Verhältnis-Rechner

gekürztes Verhältnis = beide Terme ÷ ihr größter gemeinsamer Teiler 6 : 4 → 3 : 2 Dezimalzahl = erster ÷ zweiter → 1,5 Pro eins = 1 : zweiter ÷ erster → 1 : 0.6667

Erster Term

Die Zahl vor dem Doppelpunkt. Sie ist der Term, der durch den zweiten geteilt wird, um die Dezimalzahl zu ergeben, und sie ist diejenige, die das Vorzeichen trägt.

Zweiter Term

Die Zahl nach dem Doppelpunkt. Sie darf nicht null sein: Ein Verhältnis mit nichts an der zweiten Stelle ist kein Vergleich, und die Dezimalzahl wäre eine Division durch null.

Gekürztes Verhältnis

Dasselbe Paar, nachdem der größte gemeinsame Teiler der beiden Terme (ggT) gekürzt wurde, die Terme sind also teilerfremd. Das ist die Form für alles, wo nur ganze Zahlen stehen dürfen, und sie ist exakt: 12,3457 : 1 kommt als 123457 : 10000 zurück und nicht als gerundete Dezimalzahl.

Dezimalzahl

Der erste Term geteilt durch den zweiten, also der Quotient, für den das Verhältnis steht. 1,5 heißt, der erste Term ist anderthalbmal der zweite. Ausgegeben werden vier Nachkommastellen, ein Verhältnis wie 1 : 3 zeigt also 0,3333.

Pro eins

Der zweite Term geteilt durch den ersten, geschrieben als 1 : dieser Wert. Er beantwortet, wie viel vom zweiten auf eine einzelne Einheit des ersten kommt, und er braucht einen ersten Term ungleich null. Ebenfalls auf vier Nachkommastellen gedruckt.

Drei Verwendungen, und die erste ist die erklärungsbedürftige: Ein Verhältnis zu kürzen heißt, es in die Form zu bringen, aus der sich ein Maßstab oder ein Rezept überhaupt bauen lässt, denn 6 : 4 ist ein Zahlenpaar, während 3 : 2 ein Rezept ist. Die zweite ist die Rechnung, die dem Verhältnis folgt: Ein Verhältnis in die Dezimalform zu bringen, macht daraus eine Zahl, die sich multiplizieren, vergleichen oder auftragen lässt, und genau das geschieht mit einer Steigung, einer Rate oder einer Quote, bevor sie irgendwo weiterverwendet wird. Die dritte ist, ein Verhältnis in Worten zu erklären, wobei die Einheitsform die Arbeit tut, denn auf je eins des ersten Terms kommen 0,6667 des zweiten ist ein Satz, nach dem sich handeln lässt. Alle drei stammen aus demselben Paar, und keine von ihnen ist richtiger als die anderen: Es ist dieselbe Beziehung, für drei verschiedene Arten von Lesern aufgeschrieben.

1. 6 : 4

   1. Gemeinsamer Teiler: 6 und 4 lassen sich beide durch 2 teilen
   2. Kürzen: 6 ÷ 2 = 3 und 4 ÷ 2 = 2, also 3 : 2
   3. Dezimalzahl: 6 ÷ 4 = 1,5
   4. Pro eins: 4 ÷ 6 = 0,6667 auf vier Nachkommastellen

   Der Standardfall. Die beiden Terme waren von Anfang an ganze Zahlen, das Kürzen ist also eine einzige Division durch zwei, und die Einheitsform ist die Stelle, an der die Rundung sichtbar wird.

2. 2,5 : 5, mit einem Dezimalterm

   1. Beide Terme mit zehn skalieren: 25 : 50
   2. Kürzen: 25 ÷ 25 = 1 und 50 ÷ 25 = 2, also 1 : 2
   3. Dezimalzahl: 2,5 ÷ 5 = 0,5
   4. Pro eins: 5 ÷ 2,5 = 2

   Ein Term mit einem Komma wird dadurch erledigt, dass beide Terme zuerst mit zehn multipliziert werden, was das Verhältnis unverändert lässt. Diesen Schritt zu überspringen und trotzdem zu kürzen, ließe einen Term stehen, der noch keine ganze Zahl ist.

3. 3 : 4, bereits vollständig gekürzt

   1. Gemeinsamer Teiler: 3 und 4 haben keinen über 1
   2. Kürzen: Das Paar ist bereits 3 : 4
   3. Dezimalzahl: 3 ÷ 4 = 0,75
   4. Pro eins: 4 ÷ 3 = 1,3333 auf vier Nachkommastellen

   Die Anzeige gibt dasselbe Paar zurück, wenn es nichts zu kürzen gibt, und das ist die richtige Antwort und kein Zeichen dafür, dass nichts geschehen ist. Die Einheitsform steht trotzdem da und ist keine ganze Zahl.

4. 3 : -4, wo das Vorzeichen wandert

   1. Beide Terme werden mit -1 multipliziert: -3 : 4
   2. Sonst kürzt nichts, das gekürzte Verhältnis ist also -3 : 4
   3. Dezimalzahl: -3 ÷ 4 = -0,75, dasselbe wie 3 ÷ -4
   4. Pro eins: 4 ÷ -3 = -1,3333

   Das Verhältnis ändert sich nicht, wenn man beide Terme mit derselben Zahl multipliziert, -3 : 4 und 3 : -4 sind also dieselbe Beziehung, und die Anzeige druckt die erste. Jede Lesart bestätigt das: Die Dezimalzahl ist in beiden Fällen -0,75.

Die Dezimalzahl und die Einheitsform werden auf vier Nachkommastellen gedruckt, ein Verhältnis, das nicht aufgeht, wird dort also gerundet: 1 : 3 zeigt 0,3333 und nicht ein Drittel, und der genaue Wert ist ein periodischer Dezimalbruch, den nur ein Bruch aufschreiben kann. Das gekürzte Verhältnis wird nicht gerundet und ist nicht angenähert: 12,3457 : 1 kommt als 123457 : 10000 zurück, das ist das exakte Paar und keine verkleidete Dezimalzahl. Ein zweiter Term von null wird abgelehnt, weil a : 0 kein Vergleich ist und die Dezimalzahl eine Division durch null wäre. Ein erster Term von null wird ebenfalls abgelehnt, obwohl 0 : 5 sich streng genommen zu 0 : 1 kürzen ließe — die Einheitsform muss durch den ersten Term teilen, und zwei Drittel einer Anzeige zu drucken wäre schlimmer, als es zu sagen. Das Vorzeichen wird immer am ersten Term gedruckt, ein als 3 : -4 eingegebener Term kommt also als -3 : 4 zurück; das Verhältnis ist dasselbe, und eine aus der Anzeige abgeschriebene Zahl kann anders aussehen als die eingetippte. Sehr große Zahlen werden abgelehnt und nicht angenähert: Das Kürzen geschieht in ganzen Zahlen, und jenseits der Stelle, an der ganze Zahlen nicht mehr exakt sind, würde der gemeinsame Teiler aus Rauschen berechnet. Diese Seite kürzt ein Verhältnis, liest es auf zwei Arten und hört dort auf. Einen fehlenden Term einer Proportion einzusetzen, eine Größe in einem gegebenen Verhältnis aufzuteilen und ein Verhältnis zwischen Größen mit Einheiten auszurechnen, sind drei verschiedene Rechnungen.

Wie kürze ich ein Verhältnis?

Sie suchen die größte Zahl, die beide Terme teilt, und teilen jeden Term durch sie. In 6 : 4 ist das die 2, was 3 : 2 ergibt. Sind die Terme keine ganzen Zahlen, multiplizieren Sie beide so oft mit zehn, bis sie es sind, und kürzen erst danach.

Was bedeutet die Dezimalzahl?

Sie ist der erste Term geteilt durch den zweiten, also der Quotient, für den das Verhältnis steht: 3 : 2 ist 1,5, das heißt, der erste Term ist anderthalbmal der zweite. Das ist die Lesart für die Weiterrechnung, denn eine Steigung oder eine Rate muss eine Zahl sein, bevor sie multipliziert werden kann.

Was bedeutet die Einheitsform?

Sie schreibt das Verhältnis mit dem ersten Term als 1 neu: den zweiten Term geteilt durch den ersten, gedruckt als 1 : dieser Wert. Für 6 : 4 ist das 1 : 0.6667, was heißt: auf je eins des ersten Terms kommen 0,6667 des zweiten. Das ist die Lesart zum Aussprechen.

Darf in einem Verhältnis eine Dezimalzahl stehen?

Ja. 2,5 : 5 ist ein völlig brauchbares Verhältnis und kürzt sich zu 1 : 2, indem beide Terme mit zehn multipliziert und danach gekürzt werden. Beide Terme mit derselben Zahl zu multiplizieren, ändert das Verhältnis nie, und das macht diesen Schritt unbedenklich.

Warum druckt die Anzeige manchmal dasselbe Verhältnis zurück?

Weil das Paar bereits vollständig gekürzt war. 3 : 4 hat keinen gemeinsamen Teiler über 1, beim Kürzen gibt es also nichts zu tun; die Anzeige druckt 3 : 4, weil das die Antwort ist, und die beiden anderen Lesarten ändern sich trotzdem.

Warum wird 3 : -4 als -3 : 4 gezeigt?

Weil beide Terme mit derselben Zahl zu multiplizieren das Verhältnis unverändert lässt und die Seite das Vorzeichen immer am ersten Term schreibt. Die beiden Formen sind dieselbe Beziehung, und jede Lesart stimmt zu: Die Dezimalzahl ist in beiden Fällen -0,75.

Was passiert, wenn einer der Terme null ist?

Ein zweiter Term von null wird abgelehnt, weil a : 0 kein Vergleich ist und die Dezimalzahl durch null teilen würde. Ein erster Term von null wird ebenfalls abgelehnt: Das Verhältnis selbst ließe sich zwar kürzen, aber die Einheitsform teilt durch den ersten Term, und dafür gibt es keine Antwort.

• Ratio — the ratio of two numbers written with a colon, where the first behaves as the numerator and the second as the denominator, so a ratio is equivalent to the quotient of the two and the colon form and the decimal form are two spellings of one relationship — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — the largest divisor common to two integers, with two integers having a greatest common divisor of 1 described as relatively prime, which is exactly what cancelling to lowest terms leaves behind — Wolfram MathWorld (United States)
• Reduced Fraction — a pair written with the common factors cancelled, which is the same operation this page performs on the two terms of a ratio before printing them — Wolfram MathWorld (United States)
• Verhältnis — zwei Größen im Vergleich mit dem Doppelpunkt als Schreibweise, samt der Erweiterung und dem Kürzen, mit denen ein Verhältnis auf seine einfachste Form gebracht wird — Mathebibel (Deutschland)