Brüche-kürzen-Rechner

Größter gemeinsamer Teiler d = ggT(n, D) Gekürzter Bruch = (n ÷ d) / (D ÷ d) Dezimalwert = n ÷ D, auf sechs Stellen gerundet

Zähler

Der obere Teil des Bruchs: 24 in 24/36. Er darf negativ oder null sein. Ein negativer Zähler behält sein Vorzeichen durch die Division hindurch — -18/24 ergibt -3/4 —, weil der Bruch sein Vorzeichen oben trägt und nie unten.

Nenner

Der untere Teil des Bruchs: 36 in 24/36. Er muss positiv sein und darf nicht null sein, denn der Bruch existierte dann nicht. Er ist auf 100000 gedeckelt, was eine Grenze für die Größe der beiden Zahlen ist und keine Regel über Brüche.

Teiler (d)

Der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen: 12 für 24 und 36, 6 für 18 und 24, und 1 für einen Bruch, der sich überhaupt nicht kürzen lässt. Das ist die Zeile, die diese Seite all den anderen Bruchwerkzeugen voraushat, und sie beantwortet zwei Fragen auf einmal — wie viel weggekürzt wurde und ob überhaupt etwas zu kürzen war. Ist der Zähler null, so ist der Teiler der Nenner: genau das wurde geteilt, um 0/50 zu einer 0 zu machen.

Gekürzter Bruch

Das Ergebnis, nachdem beide Zahlen durch den Teiler geteilt wurden: 2/3 für 24/36. Er steht von der Konstruktion her in gekürzter Form, und er darf unecht sein — 100/75 kürzt sich zu 4/3 und bleibt als 4/3 stehen, statt zu einer gemischten Zahl zu werden, denn das ist eine andere Schreibweise und gehört auf eine andere Seite.

Dezimalzahl

Dieselbe Zahl in Dezimalschreibweise: 0,666667 für 2/3. Sie ist auf sechs Stellen gerundet, also eine Näherung, wann immer die Division nicht aufgeht; 2/3 weicht vom wahren Wert um etwa 3,3 × 10⁻⁷ ab. Die Seite zeigt die sechs Stellen, weil die Dezimalzahl eine nützliche zweite Lesart derselben Größe ist, und nicht, weil sie Genauigkeit behauptet — was es mit einem Bruch auf sich hat, dessen Dezimaldarstellung endlos weiterläuft, erklärt die Seite Bruch in Dezimalzahl.

Der erste Anwendungsfall ist die Übungsaufgabe: Kürzen wird unterrichtet, sobald Teiler dran sind, und der Teiler ist der Schritt, der benotet wird — deshalb gibt diese Seite ihn aus, statt ihn zu verbergen. Der zweite ist die Kontrolle einer per Hand durchgeführten Kürzung: Ist Ihr Teiler nicht der auf dem Panel, dann ist einer der beiden Brüche nicht der andere. Der dritte ist ein bereits gekürzter Bruch, bei dem das Panel das mit einem Teiler von 1 sagt, statt Sie die Antwort mit der Eingabe vergleichen zu lassen. Der vierte ist ein Bruch, dessen gekürzte Form unecht ist, etwa 100/75, wo die Antwort als 4/3 stehen bleibt und die Dezimalzahl über 1 deutlich macht, dass nichts verloren ging. Der fünfte ist eine Dezimalzahl, die Sie schon haben: Die dritte Zeile sagt Ihnen, was der Bruch wert ist, ohne dass Sie die schriftliche Division selbst durchführen müssen.

1. 24/36

   1. Den größten gemeinsamen Teiler von 24 und 36 bestimmen: beide sind durch 2, 3, 4, 6 und 12 teilbar, der größte davon ist 12
   2. Den Zähler teilen: 24 ÷ 12 = 2
   3. Den Nenner teilen: 36 ÷ 12 = 3
   4. Der gekürzte Bruch ist 2/3, und 2 und 3 haben außer der 1 keinen gemeinsamen Teiler
   5. Als Dezimalzahl: 2 ÷ 3 = 0,666666…, auf sechs Stellen also 0,666667

   Der Standardfall: ein Bruch, der weit kürzt und bei einem wirklich einfacheren Zahlenpaar landet. Der Teiler ist 12, und es lohnt sich zu bemerken, dass die 6 einen Teil des Weges geschafft hätte — 24/36 zu 4/6 —, ohne fertig zu werden; deshalb meldet die Seite den größten gemeinsamen Teiler und nicht irgendeinen gemeinsamen Teiler. Die Dezimalzahl ist gerundet: 2/3 ist 0,666666… und bricht nie ab, die sechs gezeigten Stellen weichen also in der siebten vom wahren Wert ab. Das ist eine Anzeigeentscheidung, und die Seite, die erklärt, wann ein Bruch abbricht, ist eine andere.

2. 100/75

   1. Den größten gemeinsamen Teiler von 100 und 75 bestimmen: beide sind durch 25 teilbar
   2. Den Zähler teilen: 100 ÷ 25 = 4
   3. Den Nenner teilen: 75 ÷ 25 = 3
   4. Der gekürzte Bruch ist 4/3, also größer als 1

   Ein unechter Bruch, den diese Seite so ausgibt, wie er ist: 4/3 und nicht 1 1/3. Das Kürzen ändert nichts daran, ob ein Bruch unecht ist, und ihn in eine ganze Zahl neben einem Bruch zu verwandeln, ist die Aufgabe der Seite für gemischte Zahlen — es hier zu tun hieße, zwei verschiedene Schreibweisen auf ein Panel zu setzen. Beachten Sie, dass die Dezimalzahl der schnellste Weg ist, die Größe der Antwort zu sehen: 1,333333 sagt, dass die Größe ein Drittel über eins liegt, was 4/3 ebenfalls sagt, nur weniger unmittelbar.

3. 7/4

   1. Den größten gemeinsamen Teiler von 7 und 4 bestimmen: 7 ist prim und kein Teiler von 4, der einzige gemeinsame Teiler ist also 1
   2. Eine Division durch 1 lässt beide Zahlen, wie sie waren
   3. Der gekürzte Bruch ist 7/4, identisch mit der Eingabe
   4. Als Dezimalzahl: 7 ÷ 4 = 1,75, exakt

   Bereits vollständig gekürzt, und der Fall, der zeigt, warum der Teiler überhaupt auf dem Panel steht. Die Hauptanzeige ist die zurückgeschriebene Eingabe — aus 7/4 wird 7/4 —, die Antwort allein sagt also nicht, ob die Seite etwas getan hat. Die Teilerzeile sagt 1, und das ist die Seite dabei, mitzuteilen, dass sie nachgesehen und nichts zu tun gefunden hat. Eine 1 ist hier eine Information und kein Fehlschlag; eine 0 wäre ein Fehler, denn eine Division durch null ist kein Kürzen.

4. 0/50

   1. Den größten gemeinsamen Teiler von 0 und 50 bestimmen: jede Zahl teilt die 0, der größte gemeinsame Teiler ist also 50, die andere Zahl
   2. Beide teilen: 0 ÷ 50 = 0 und 50 ÷ 50 = 1
   3. Der gekürzte Bruch ist 0/1, geschrieben als blanke 0, weil ein Nenner von 1 nicht geschrieben wird
   4. Als Dezimalzahl: 0

   Ein Zähler von null kürzt sich bis auf nichts herunter, und der Teiler ist 50 und nicht 1 — weil die 50 das ist, wodurch beide Zahlen tatsächlich geteilt wurden, um dorthin zu kommen. Das ist dieselbe Definition wie überall sonst auf der Seite: Der Teiler ist das, was weggekürzt wurde, und nicht das, was hätte weggekürzt werden können. Die Hauptanzeige steht als blanke 0 ohne Nenner da, dieselbe Konvention, die die Bruchschreibweise für jede ganze Zahl verwendet.

5. -18/24

   1. Den größten gemeinsamen Teiler von 18 und 24 bestimmen: beide sind durch 6 teilbar
   2. Beide Zahlen durch 6 teilen: 18 ÷ 6 = 3 und 24 ÷ 6 = 4, der Bruch ist also -3/4
   3. Das Vorzeichen bleibt im Zähler, der Nenner bleibt positiv
   4. Als Dezimalzahl: -3 ÷ 4 = -0,75

   Der Fall, der festlegt, wo das Vorzeichen wohnt. Der Teiler ist 6 und nicht -6: Der größte gemeinsame Teiler wird zwischen den beiden Beträgen gebildet, ist also immer positiv, und das Minuszeichen gehört nicht dazu. Der gekürzte Bruch trägt das Vorzeichen nur im Zähler, -18/24 ist also -3/4 und nie 3/-4. Die Dezimalzahl behält das Vorzeichen ebenfalls, ein billiger Weg, sich zu vergewissern, dass das Kürzen es nicht verloren hat.

Der Nenner muss positiv sein und darf nicht null sein — einen Bruch mit dem Nenner null gibt es nicht, und die Seite weist ihn ab, statt irgendetwas zurückzugeben. Der Zähler darf negativ und darf null sein: 0/50 kürzt sich zu einer blanken 0. Beide Zahlen müssen ganze Zahlen sein, und der Nenner ist auf 100000 gedeckelt; der Zähler hat keine Grenze außer der Stelle, an der die Arithmetik aufhört, exakt zu sein, und ein Dezimalzähler wird abgewiesen. Der Teiler, den die Seite meldet, ist der größte gemeinsame Teiler, also die Kürzung, die die Sache abschließt, und nicht der erste gemeinsame Teiler, der einem einfällt — für 24/36 ist das die 12, und die 6 würde 4/6 übrig lassen, was weiter kürzbar ist. Die sechs Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und kein Versprechen: Bei einem Bruch, dessen Dezimaldarstellung sich wiederholt, sind sie gerundet, und diese Seite sagt weder, ob das der Fall ist, noch wie lang die Periode ist. Wenn es darauf ankommt, ist die Seite Bruch in Dezimalzahl der Ort, an dem die Frage beantwortet wird. Die Seite kürzt einen Bruch und tut sonst nichts: Sie addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert keine Brüche, sie wandelt keine Dezimalzahl in einen Bruch um, und sie kürzt kein Verhältnis wie 6 : 4. Das letzte sieht wie dieselbe Operation aus und ist es nicht: Es wird derselbe Teiler verwendet, aber die Antwort wird als Verhältnis geschrieben, und Verhältnisse können Einheiten tragen, was ein Bruch nicht kann. Der gekürzte Bruch wird auch nicht in eine gemischte Zahl umgewandelt, ein Ergebnis größer als eins bleibt also unecht.

Wie kürzt man einen Bruch?

Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler teilen — einen Bruch zu vereinfachen heißt genau das. Für 24/36 ist dieser Teiler die 12, und beide geteilt ergibt 2/3. Eine Division durch einen kleineren gemeinsamen Teiler wie die 6 ergibt 4/6 — ein Schritt in die richtige Richtung, der aber noch einmal gekürzt werden muss.

Woran erkenne ich, dass ein Bruch bereits gekürzt ist?

Daran, dass die einzige Zahl, die beide Teile teilt, die 1 ist. Das Panel sagt das direkt: Ein Teiler von 1 bedeutet, dass nichts weggekürzt werden konnte, der gekürzte Bruch also genau so ausgegeben wird, wie er eingegeben wurde. 7/4 und 1/2 sind beide von dieser Art, und deshalb gibt es die Teilerzeile und nicht nur die Antwortzeile.

Darf die Antwort ein unechter Bruch sein?

Ja. 100/75 kürzt sich zu 4/3, also zu etwas Größerem als eins, und die Seite gibt das als 4/3 aus und nicht als gemischte Zahl. Kürzen macht einen Bruch weder echt noch unecht, und 4/3 in eine ganze Zahl neben einem Bruch zu verwandeln ist eine andere Schreibweise, die auf die Seite für gemischte Zahlen gehört.

Was bringt die Dezimalzeile?

Dieselbe Zahl in der Form, die die meisten Werkzeuge und Tabellenkalkulationen erwarten. Sie wird mit sechs Stellen gezeigt, bei einem Bruch wie 2/3, dessen Dezimaldarstellung nie abbricht, sind diese Stellen also gerundet — 0,666667 statt des wahren wiederkehrenden Werts. Ob ein Bruch überhaupt abbricht, beantwortet die Seite Bruch in Dezimalzahl.

Kann ich hier ein Verhältnis wie 6 : 4 kürzen?

Nein. Ein Verhältnis wird mit demselben Teiler gekürzt, ist aber eine andere Schreibweise mit einer anderen Antwortgestalt — 3 : 2 statt 3/2 —, und Verhältnisse können Einheiten tragen, was Brüche nicht können. Geben Sie es auf der Seite für Verhältnisse ein; diese Seite nimmt einen Bruch entgegen.

Was passiert bei negativem oder bei einem Zähler von null?

Ein negativer Zähler behält sein Vorzeichen: -18/24 kürzt sich zu -3/4, wobei der Teiler als 6 und nicht als -6 gemeldet wird, denn der größte gemeinsame Teiler wird zwischen den beiden Beträgen gebildet. Ein Zähler von null kürzt sich zu einer blanken 0, und der Teiler ist dann der Nenner — 50 für 0/50, weil die 50 das ist, wodurch beide Teile geteilt wurden.

Warum steht bei 7/4 ein Teiler von 1?

Weil 7 und 4 außer der 1 keinen gemeinsamen Teiler haben, sich also nichts wegkürzen ließ. Die 1 ist die Art dieser Seite zu sagen, dass sie nachgesehen und nichts zu tun gefunden hat — kein fehlender Wert und kein Fehler. Bei 0/50 steht dagegen eine 50, weil dort tatsächlich durch 50 geteilt wurde.

• Reduced Fraction — die gekürzte Form eines Bruchs, in der diese Seite antwortet und gegen die sie die Eingabe prüft — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — die größte ganze Zahl, die zwei gegebene Zahlen teilt; auf dieser Seite als der verwendete Teiler gemeldet — Wolfram MathWorld (United States)
• Fraction — der Quotient zweier ganzer Zahlen in der Schreibweise mit Zähler und Nenner, und dieselbe Zahl als Dezimalzahl gelesen — Wolfram MathWorld (United States)
• Improper Fraction — ein Bruch, dessen Zähler mindestens so groß ist wie sein Nenner; ein gekürzter Bruch kann das sein, und diese Seite gibt ihn ohne Umwandlung aus — Wolfram MathWorld (United States)
• Relatively Prime — zwei ganze Zahlen ohne gemeinsamen Teiler größer als eins, also die Bedingung dafür, dass der Teiler 1 ist und sich nichts kürzen lässt — Wolfram MathWorld (United States)
• Größter gemeinsamer Teiler — Mathebibel: das schrittweise Kürzen über gemeinsame Teiler und der größte gemeinsame Teiler als der Schritt, der die Sache abschließt — Mathebibel (Deutschland)