: Wandeln Sie die Dezimalzahl zuerst in einen Bruch um; der Grund ist, dass die ganze Rechnung in exakter Ganzzahlarithmetik läuft, und die wird ungenau, sobald eine Dezimalzahl im Spiel ist. Die Nenner müssen positiv sein und haben eine Obergrenze von 100000, die Zähler ebenfalls — sie liegt bei etwa 4,5 × 10¹⁰, weil die beiden umgerechneten Zähler vor dem Addieren hochmultipliziert werden. Das Ergebnis wird immer als Bruch geschrieben und nie als gemischte Zahl, eine Summe von 11/8 bleibt also 11/8 und wird nicht zu 1 3/8. Der gemeinsame Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache, also ein anderer Zwischenschritt als der, den ein Bruch-Rechner für alle vier Grundrechenarten zeigt: Dieselbe Paarung ergibt dort 6/24 und 4/24 statt 3/12 und 2/12, und beide Wege sind richtig, sie schneiden die Stücke nur unterschiedlich groß. Hier wird ausschließlich addiert: Subtraktion, Multiplikation und Division sind eigene Seiten, und ein negatives Ergebnis trägt das Minuszeichen im Zähler. Schließlich addiert diese Seite nur Brüche und sonst nichts, eine gemischte Zahl muss also erst in einen unechten Bruch umgewandelt werden, bevor sie eingetippt werden kann.

Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern?

Beide Brüche werden so umgeschrieben, dass sie denselben Nenner haben — man muss sie also zuerst gleichnamig machen; danach werden nur noch die Zähler addiert und der Nenner beibehalten. Für 1/4 und 1/6 ist der gemeinsame Nenner 12, sie werden also zu 3/12 und 2/12, und die Summe ist 5/12.

Wie findet man den gemeinsamen Nenner?

Er ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner, also die kleinste Zahl, in die beide ohne Rest hineinpassen. Für 4 und 6 ist das 12. Das Produkt der beiden Nenner funktioniert ebenfalls immer, ist aber oft größer als nötig.

Warum nicht einfach die Nenner multiplizieren?

Das geht, und das Ergebnis stimmt auch, aber die Stücke werden kleiner als nötig: 1/4 plus 1/6 ergibt auf diesem Weg 6/24 plus 4/24, also 10/24, und das muss immer noch zu 5/12 gekürzt werden. Mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen rechnet man mit Zwölfteln statt mit Vierundzwanzigsteln.

Muss die Summe danach noch gekürzt werden?

Manchmal, und die Seite erledigt das vor der Ausgabe. Der kleinste gemeinsame Nenner hält die Stücke so groß wie möglich, verspricht aber nicht, dass die Zähler teilerfremd zusammenkommen: 1/3 plus 1/6 ist 2/6 plus 1/6, das sind 3/6 und gekürzt 1/2.

Darf das Ergebnis ein unechter Bruch sein?

Ja, und es wird auch so ausgegeben: 3/4 plus 5/8 ist 11/8, also mehr als eins. Die Umwandlung in eine gemischte Zahl ist ein eigener Schritt, und diese Seite hält jede Zahl in der Form Zähler über Nenner.

Was sind die beiden umgerechneten Brüche auf dem Panel?

Das sind die beiden Summanden, umgeschrieben auf den gemeinsamen Nenner — der Schritt, auf dem die Addition beruht: 1/4 wird zu 3/12 und 1/6 wird zu 2/12. Ihre Werte haben sich nicht geändert, nur die Größe der Stücke, in denen gezählt wird.

Kann ich hier eine Dezimalzahl und einen Bruch addieren?

Nein. Beide Zähler und beide Nenner müssen ganze Zahlen sein, 0,5 plus 1/3 wird also abgewiesen. Der Grund ist, dass Umrechnung und Addition in exakter Ganzzahlarithmetik laufen; wer die Dezimalzahl vorher in einen Bruch umwandelt, hält das so.

• Fraction — der Quotient zweier ganzer Zahlen in der Schreibweise mit Zähler und Nenner; der Artikel führt eine Addition über genau den Umformungsschritt durch, den diese Seite mit ausgibt — Wolfram MathWorld (United States)
• Least Common Multiple — die kleinste positive ganze Zahl, die beide gegebenen Zahlen teilt; das ist der gemeinsame Nenner dieser Seite, berechnet über den größten gemeinsamen Teiler statt durch Aufzählen von Vielfachen — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — die größte ganze Zahl, die beide Zahlen teilt; daraus wird das kleinste gemeinsame Vielfache hergeleitet, und damit wird die Summe am Ende gekürzt — Wolfram MathWorld (United States)
• Brüche addieren — Mathebibel: ungleichnamige Brüche gleichnamig machen und anschließend die Zähler addieren, in der Schreibweise der deutschen Schulmathematik — Mathebibel (Deutschland)
• Kleinstes gemeinsames Vielfaches — Mathebibel: die Berechnung des kgV über die Primfaktorzerlegung und über den größten gemeinsamen Teiler — Mathebibel (Deutschland)