Brüche-multiplizieren-Rechner

a/b × c/d = (a × c) / (b × d) Kreuzweises Kürzen: a und d durch ggT(a, d) teilen, c und b durch ggT(c, b), vor der Multiplikation anschließend das Produkt kürzen

Erster Zähler

Der obere Teil des ersten Bruchs: 2 in 2/3. Er kürzt sich gegen den Nenner des anderen Bruchs, nicht gegen den eigenen und nicht gegen den anderen Zähler. Er darf negativ sein, und das Vorzeichen wandert mit ihm durch das Kürzen bis in die Antwort.

Erster Nenner

Der untere Teil des ersten Bruchs: 3 in 2/3. Er muss positiv sein — ein Bruch trägt sein Vorzeichen im Zähler, und diese Konvention ist es, die das Kürzen eindeutig macht. Er kürzt sich gegen den Zähler des zweiten Bruchs.

Zweiter Zähler

Der obere Teil des zweiten Bruchs: 3 in 3/4. Er kürzt sich gegen den ersten Nenner, und im Standardfall ist das dieselbe 3, sodass beide gemeinsam verschwinden und beide gekürzten Zeilen einfacher zurückkommen.

Zweiter Nenner

Der untere Teil des zweiten Bruchs: 4 in 3/4. Er kürzt sich gegen den ersten Zähler — im Standardfall die 2 gegen die 4 —, und er muss aus demselben Grund positiv sein wie der erste Nenner.

Kreuzweises Kürzen

Das Teilen eines Zählers und des schräg gegenüberliegenden Nenners durch ihren größten gemeinsamen Teiler, und zwar vor der Multiplikation. Gekürzt werden beide Diagonalpaare, und der Sinn, das vorher zu tun, ist der, dass das Produkt bereits gekürzt ankommt und am Ende keine große Division mehr nötig ist. Es funktioniert, weil das Teilen des einen Faktors und das Multiplizieren mit derselben Zahl sich gegenseitig aufheben.

Gekürzte Faktoren

Die beiden Brüche, wie sie nach dem Kürzen der Diagonalpaare aussehen: 1/1 und 1/2 im Standardfall. Multipliziert ergeben sie den Wert der Antwort, und genau so wird die Abkürzung kontrolliert — ergeben die beiden Zeilen nicht das Produkt, wurde gegen den falschen Partner gekürzt. Sie stehen so da, wie sie sind, ein vollständig weggekürzter Faktor erscheint also als blanke 1.

Produkt vor dem Kürzen

Was das geradlinige Ausmultiplizieren ergibt, ohne jedes Kürzen: 6/12 im Standardfall. Es ist dieselbe Zahl wie die Antwort und ein viel größeres Zahlenpaar, und es steht auf dem Panel, damit der Unterschied der beiden Wege sichtbar wird statt behauptet.

Der erste Anwendungsfall ist die Übungsaufgabe: Multiplizieren wird vor dem Dividieren unterrichtet, und es ist die Operation, bei der das diagonale Kürzen eingeführt wird — deshalb druckt das Panel beide gekürzten Faktoren und nicht nur die Antwort. Der zweite ist die Kontrolle einer Handrechnung: zwei Brüche eingeben, die gekürzten Faktoren mit den eigenen vergleichen, und wenn die eigenen abweichen, weicht auch das Produkt ab. Der dritte ist ein Produkt, das weit kürzt, etwa 99/100 mal 100/99, wo das geradlinige Ausmultiplizieren 9900/9900 ergibt und das kreuzweise Kürzen 1 ohne jede Rechnung. Der vierte ist ein negativer Bruch, bei dem das Vorzeichen das Kürzen überleben muss: -2/3 mal 3/4 ist -1/2, und das Vorzeichen gehört dem Zähler, der es trägt. Der fünfte ist ein Bruch mal einer ganzen Zahl, was nichts weiter ist als der zweite Bruch mit dem Nenner 1 — 1/2 mal 2 ist 1/2 mal 2/1 —, und die Seite nimmt das ohne Sonderfall entgegen.

1. 2/3 × 3/4

   1. Die Diagonalen kürzen: 2 gegen 4 haben den gemeinsamen Teiler 2, das ergibt 1 und 2; 3 gegen 3 haben die 3, das ergibt 1 und 1
   2. Die beiden Faktoren sind jetzt 1/1 und 1/2
   3. Geradlinig multiplizieren: (1 × 1) ÷ (1 × 2) = 1/2
   4. Ohne Kürzen wäre es (2 × 3) ÷ (3 × 4) = 6/12 gewesen, dieselbe Zahl

   Der Standardfall und der Fall, der zeigt, was das kreuzweise Kürzen einbringt: Die beiden Wege liefern 1/2 und 6/12, denselben Wert, und nur einer davon steht bereits in gekürzter Form. Beachten Sie, dass der erste gekürzte Faktor als blanke 1 erscheint und nicht als 1/1 — jede seiner Zahlen hat sich weggekürzt, und ein Nenner von 1 wird ohne Nenner geschrieben. Die Kontrolle steckt in den beiden letzten Zeilen: Multiplizieren Sie sie, und Sie erhalten die Antwort, 1 × 1/2 = 1/2.

2. 7/8 × 4/5

   1. Die Diagonalen kürzen: 7 gegen 5 haben nichts gemeinsam, beide bleiben also stehen; 4 gegen 8 haben die 4, das ergibt 1 und 2
   2. Die beiden Faktoren sind jetzt 7/2 und 1/5
   3. Geradlinig multiplizieren: (7 × 1) ÷ (2 × 5) = 7/10
   4. Ohne Kürzen: (7 × 4) ÷ (8 × 5) = 28/40, dieselbe Zahl mit größeren Zahlen

   Der Fall, in dem nur eine der beiden Diagonalen kürzt: 7 und 5 sind teilerfremd, dieses Paar läuft also unberührt durch und der erste Faktor behält den Nenner 2, während die andere Diagonale vollständig kürzt und der zweite Faktor auf 1/5 fällt. Die halbe Arbeit des kreuzweisen Kürzens besteht darin, zu erkennen, wann es nichts zu tun gibt — deshalb ist eine Zeile, die unverändert zurückkommt, eine Information und kein Fehlschlag. Die Antwort 7/10 steht bereits in gekürzter Form, und die Zeile 28/40 zeigt, was der lange Weg übergeben hätte.

3. 99/100 × 100/99

   1. Die Diagonalen kürzen: 99 gegen 99 haben die 99, das ergibt 1 und 1; 100 gegen 100 haben die 100, das ergibt 1 und 1
   2. Beide Faktoren sind jetzt 1/1
   3. Geradlinig multiplizieren: 1 × 1 = 1
   4. Ohne Kürzen: (99 × 100) ÷ (100 × 99) = 9900/9900, was ebenfalls 1 ist

   Ein Bruch mal seinem eigenen Kehrwert, und das ist der Fall, der zeigt, wie viel die Abkürzung spart: Der lange Weg baut 9900 über 9900 auf und muss das dann wieder auf 1 zurückkürzen, während das kreuzweise Kürzen keine der beiden Zahlen je hinschreibt. Die beiden Zeilen kommen als blanke 1 zurück, weil beide Faktoren vollständig gekürzt sind — das ist die Gestalt eines Kehrwerts in dieser Schreibweise. Es ist zugleich die deutlichste Erklärung dafür, warum das Kürzen funktioniert: Die 99 und die 100 werden jeweils mit derselben Zahl multipliziert und geteilt. Beachten Sie, dass 9900/9900 hier ohne Tausenderpunkt steht: Die Zeile gibt einen Bruch wieder, keine Zahl mit Stellenwerten, und Brüche werden nie gruppiert.

4. -2/3 × 3/4

   1. Die Diagonalen kürzen: -2 gegen 4 haben den gemeinsamen Teiler 2, das ergibt -1 und 2; 3 gegen 3 haben die 3, das ergibt 1 und 1
   2. Die beiden Faktoren sind jetzt -1/1 und 1/2
   3. Geradlinig multiplizieren: (-1 × 1) ÷ (1 × 2) = -1/2
   4. Das Vorzeichen gehört durchweg dem Zähler

   Ein negativer Bruch, bei dem das Vorzeichen das Kürzen mitreitet: -2 und 4 haben den gemeinsamen Teiler 2, und übrig bleiben -1 und 2, das Minus ist nach dem Kürzen also noch da statt mit weggekürzt worden zu sein. Beachten Sie, dass der Nenner in jeder Zeile positiv bleibt — ein Bruch trägt sein Vorzeichen oben, und genau diese Konvention hält das Verfahren eindeutig. Ein negativer Faktor ergibt ein negatives Produkt; zwei hätten ein positives ergeben.

5. 1/2 × 2

   1. Die ganze Zahl als Bruch schreiben: 2 ist 2/1
   2. Die Diagonalen kürzen: 1 gegen 1 haben nichts gemeinsam; 2 gegen 2 haben die 2, das ergibt 1 und 1
   3. Geradlinig multiplizieren: 1 × 1 = 1
   4. Die Hälfte von zwei ist also eins

   Eine ganze Zahl, die keinen Sonderfall braucht: 2 ist 2/1, die Seite behandelt sie also wie jeden anderen Bruch, und das diagonale Kürzen findet die 2 gegen die 2. Ohne diesen Schritt wäre das Produkt 2/2 und müsste immer noch gekürzt werden — das ist der Unterschied, den die Abkürzung bei einem so kleinen Beispiel macht. Dass die Antwort als blanke 1 herauskommt und nicht als 1/1, ist dieselbe Konvention wie überall sonst auf der Seite: Ein Nenner von eins wird nicht geschrieben.

Beide Nenner müssen positiv sein, da ein Bruch sein Vorzeichen im Zähler trägt — und diese Konvention leistet hier echte Arbeit, weil das Kürzen Zahlen schräg gegenüberstellt und mehrdeutig würde, wenn ein Nenner negativ sein könnte. Die Zähler dürfen negativ sein, und das Vorzeichen wandert in die Antwort. Alle vier Zahlen sind in ihrer Größe begrenzt: Zähler und Nenner sind jeweils auf etwa 94 Millionen gedeckelt, das ist der größte Wert, für den die beiden Zähler miteinander multipliziert noch auf eine exakt darstellbare ganze Zahl fallen. Ein Produkt darüber würde still ungenau, die Seite weist die Eingabe also lieber ab, als eine Zahl auszugeben, die richtig aussieht. Null im Zähler ist zulässig — das Produkt ist dann null, und beide gekürzten Faktoren kommen als null über irgendetwas zurück —, eine Null im Nenner dagegen nicht, denn der Bruch existierte dann nicht. Die Seite multipliziert zwei Brüche und sonst nichts: Sie addiert, subtrahiert und dividiert nicht, und sie nimmt keine gemischte Zahl in der Schreibweise ganze Zahl neben Bruch entgegen, die erst in einen unechten Bruch umgewandelt werden muss. Schließlich steht die Antwort in gekürzter Form, die Faktorzeilen aber nicht zwangsläufig: Ein gekürzter Faktor kann weiterhin als 2/2 erscheinen, wenn seine eigenen Zahlen einen gemeinsamen Teiler haben, und das ist dann die ehrliche Aufzeichnung dessen, was das Kürzen getan hat, und keine falsche Antwort.

Wie multipliziert man zwei Brüche?

Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. 2/3 mal 3/4 ist (2 × 3) über (3 × 4), das sind 6/12, und 6/12 kürzt sich zu 1/2. Ein gemeinsamer Nenner ist nicht nötig, anders als beim Addieren — das ist das Eine, was das Multiplizieren von Brüchen einfacher macht als das Addieren.

Was ist kreuzweises Kürzen?

Das Teilen eines Zählers und des schräg gegenüberliegenden Nenners durch ihren größten gemeinsamen Teiler, und zwar vor der Multiplikation. Bei 2/3 mal 3/4 kürzt sich die 2 gegen die 4 und die 3 gegen die andere 3, übrig bleibt 1/1 mal 1/2 — und das ist bereits die Antwort. Es funktioniert, weil das Teilen des einen Faktors und das Multiplizieren mit derselben Zahl sich aufheben.

Welche Zahlen kürzen sich — die über Kreuz oder die untereinander?

Immer über Kreuz, also diagonal: jeder Zähler gegen den Nenner des anderen Bruchs. Die beiden Zähler werden miteinander multipliziert und nicht gegeneinander gekürzt, und mit den beiden Nennern ist es genauso. Das Kürzen des falschen Paares ergibt eine falsche Antwort statt gar keiner, deshalb stehen beide gekürzten Faktoren auf dem Panel.

Muss ich überhaupt kreuzweise kürzen?

Nein, und die Seite zeigt beide Wege: 6/12 und 1/2 sind dieselbe Zahl. Was das kreuzweise Kürzen einbringt, ist ein Produkt, das bereits in gekürzter Form ankommt, sodass am Ende kein Kürzungsschritt mehr nötig ist — bei 99/100 mal 100/99 liefert die Abkürzung 1, während der lange Weg zuerst 9900 über 9900 hinschreibt.

Kann ich einen Bruch mit einer ganzen Zahl multiplizieren?

Ja. Schreiben Sie die ganze Zahl über die 1 — aus 2 wird 2/1 —, und danach ist es eine gewöhnliche Multiplikation. 1/2 mal 2 ist 1/2 mal 2/1, die beiden Zweien kürzen sich kreuzweise, und die Antwort ist 1. Eine Sonderregel für ganze Zahlen gibt es nicht.

Und was ist mit negativen Brüchen?

Das Vorzeichen gehört dem Zähler und wandert mit ihm. -2/3 mal 3/4 ist -1/2: Die -2 kürzt sich gegen die 4 zu -1 und 2, das Minus überlebt das Kürzen also. Die Nenner bleiben durchweg positiv, und diese Konvention ist es, die das diagonale Zuordnen eindeutig macht.

Warum wird einer der gekürzten Faktoren als blanke 1 ausgegeben?

Weil sich alles in ihm weggekürzt hat. Wenn ein Zähler und der gegenüberliegende Nenner alle ihre Faktoren teilen, bleibt 1 über 1 übrig, und ein Nenner von 1 wird ohne Nenner geschrieben — dieselbe Konvention, die der Rest der Seite verwendet. Eine blanke 1 ist ein weggekürzter Faktor und keine fehlende Zeile.

• Fraction — der Quotient zweier ganzer Zahlen in der Schreibweise mit Zähler und Nenner, samt der Arithmetik des Multiplizierens zweier solcher Brüche — Wolfram MathWorld (United States)
• Reduced Fraction — die gekürzte Form eines Bruchs, in der die Antwort auf dieser Seite ausgegeben wird und in die die Zeile vor dem Kürzen erst gebracht werden muss — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — die größte ganze Zahl, die zwei gegebene Zahlen teilt; durch sie wird hier jedes Diagonalpaar vor der Multiplikation geteilt — Wolfram MathWorld (United States)
• Relatively Prime — zwei ganze Zahlen ohne gemeinsamen Teiler größer als eins, also der Fall, in dem ein Diagonalpaar nichts zu kürzen hat und unverändert durchläuft — Wolfram MathWorld (United States)
• Improper Fraction — ein Bruch, dessen Zähler mindestens so groß ist wie sein Nenner; genau das ist eine ganze Zahl, die als Bruch über der 1 geschrieben wird — Wolfram MathWorld (United States)
• Brüche multiplizieren — Mathebibel: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner, mit dem kreuzweisen Kürzen vor der Multiplikation — Mathebibel (Deutschland)
• Größter gemeinsamer Teiler — Mathebibel: der Teiler, durch den beim kreuzweisen Kürzen geteilt wird, und der Grund, warum teilerfremde Paare einfach stehen bleiben — Mathebibel (Deutschland)