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CalcMax

Proportion-Rechner

Ergebnis

16,0000

Fehlender Term

Kreuzprodukt (A × D = B × C)
48,0000
Skalierungsfaktor (C ÷ A)
4,0000

Ein Proportion-Rechner löst die Aussage, dass zwei Verhältnisse gleich sind, wenn einer der vier Terme fehlt. Schreiben Sie 3 : 4 = 12 : ?, und die Antwort ist 16, denn 3 : 4 und 12 : 16 sind gleichwertige Verhältnisse — das zweite ist das erste, bei dem jeder Term mit vier multipliziert wurde. Die Form sind vier Zahlenfelder und sonst nichts, und die Regel lautet, dass Sie genau eines davon leer lassen: Das leere Feld ist der Term, nach dem aufgelöst wird. Es gibt kein Menü, das fragt, welchen Term Sie haben möchten, denn das leere Feld sagt es bereits, und alle vier Positionen arbeiten gleich — Sie können genauso gut nach dem ersten Term auflösen wie nach dem letzten, und genau das ist die Frage, die an dieses Layout am häufigsten gestellt wird. Es werden nur drei der vier Terme gebraucht, und die Rechnung ist immer dieselbe eine: Die Kreuzmultiplikation der Proportion ergibt eine einzige Gleichung, A × D = B × C, und nach dem fehlenden Term aufzulösen heißt, das andere Paar zu multiplizieren und durch seinen diagonalen Partner zu teilen. Deshalb zeigt die Anzeige das Produkt des Paares, das Sie gefüllt haben — es ist die Zahl, die Sie von Hand erhalten würden —, und daneben den Faktor, mit dem das zweite Verhältnis das erste skaliert. Verhältnisse dürfen negativ sein, die Terme also auch; die Null ist der eine Wert, der nirgends stehen darf, weil ein Verhältnis mit einem Null-Term entweder keine Lösung hat oder unendlich viele. Eine Verhältnisgleichung dieser Art ist der einfachste Fall einer Proportionsgleichung; dass man nach jedem der vier Terme auflösen kann, ist der einzige Unterschied zu dem, was die meisten aus der Schule kennen.

Zehn Proportionen und die vier Arten, ein Feld leer zu lassen

Erster Term (A)Zweiter Term (B)Dritter Term (C)Vierter Term (D)Fehlender TermKreuzproduktSkalierungsfaktor
341216D484
341216A484
341216B484
341216C484
1252.41C120.2
532012D604
2346D122
1.54.52.57.5C11.251.6667
-34-1216D-484
7777D491

Jede Zeile ist eine gelöste Proportion, und die Spalten sind die vier Terme, das leere Feld, das Produkt des gefüllten Paares und der Faktor, der das erste Verhältnis in das zweite überführt. Die ersten vier Zeilen sind dieselbe Proportion, 3 : 4 = 12 : 16, bei der das leere Feld der Reihe nach auf D, A, B und C wandert, und alle Lesarten sind über alle vier identisch — 48 beim Kreuzprodukt und 4 beim Skalierungsfaktor. Diese vier Zeilen untereinander zu lesen, ist die schnellste Antwort auf die Frage, ob diese Seite nach dem ersten Term auflösen kann: Sie kann nach jedem von ihnen auflösen. Sie erklären außerdem die Spalte mit dem fehlenden Term, die den Buchstaben des leeren Feldes druckt statt einer Zahl, weil die Terme und die Buchstaben in jeder Sprache dieselben sind. Zeile fünf ist 12 : 5 = ? : 1, gelöst als 2,4, das ist dieselbe Rechnung wie ein Preis pro Stück und die einzige Zeile, deren Antwort keine ganze Zahl ist. Zeile sechs ist 5 : 3 = 20 : ?, gelöst als 12. Zeile sieben ist die kleinste ganzzahlige Proportion, 2 : 3 = 4 : 6. Zeile acht hat in jedem Feld Dezimalzahlen, und ihr Skalierungsfaktor von 1,6667 ist die einzige Lesart der Tabelle, die nicht aufgeht. Zeile neun hat negative Terme, wobei das Kreuzprodukt negativ und der Skalierungsfaktor positiv ist. Zeile zehn ist 7 : 7 = 7 : 7, deren Skalierungsfaktor von 1 sagt, dass die beiden Verhältnisse identisch sind — eine Proportion kann trivialerweise wahr sein, und sie muss trotzdem wie jede andere gelöst werden. Der Dezimaltrenner ist in dieser Tabelle der Punkt (2.4 statt 2,4), weil die Zellwerte unverändert durchgereicht werden und nicht durch eine Textvorlage laufen und Tausender nicht gruppiert sind (1000 statt 1.000).

Formel

A ÷ B = C ÷ D kreuzmultipliziert: A × D = B × C fehlender Term = (das gefüllte Paar, multipliziert) ÷ sein diagonaler Partner

Erster Term (A)
Die erste Zahl des linken Verhältnisses: 3 in 3 : 4 = 12 : 16. Sie darf leer bleiben, und dann ist sie der Term, nach dem diese Seite auflöst — die Antwort steht in derselben Zeile, ganz gleich, welches Feld leer war. Sie darf negativ sein und darf nicht null sein.
Zweiter Term (B)
Die zweite Zahl des linken Verhältnisses: 4 in derselben Proportion. Als zweites Glied eines Verhältnisses ist sie das, wogegen verglichen wird, eine Null an dieser Stelle beschreibt also nichts — ein Verhältnis 3 : 0 ist kein Verhältnis. Negative Werte sind in Ordnung.
Dritter Term (C)
Die erste Zahl des rechten Verhältnisses: 12 im Beispiel. Sie darf leer bleiben und darf negativ sein. Auch hier wird die Null abgelehnt, weil C ÷ D dann für jedes D null wäre und kein D eine Null gleich einem von null verschiedenen Verhältnis macht.
Vierter Term (D)
Die zweite Zahl des rechten Verhältnisses: 16 im Beispiel, und das Feld, das üblicherweise leer bleibt, weil die Formularmaske die ersten drei vorgibt. Er ist der am häufigsten gesuchte Term und wird genauso gelöst wie die anderen drei: das andere Paar multiplizieren, durch den diagonalen Partner teilen.
Fehlender Term
Welcher Term auch leer gelassen wurde, nach ihm wird aufgelöst: 16 für 3 : 4 = 12 : ?. Er steht in einer Zeile, ganz gleich, welches der vier Felder leer war, denn eine nach einer bestimmten Position benannte Zeile würde in drei von vier Fällen auf das falsche Feld zeigen. Die Antwort ist nie null: Sie ist eines der beiden Produkte geteilt durch einen von null verschiedenen Partner.
Kreuzprodukt
Das Produkt des Paares, das Sie gefüllt haben: 48 für 3 : 4 = 12 : ?, aus 4 × 12. Kreuzmultiplizieren ist die Aussage, dass die beiden Produkte gleich sind, das ist also die Zahl auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens und diejenige, die man von Hand prüft. Welches Paar gezeigt wird, hängt davon ab, welches Feld leer war, und es ist immer das vollständige Paar — das, das den gelösten Wert nicht braucht, der selbst eine gerundete Lesart ist.
Skalierungsfaktor
C geteilt durch A: 4 für 3 : 4 = 12 : 16, weil das zweite Verhältnis das erste ist, bei dem jeder Term mit vier multipliziert wurde. Er ist nicht der Wert eines der beiden Verhältnisse — die sind per Definition gleich, genau das sagt eine Proportion —, sondern wie oft das zweite Verhältnis das erste skaliert, und er ist der schnellste Weg, die Antwort mit einem Blick zu prüfen.

Der erste Fall ist der aus dem Lehrbuch: Drei Terme einer Proportion sind bekannt und der vierte wird gesucht, sei es bei einem Maßstab, einem Rezept, einer Mischung oder einer Währungsumrechnung zu einem festen Kurs. Der zweite ist die Prüfung einer gelösten Proportion — die Kreuzproduktzeile ist die Multiplikation, die man von Hand machen würde, und der Skalierungsfaktor ist dieselbe Prüfung in einem Blick. Der dritte ist eine Proportion, deren erster Term unbekannt ist, was manche Werkzeuge gar nicht ausdrücken können, weil sie annehmen, die Antwort stehe immer im letzten Feld; hier lassen Sie einfach das erste Feld leer. Der vierte ist ein Paar von Verhältnissen mit Dezimalzahlen, etwa 1,5 : 4,5 = 2,5 : 7,5, bei dem die Antwort eine Dezimalzahl ist und diese Seite Dezimalzahlen druckt, statt das Ergebnis in einen Bruch zu verwandeln. Der fünfte ist die Grenze zum Einheitspreis: 12 : 5 = ? : 1 ist dieselbe Rechnung wie der Preis für ein einzelnes Stück, und diese Seite löst sie auch, während die Seite für den Einheitspreis darauf besteht, dass der zweite Term genau 1 ist; wer den Preis pro Stück berechnen möchte, ist hier trotzdem richtig.

Rechenbeispiele

  1. 3 : 4 = 12 : ?

    1. Der vierte Term ist der leere, nach ihm wird also aufgelöst
    2. Kreuzmultiplizieren: 3 × D = 4 × 12, also 3 × D = 48
    3. Beide Seiten durch 3 teilen: D = 48 ÷ 3 = 16
    4. Mit dem Skalierungsfaktor prüfen: 12 ÷ 3 = 4, und 4 × 4 = 16, beide Verhältnisse sind also gleich

    Das Standardpaar und die Gestalt, mit der die meisten ankommen: die ersten drei Terme gegeben und der letzte gesucht. Die beiden begleitenden Lesarten sind die zwei Hälften der Prüfung — das Kreuzprodukt 48 ist die Zahl auf beiden Seiten der Gleichung, und der Skalierungsfaktor 4 ist das, womit das zweite Verhältnis das erste multipliziert. Beachten Sie, dass der gelöste Term derjenige ist, der beide Verhältnisse gleich 0,75 macht: 3 ÷ 4 und 12 ÷ 16. Diese Gleichheit ist der ganze Inhalt einer Proportion, und diese Seite stellt sie nur um.

  2. ? : 4 = 12 : 16

    1. Diesmal ist der erste Term leer, und an der Methode ändert das nichts
    2. Kreuzmultiplizieren: A × 16 = 4 × 12, also A × 16 = 48
    3. Beide Seiten durch 16 teilen: A = 48 ÷ 16 = 3
    4. Das Kreuzprodukt ist weiterhin 48, weil es aus dem Paar stammt, das gefüllt wurde

    Dieselbe Proportion mit der Antwort im ersten Feld statt im letzten, und jede Lesart ist identisch — 3, 48, 4. Das ist die Frage, die das Vier-Feld-Layout beantwortet und eine Maske mit festem Ausgabefeld nicht: Die Unbekannte sitzt dort, wo Sie das Loch gelassen haben. Beim Kreuzprodukt lohnt das Hinsehen, denn es ist 4 × 12 und nicht A × 16 — die Seite multipliziert das Paar, das Sie gefüllt haben, und nicht das Paar, das zufällig den eben gelösten Term enthält. Hätte sie den gelösten Wert benutzt, würde der Leser beim Prüfen von Hand mit einer gerundeten Zahl multiplizieren.

  3. 3 : ? = 12 : 16

    1. Das leere Feld ist das zweite, und die Methode ist wieder dieselbe
    2. Kreuzmultiplizieren: 3 × 16 = B × 12, also 48 = B × 12
    3. Beide Seiten durch 12 teilen: B = 48 ÷ 12 = 4
    4. Das Kreuzprodukt kommt diesmal aus dem vollständigen Paar, 3 × 16 = 48

    Das leere Feld ist auf die zweite Position gerückt, und dort tauschen die beiden Paare die Plätze: Fehlt der erste Term, ist das vollständige Paar B und C, fehlt der zweite, sind es A und D. Das gedruckte Produkt ist hier in beiden Fällen 48, aber das ist ein Zufall dieser vier Zahlen und keine Regel — die Regel lautet, dass die Seite dasjenige Paar multipliziert, das Sie gefüllt haben, die Zahl auf der Anzeige also immer aus dem von Hand nachvollziehbar ist, was Sie eingetippt haben. Durch 12 zu teilen statt mit 12 zu multiplizieren, ist der Schritt, den man am häufigsten verkehrt herum macht.

  4. 12 : 5 = ? : 1

    1. Das leere Feld ist der dritte Term: 12 : 5 soll gleich C : 1 sein
    2. Kreuzmultiplizieren: 12 × 1 = 5 × C, also 12 = 5 × C
    3. Beide Seiten durch 5 teilen: C = 12 ÷ 5 = 2,4
    4. Der Skalierungsfaktor ist 2,4 ÷ 12 = 0,2, unter eins, weil das zweite Verhältnis kleiner ist

    Dieselbe Rechnung wie der Preis für ein einzelnes Stück, wenn fünf Stück zwölf kosten, und die Antwort ist eine Dezimalzahl und keine ganze Zahl. Diese Seite druckt diese Dezimalzahl und verwandelt sie nicht in einen Bruch, und das ist eine bewusste Grenze: Ein Ergebnis auf kleinste Terme zu kürzen, gehört zu den Bruchseiten, und eine Proportion mit Dezimalzahlen hat vielleicht gar keinen sauberen Bruch. Der Skalierungsfaktor unter eins ist hier das nützliche Signal — er sagt, dass das zweite Verhältnis ein Bruchteil des ersten ist, was leicht als Fehler missverstanden wird, wenn die Antwort eigentlich größer herauskommen sollte.

  5. -3 : 4 = -12 : ?

    1. Das leere Feld ist der vierte Term, und die Terme dürfen negativ sein
    2. Kreuzmultiplizieren: -3 × D = 4 × (-12), also -3 × D = -48
    3. Beide Seiten durch -3 teilen: D = -48 ÷ -3 = 16
    4. Das Kreuzprodukt ist negativ und der Skalierungsfaktor positiv, und beides ist richtig

    Negative Terme sind zulässig, denn ein Verhältnis darf negativ sein, und -0,75 = -0,75 ist eine wahre Proportion. Die beiden begleitenden Lesarten zeigen hier in entgegengesetzte Richtungen, und das ist kein Widerspruch: Das Kreuzprodukt -48 ist das Produkt der beiden Terme auf einer Seite der Gleichung, während der Skalierungsfaktor 4 aus -12 ÷ -3 stammt, und eine negative Zahl durch eine andere zu teilen, ergibt ein Positives. Das ist der Fall, den man ansehen sollte, wenn die Seite einmal ein Vorzeichen zufällig zu vergeben scheint — das Vorzeichen gehört jeweils dem Produkt oder dem Quotienten, der gedruckt wird, und nicht der Proportion als Ganzen.

Einschränkungen

Genau ein Feld bleibt leer. Füllen Sie alle vier, lehnt die Seite ab, selbst wenn die vier Zahlen eine korrekte Proportion wie 3 : 4 = 12 : 16 bilden — ohne leeres Feld gibt es keinen Term zum Auflösen, und einen davon als Antwort zu drucken, hieße, dass die Seite stillschweigend auswählt. Damit ist auch der Weg gegeben, eine Proportion zu prüfen, von der Sie glauben, dass sie gilt: Lassen Sie einen Term leer, und sehen Sie, ob der gelöste Wert die Zahl ist, die Sie im Kopf hatten. Weniger als drei gefüllte Felder werden ebenfalls abgelehnt, weil es dann nichts aufzulösen gibt. Die Null darf in keinem der vier Felder stehen, und die vier Fälle laufen auf einen Grund hinaus: In A × D = B × C macht ein Null-Term die Gleichung entweder unlösbar oder für jeden Wert wahr, die Seite weist ihn also zurück, statt eine Antwort zu wählen. Eine Null als zweiter oder vierter Term ist der deutlichste Fall, denn ein gegen null geschriebenes Verhältnis ist überhaupt kein Verhältnis. Negative Terme sind zulässig und die Antwort darf negativ sein, lesen Sie ein Minuszeichen also nicht als Fehler. Die vier Lesarten werden auf vier Nachkommastellen gerundet, was zählt, wenn ein Term nicht aufgeht: 1,5 : 4,5 = 2,5 : 7,5 löst sich zu 2,5 mit einem Skalierungsfaktor von 1,6667. Ergebnisse werden als Dezimalzahlen gedruckt, nie als Brüche — diese Seite kürzt nichts, und eine Proportion mit Dezimalzahlen hat vielleicht keinen exakten Bruch zum Kürzen. Keiner der vier Terme trägt eine Einheit, weil eine Proportion Größen derselben Art vergleicht und das Anhängen einer Dimension jede andere Art aussperren würde; ist das Verhältnis eine Rate mit Einheiten auf beiden Seiten, ist die Seite für den Einheitspreis die richtige. Die Seite löst eine Proportion auf einmal und bietet keine zusammengesetzten oder verketteten Proportionen an.

Häufige Fragen

Wie löst man eine Proportion auf?
Kreuzmultiplizieren, dann teilen. Für 3 : 4 = 12 : ? ergibt die Formel 3 × D = 4 × 12, also 3 × D = 48 und D = 16. In Worten: das Paar multiplizieren, das Sie gefüllt haben, und durch den diagonalen Partner des Terms teilen, nach dem Sie auflösen. Dieselbe eine Methode deckt alle vier Positionen ab.
Kann ich nach dem ersten Term auflösen statt nach dem letzten?
Ja, und nach jedem der vier. Lassen Sie das Feld leer, das gelöst werden soll, und füllen Sie die anderen drei — es gibt keinen eigenen Modus und kein Menü, das fragt, welchen Term Sie meinen. Für ? : 4 = 12 : 16 ist die Antwort 3, und die Anzeige sieht genauso aus wie bei einem leeren Feld am Ende.
Was passiert, wenn ich alle vier Terme ausfülle?
Die Seite lehnt ab, selbst wenn die vier Zahlen eine korrekte Proportion bilden. Ohne leeres Feld gibt es keinen Term zum Auflösen, und einen davon zu drucken, hieße, dass die Seite für Sie auswählt. Wollen Sie eine Proportion prüfen, von der Sie glauben, dass sie gilt, lassen Sie einen Term leer und sehen Sie, ob der gelöste Wert zu der Zahl passt, die Sie im Kopf hatten.
Dürfen die Terme negativ oder null sein?
Negative Terme sind in Ordnung: -3 : 4 = -12 : 16 ist eine wahre Proportion. Die Null wird in jedem der vier Felder abgelehnt. In A × D = B × C macht ein Null-Term die Gleichung entweder unlösbar oder für jeden Wert wahr, und ein Verhältnis wie 3 : 0 ist überhaupt kein Verhältnis. Der gelöste Term selbst ist nie null.
Was zeigt die Kreuzproduktzeile?
Das Produkt des Paares, das Sie gefüllt haben — 48 für 3 : 4 = 12 : ?, aus 4 × 12. Kreuzmultiplizieren einer Proportion besagt, dass die beiden Produkte gleich sind, das ist also die Zahl, die auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens steht und die sich von Hand nachprüfen lässt. Welches Paar gedruckt wird, hängt davon ab, welches Feld leer war, es ist also immer ein Paar, das Sie aus dem bilden können, was Sie eingetippt haben.
Was bedeutet der Skalierungsfaktor?
Wie oft das zweite Verhältnis das erste skaliert: 4 für 3 : 4 = 12 : 16, denn 12 ist 3 × 4 und 16 ist 4 × 4. Er ist nicht der Wert des Verhältnisses selbst — die beiden Verhältnisse sind per Definition gleich, genau das sagt eine Proportion. Er ist die schnellste Prüfung mit einem Blick, ob die Antwort die richtige Größe hat.

Quellen

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Seitenverhältnis-RechnerSkaliert ein Seitenverhältnis auf neue Breite oder Höhe.Verhältnis-RechnerKürzt ein Verhältnis, mit der Form zu eins und Dezimalwert.Einheitspreis-RechnerPreis pro Einheit aus Menge und Gesamtkosten.Goldener-Schnitt-RechnerDer längere oder kürzere Teil beim Goldenen Schnitt.