Gleichwertige-Brüche-Rechner

Gleichwertiger Bruch = (Zähler × k) ÷ (Nenner × k), für k = 2, 3, 4, … bis eins über die eingestellte Anzahl Gekürzte Form: größter gemeinsamer Teiler (ggT) von Zähler und Nenner, dann beide durch ihn teilen Dezimalwert = Zähler ÷ Nenner

Bruch

Der Zähler und der Nenner, die Sie eingeben. Der Nenner darf nicht null sein, und ein negatives Vorzeichen trägt der Zähler. Ein Zähler von null ist erlaubt, und jeder gleichwertige Bruch davon ist ebenfalls null.

Multiplikator k

Die ganze Zahl, mit der beide Teile multipliziert werden. Sie läuft von 2 bis eins über die angeforderte Anzahl, fünf angeforderte Brüche ergeben also die Multiplikatoren 2, 3, 4, 5 und 6. Den Wert 1 nimmt sie nie an, denn das wäre der Bruch, wie Sie ihn eingegeben haben.

Gleichwertiger Bruch

Einer der Brüche aus der Reihe: Zähler und Nenner je mit demselben k multipliziert. Der Wert bleibt unverändert, nur die Größe der Stücke ändert sich, und die Einträge der Reihe werden so ausgegeben, wie sie entstehen, statt gekürzt zu werden — 2/6 erscheint also als 2/6.

Gekürzte Form

Derselbe Wert mit dem kleinstmöglichen Zähler und Nenner, erhalten durch Teilen beider Teile durch ihren größten gemeinsamen Teiler. Ein bereits gekürzter Bruch ist seine eigene Antwort, und ein Bruch, dessen Teile sich ohne Rest teilen lassen, wird als ganze Zahl ausgegeben: 5/5 ist 1.

Dezimalwert

Der Zähler geteilt durch den Nenner, auf sechs Nachkommastellen gerundet. Es ist die dritte Schreibweise derselben Zahl und, anders als die Reihe, eine, die die Gleichheit zweier Brüche nicht auf den ersten Blick zeigt: 1/3 und 2/6 ergeben beide 0,333333.

Der erste Anwendungsfall ist der Schulstoff über Brüche selbst, wo es darum geht, dass ein Wert viele Namen hat: 2/6 einzutippen und 4/12, 6/18 und 8/24 zu sehen, macht deutlich, dass das Kürzen die Schreibweise ändert und nicht die Zahl. Der zweite ist der Vergleich, denn zwei Brüche lassen sich leicht vergleichen, sobald sie denselben Nenner haben: 2/3 gegen 3/5 ist auf einen Blick kaum zu beurteilen, die gleichwertigen Brüche 10/15 und 9/15 dagegen schon — dieselbe Umformung, die auch das Addieren von Brüchen braucht. Der dritte ist die Kontrolle einer Kürzung, die jemand anderes durchgeführt hat: Wenn ein Bruch sich zu 3/4 kürzen lassen soll, muss die Reihe von 3/4 den ursprünglichen Bruch enthalten, und wenn sie ihn nicht enthält, sind die beiden doch nicht dieselbe Zahl. Der vierte ist der Fall, dass ein Bruch in einem bestimmten Nenner gebraucht wird — Sechzehntel eines Zolls, Zwölftel einer Stunde —, und Sie sehen möchten, was der Wert in den Einheiten ist, in denen gearbeitet wird. Ist ein Bruch bereits gekürzt, wiederholt das Panel ihn, und das ist selbst schon die Antwort auf die Frage, ob sich noch weiter kürzen lässt.

1. 1/3, fünf Brüche

   1. Beide Teile von 1/3 mit 2 multipliziert: 2/6
   2. Mit 3: 3/9, und mit 4: 4/12
   3. Mit 5: 5/15, und mit 6: 6/18 — fünf Brüche, weil die Anzahl fünf war
   4. Gekürzte Form: 1 und 3 haben keinen gemeinsamen Teiler, die Antwort ist also wieder 1/3
   5. Dezimalwert: 1 ÷ 3 = 0,333333

   Der Standardfall und der Fall, der zeigt, warum der Multiplikator bei 2 beginnt: Eine Multiplikation mit 1 würde 1/3 selbst als ersten Eintrag ausgeben, und das ist überhaupt kein anderer Bruch. Dass die gekürzte Form mit der Eingabe übereinstimmt, sagt, dass der Bruch bereits so einfach war, wie er sich schreiben lässt, und der Dezimalwert wiederholt sich, weil Drittel keine exakte Dezimaldarstellung haben.

2. 2/6, drei Brüche

   1. Beide Teile von 2/6 mit 2 multipliziert: 4/12
   2. Mit 3: 6/18, und mit 4: 8/24
   3. Gekürzte Form: 2 teilt beide Teile, 2/6 ist also 1/3
   4. Dezimalwert: 2 ÷ 6 = 0,333333, dasselbe wie 1 ÷ 3

   Das ist der Fall, der die zweite Zahl auf dem Panel erklärt. 2/6 und 1/3 sind dieselbe Zahl, haben also dieselbe gekürzte Form und denselben Dezimalwert, und trotzdem unterscheiden sich ihre Reihen: Hier ist der erste Eintrag 4/12, und die Reihe für 1/3 beginnt mit 2/6. Die Seite baut die Reihe aus dem Bruch, wie Sie ihn eingegeben haben — welche der beiden Schreibweisen dieses Werts Sie also eintippen, entscheidet über die Liste, die Sie bekommen.

3. 5/5, eine ganze Zahl

   1. Beide Teile von 5/5 mit 2 multipliziert: 10/10
   2. Mit 3: 15/15 — zwei Brüche, weil die Anzahl zwei war
   3. Gekürzte Form: 5 teilt beide Teile, das ergibt 1
   4. Dezimalwert: 5 ÷ 5 = 1

   Ein Bruch, dessen Nenner seinen Zähler teilt, ist eine ganze Zahl, und das Panel schreibt sie als 1 und nicht als 5/5 oder als 5/5 gekürzt zu 1/1. Die Reihe daneben behält trotzdem ihre Nenner, denn der Sinn der Reihe ist die Schreibweise: 10/10 und 15/15 zeigen, wie derselbe Wert mit kleineren Stücken aussieht.

4. 6/4, ein Bruch größer als eins

   1. Beide Teile von 6/4 mit 2 multipliziert: 12/8
   2. Mit 3: 18/12, mit 4: 24/16 und mit 5: 30/20 — vier Brüche
   3. Gekürzte Form: 2 teilt beide Teile, 6/4 ist also 3/2
   4. Dezimalwert: 6 ÷ 4 = 1,5

   Der Wert ist größer als eins, und er wird als 3/2 ausgegeben und nicht als gemischte Zahl, damit jede Zahl auf dem Panel gleich geschrieben ist. Die gleichwertigen Brüche sind ebenfalls alle unecht, und das folgt daraus, dass beide Teile von 3/2 mit derselben Zahl multipliziert werden: Keine Multiplikation kann einen Bruch größer als eins in einen echten verwandeln.

Beide Eingaben müssen ganze Zahlen sein, 0,75 ist also nichts, womit diese Seite arbeitet: Wandeln Sie es zuerst in 3/4 um, und der Grund ist, dass die ganze Rechnung exakte Ganzzahlarithmetik ist, die mit einer Dezimalzahl aufhört, exakt zu sein. Der Nenner hat eine Obergrenze und darf nicht null sein, der Zähler hat ebenfalls eine, weil jeder Eintrag der Reihe ein Produkt ist. Die Anzahl ist gedeckelt, was weniger schlimm klingt, als es ist: Die Brüche werden schnell groß, und 20 Einträge eines Bruchs wie 7/21 landen bereits im Hundertbereich. Die Reihe wird aus dem Bruch gebaut, wie Sie ihn eingegeben haben, und nicht aus seiner gekürzten Form; ein zweimal geschriebener Wert ergibt also zwei verschiedene Reihen — das ist eine Entscheidung und kein Versehen, bedeutet aber, dass das Ergebnis von der Schreibweise der Eingabe abhängt. Nichts in der Reihe ist gekürzt, ein Eintrag wie 6/18 steht also neben 1/3 im selben Panel; wer den kleinsten Nenner will, liest die zweite Zahl auf dem Panel. Das Ergebnis wird als Bruch geschrieben und nie als gemischte Zahl, und ein negativer Bruch behält sein Minuszeichen im Zähler. Diese Seite listet Brüche auf, die einem Bruch gleichwertig sind, und kürzt einen Bruch nicht um seiner selbst willen: Eine Seite dafür zeigt den Teiler und den Rechenweg, diese druckt nur die Antwort. Zwei Dinge tut sie überhaupt nicht: Rechnen zwischen zwei Brüchen und das Umwandeln aus einer Dezimalzahl — dafür gibt es eigene Seiten.

Wie finde ich gleichwertige Brüche zu einem Bruch, den ich habe?

Zähler und Nenner mit derselben ganzen Zahl multiplizieren — dieses Erweitern ist die ganze Formel. Von 1/3 aus beide Teile mit 2, 3 und 4 multipliziert ergibt 2/6, 3/9 und 4/12, und jeder davon ist gleich 1/3. Sie funktioniert auch in die andere Richtung: Beide Teile durch einen gemeinsamen Teiler zu teilen ergibt einen weiteren Bruch mit demselben Wert.

Warum beginnt die Liste bei 2/6 und nicht bei 1/3?

Weil eine Multiplikation mit 1 den Bruch ergeben würde, den Sie eingegeben haben, und das ist kein zweiter Bruch zum Vergleichen. Die Reihe sind die Vielfachen 2, 3, 4 und so weiter, und die eingestellte Anzahl bestimmt, wie viele davon aufgelistet werden.

Warum sind die aufgelisteten Brüche nicht gekürzt?

Ein Kürzen würde dieselbe Zahl immer wieder ausgeben, und das wäre das Gegenteil des Sinns. 2/6, 3/9 und 4/12 sind alle 1/3, und sie verschieden geschrieben zu sehen macht gerade deutlich, dass der Wert sich nicht geändert hat. Die gekürzte Form des eingegebenen Werts steht getrennt auf dem Panel.

Was ist die gekürzte Form?

Derselbe Wert mit dem kleinstmöglichen Zähler und Nenner, gefunden durch Teilen beider Teile durch ihren größten gemeinsamen Teiler. Haben die beiden Teile keinen gemeinsamen Teiler, ist der Bruch bereits gekürzt und das Panel wiederholt ihn einfach, wie es bei 1/3 der Fall ist.

Ist der Dezimalwert bei allen derselbe?

Er ist es, und genau das bedeutet Gleichheit hier: 1/3, 2/6, 3/9 und 4/12 ergeben alle 0,333333. Der Dezimalwert ist die schnellste Kontrolle dafür, dass eine Reihe wirklich gleichwertig ist, aber zugleich die Zeile, die den Unterschied verdeckt, denn sie zeigt eine Zahl, wo die Brüche vier zeigen.

Kann ich einen Bruch größer als eins oder einen negativen verwenden?

Beides funktioniert, und beides behält seinen Charakter in der Reihe. Ein Bruch wie 6/4 hat 3/2 als gekürzte Form, und 12/8, 18/12 und der Rest sind ebenfalls alle größer als eins. Ein negativer Bruch wird mit dem Minuszeichen im Zähler geschrieben, -1/2 listet also -2/4 und -3/6 auf.

Kann ich statt eines Bruchs eine Dezimalzahl eingeben?

Nein. Beide Teile müssen ganze Zahlen sein, 0,75 wird also abgewiesen; wandeln Sie sie zuerst in 3/4 um. Die Multiplikation, die die Reihe aufbaut, läuft in exakter Ganzzahlarithmetik, und eine Dezimalzahl würde diese Exaktheit brechen, sobald der Wert sich nicht als Bruch über einer Zehnerpotenz schreiben lässt.

• Fraction — zwei Brüche sind gleich, wenn der eine aus dem anderen durch Multiplikation von Zähler und Nenner mit derselben Zahl entsteht; genau das tut diese Seite wiederholt — Wolfram MathWorld (United States)
• Reduced Fraction — ein Bruch, dessen Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler haben; das ist die zweite Zahl auf dem Panel und die Form, die die Reihe bewusst nicht annimmt — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — die größte ganze Zahl, die beide Teile teilt; durch sie werden Zähler und Nenner für die gekürzte Form geteilt — Wolfram MathWorld (United States)
• Denominator — die Zahl unter dem Bruchstrich, also der Teil, auf den sich zwei Brüche einigen müssen, bevor sie übereinander geschrieben werden können — Wolfram MathWorld (United States)
• Brüche kürzen — Mathebibel: Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler teilen, und warum ein bereits gekürzter Bruch sich selbst als Ergebnis hat — Mathebibel (Deutschland)