Goldener-Schnitt-Rechner

Längerer Teil ÷ kürzerer Teil = phi Ganze Strecke ÷ längerer Teil = phi Kürzerer Teil = längerer Teil ÷ phi Längerer Teil = kürzerer Teil × phi Ganze Strecke = längerer Teil + kürzerer Teil

Welchen Teil Sie kennen

Eine Auswahl aus drei: den längeren Teil, den kürzeren Teil oder die ganze Strecke. Sie entscheidet, welches Feld Ihre Eingabe ist und welche zwei Werte daraus berechnet werden. Die ganze Strecke ist die Voreinstellung, weil eine direkt messbare Länge der übliche Weg in diese Aufgabe ist.

Die Länge, die Sie kennen

Wie lang dieser Teil ist: 100, oder 1920, oder 0,5. Sie muss größer als null sein, denn null hat keinen goldenen Schnitt — beide Teile wären null — und eine negative Länge ist keine Länge. Sie ist nicht auf ganze Zahlen beschränkt und trägt keine Einheit: Pixel, Millimeter und Zoll funktionieren gleichermaßen.

Längerer Teil

Das größere Stück der Teilung und die Hauptangabe. Ist die ganze Strecke bekannt, ist er die ganze Strecke geteilt durch phi; ist der kürzere Teil bekannt, ist er dieser Teil mal phi; kennt man ihn selbst, ist er die eingetippte Zahl.

Kürzerer Teil

Das kleinere Stück. Ist die ganze Strecke bekannt, ist er das, was übrig bleibt, wenn man den längeren Teil abzieht; ist der längere Teil bekannt, ist er dieser geteilt durch phi; kennt man ihn selbst, ist er die eingetippte Zahl.

Ganze Strecke

Die beiden Stücke zusammengezählt, also die Länge, mit der Sie begonnen haben, wann immer das Ihr Feld war. Sie ist der Wert, der die beiden anderen zusammenbindet: längerer plus kürzerer ergeben sie immer, und diese Summe ist die Probe, dass die drei Zeilen zueinander passen.

Rundung

Alle drei Werte werden mit vier Nachkommastellen ausgegeben, weil phi selbst nie abbricht. Die drei entstehen aus demselben Zahlenpaar, liegt die eingegebene Länge also auf dem Raster der vier Stellen, addieren sich die drei Zeilen weiterhin exakt: 61,8034 + 38,1966 ist 100.

Der erste Fall ist ein Layout: eine Seite, eine Arbeitsfläche, ein Foto oder ein Rahmen, der im goldenen Schnitt geteilt werden soll, wobei die ganze Breite bekannt ist und die beiden Teile gesucht werden. Der zweite ist die andere Richtung, die ebenso häufig vorkommt — Sie haben das lange Stück bereits gezeichnet und brauchen nun das kurze, oder das kurze Stück steht fest und das lange muss daraus abgeleitet werden. Der dritte ist die Kontrolle einer fremden Teilung: Geben Sie den längeren Teil ein und sehen Sie, ob die sich ergebende Gesamtstrecke die aus der Zeichnung ist. Der vierte ist eine Proportion über Größenordnungen hinweg, bei der dasselbe Verhältnis auf eine große und eine kleine Fassung desselben Entwurfs angewendet wird; weil das Verhältnis dimensionslos ist, muss zwischen ihnen nichts umgerechnet werden. Der fünfte ist der, mit dem Leute ankommen, nachdem sie den Ausdruck statt der Zahl gehört haben: Zu sehen, dass aus einer Strecke von 100 die Werte 61,8 und 38,2 werden, macht die Definition greifbar, und die Tabelle weiter unten wiederholt das für eine Handvoll vertrauter Breiten, sodass sich die Wirkung des Skalierens in einer Spalte ablesen lässt, ohne etwas berechnen zu müssen.

1. Eine ganze Strecke von 100

   1. Längerer Teil: 100 ÷ 1,6180339887 = 61,8034
   2. Kürzerer Teil: 100 − 61,8034 = 38,1966
   3. Probe: 61,8034 + 38,1966 = 100, die Länge, mit der Sie begonnen haben
   4. Und das Verhältnis: 61,8034 ÷ 38,1966 = 1,618

   Der Standardfall und der klarste: eine runde 100 hinein, zwei krumme Zahlen heraus, und die beiden addieren sich exakt zu 100. Das letzte ist kein Glück — der kürzere Teil wird durch Subtraktion gefunden und nicht durch eine zweite Division, die beiden ausgegebenen Zeilen können der eingegebenen also nicht widersprechen. Der vierte Schritt ist die Definition rückwärts gelesen, und er lohnt sich einmal: Der längere Teil geteilt durch den kürzeren muss phi ergeben.

2. Längerer Teil von 100 bekannt

   1. Kürzerer Teil: 100 ÷ 1,6180339887 = 61,8034
   2. Ganze Strecke: 100 + 61,8034 = 161,8034
   3. Ein langes Stück von 100 gehört also zu einer Strecke von 161,8034

   Die Richtung, die man tatsächlich braucht, wenn der Entwurf bereits eine lange Kante hat: Das lange Stück steht fest, und der Rest der Strecke muss ihm folgen. Beachten Sie, dass die Hauptangabe hier schlicht die eingetippte Zahl ist — die Anzeige hält den längeren Teil in der ersten Zeile, welchen Zweig Sie auch genommen haben, die Antwort steht also immer an derselben Stelle. Und beachten Sie, dass die zweite Zeile dieselbe 61,8034 ist wie im Fall darüber, und genau darum geht es: Ein langes Stück von 100 zieht dasselbe kurze Stück nach sich, ob es nun aus einer Strecke von 161,8 kam oder aus einer Strecke von 100, die anders geteilt wurde.

3. Kürzerer Teil von 100 bekannt

   1. Längerer Teil: 100 × 1,6180339887 = 161,8034
   2. Ganze Strecke: 100 + 161,8034 = 261,8034
   3. Ein kurzes Stück von 100 gehört also zu einer Strecke von 261,8034

   Der dritte Zweig und der, der die Multiplikation festnagelt: Vom kurzen Stück zum langen multipliziert man mit phi, vom langen zum kurzen teilt man durch phi. Beide Richtungen kommen in den Fällen darüber vor, und sie zu vergleichen ist der schnellste Weg, sich zu merken, in welche Richtung die Konstante gehört. Ein kurzes Stück von 100 braucht eine Strecke von mehr als dem Zweieinhalbfachen seiner Länge, und das ist die praktische Warnung: Das kurze Stück eines goldenen Schnitts ist immer der kleinere Anteil einer Strecke, die länger ist, als sie aussieht.

4. Eine Breite von 1920 Pixeln

   1. Längerer Teil: 1920 ÷ 1,6180339887 = 1186,6253
   2. Kürzerer Teil: 1920 − 1186,6253 = 733,3747
   3. Probe: 1186,6253 + 733,3747 = 1920

   Eine Bildschirmbreite, und hier wird diese Rechnung in der Praxis am häufigsten ausgeführt: eine Arbeitsfläche oder eine Inhaltsspalte im goldenen Schnitt geteilt. Beide Teile landen auf vier Nachkommastellen, in Pixeln also auf einem Bruchteil eines Pixels — auf ganze Pixel gerundet ist die Teilung immer noch golden, weit innerhalb dessen, was ein Auge unterscheidet. Es ist zugleich der Fall, der zeigt, warum die Werte mit vier und nicht mit zwei Nachkommastellen ausgegeben werden: Bei dieser Größe lägen beide Teile mit zwei Stellen auf fast ganzen Zahlen, und es bliebe verborgen, dass keiner von beiden exakt ist.

5. Eine ganze Strecke von 2

   1. Längerer Teil: 2 ÷ 1,6180339887 = 1,2361
   2. Kürzerer Teil: 2 − 1,2361 = 0,7639
   3. Probe: 1,2361 + 0,7639 = 2

   Die kleinste ganzzahlige Länge, die noch eine Teilung mit Ziffern auf beiden Seiten des Kommas zeigt, und der Fall, der die Eigenart des Verhältnisses sichtbar macht: Der längere Teil einer Strecke von 2 ist mehr als die Hälfte davon, wie immer, und der kürzere liegt etwas unter vier Zehnteln. Skaliert man diese Strecke mit zehn, entsteht die 20, die in der Tabelle weiter unten steht, und beide Teile skalieren mit — im Verhältnis steckt keine Einheit und kein Maßstab, nur eine Proportion zwischen zwei Stücken von dem, was Sie gemessen haben.

Die eingegebene Länge muss größer als null sein. Null wird abgelehnt, weil ihr goldener Schnitt zwei Nullen wären und damit nichts aussagt, und eine negative Länge wird abgelehnt, weil sie eine Länge ist, die es nicht gibt, und nicht eine kleine. Es wird immer nur eine Länge auf einmal genommen, und die Seite prüft niemals eine Teilung, die Sie anderswo vorgenommen haben: Haben Sie zwei Stücke bereits zugeschnitten, liefert die Eingabe eines davon den Schnitt, zu dem dieses Stück gehört, statt das vorliegende Paar zu bestätigen. Die drei Werte werden mit vier Nachkommastellen ausgegeben, die Zahlen sind also nie die exakten — phi hat überhaupt keine exakte Dezimalform, und die Seite rundet in jeder Zeile; liegen ganze Strecke und längerer Teil auf dem Raster, addieren sich die ausgegebenen Zeilen weiterhin exakt, eine Länge mit fünf oder mehr Nachkommastellen kann die letzte Ziffer jedoch um eins danebenliegen lassen, und das ist das Drucken und nicht die Rechnung. Die Längen sind mit Absicht einheitenlos, was bedeutet, dass die Seite Ihnen nicht sagen kann, ob die beiden Stücke Millimeter oder Meilen sind, und ebenso wenig, dass eine Teilung in Pixeln auf ganze Pixel gerundet werden muss, um baubar zu sein. Die Seite wendet das Verhältnis an und sonst nichts: Sie sagt Ihnen nicht, ob ein goldener Schnitt für die Aufgabe die richtige Proportion ist, und sie erzeugt auch nicht die logarithmische Spirale, mit der aufeinanderfolgende goldene Rechtecke üblicherweise gezeichnet werden.

Was ist der goldene Schnitt genau?

Eins plus die Quadratwurzel aus fünf, geteilt durch zwei, also 1,6180339887498948482 — eine Zahl, die endlos weiterläuft, ohne sich zu wiederholen. Sie ist das einzige Verhältnis, das eine Teilung übersteht: Nehmen Sie ein Rechteck mit diesen Seiten, entfernen Sie das größte Quadrat, und das übrig bleibende Rechteck hat wieder dasselbe Verhältnis. Euklid hat es als Teilung einer Strecke im äußeren und mittleren Verhältnis beschrieben, und das ist der Vorgang, den diese Seite ausführt.

Wie teile ich eine Strecke im goldenen Schnitt?

Teilen Sie die ganze Strecke durch 1,6180339887, um den längeren Teil zu erhalten, und ziehen Sie diesen dann von der ganzen Strecke ab, um den kürzeren zu bekommen. Aus einer Strecke von 100 werden 61,8034 und 38,1966. Dass abgezogen statt ein zweites Mal geteilt wird, ist Absicht: So ist garantiert, dass die beiden Teile wieder die eingegebene Länge ergeben.

Ich kenne schon eines der Teilstücke, nicht die ganze Strecke. Geht das?

Ja — wählen Sie im ersten Feld, welchen Teil Sie kennen, und geben Sie dessen Länge ein. Ist der längere Teil bekannt, ist der kürzere dieser geteilt durch phi und die ganze Strecke die Summe der beiden. Ist der kürzere Teil bekannt, ist der längere dieser mal phi. Alle drei Zweige sind dieselbe Rechnung in anderer Anordnung, und die Anzeige gibt immer dieselben drei Zeilen aus.

Warum kommen die Zahlen mit vier Nachkommastellen heraus?

Weil phi nie abbricht, kann kein Wert auf dieser Seite exakt sein — die vier Stellen sind der Punkt, an dem das Runden aufhört, für alle drei Zeilen an derselben Stelle. Hat die eingegebene Länge höchstens vier Nachkommastellen, addieren sich die drei ausgegebenen Zeilen weiterhin exakt, weil der kürzere Teil durch Subtraktion gefunden wird. Eine Länge mit fünf oder mehr Nachkommastellen kann die letzte Ziffer um eins danebenliegen lassen.

Spielt es eine Rolle, welche Einheit ich verwende?

Nein, und deshalb steht auf der ganzen Seite keine Einheit. Der goldene Schnitt ist eine Proportion zwischen zwei Längen und nicht selbst eine Länge, Pixel, Millimeter, Zoll und schlichte Bruchteile verhalten sich also gleich, und eine Skalierung der eingegebenen Länge skaliert alle drei Werte mit demselben Faktor. Die Folge ist, dass die Seite Ihnen nicht sagen kann, ob Ihre Antwort vor dem Bauen auf ganze Pixel gerundet werden muss.

Reicht 1,618?

Zum Zuschneiden eines Stücks Pappe ja, für die Definition nein. Der goldene Schnitt ist nicht 1,618 — er ist eins plus die Quadratwurzel aus fünf durch zwei, und damit fängt er nur an. Wer durchgängig mit der vierstelligen 1,618 rechnet, verschiebt den längeren Teil einer Strecke von 100 um etwa ein Tausendstel; in den meisten Arbeiten unsichtbar, aber nicht der goldene Schnitt. Diese Seite nutzt die volle verfügbare Genauigkeit und rundet nur, was sie ausgibt.

Ist das nicht dasselbe wie ein Verhältnis- oder Proportionalrechner?

Nein, und der Unterschied liegt darin, was Sie liefern müssen. Ein Verhältnis-Rechner nimmt zwei Zahlen, die Sie ihm geben, und kürzt sie, und ein Proportionalrechner löst einen fehlenden Term in einer Aussage, die Sie formuliert haben. Das Verhältnis dieser Seite ist nicht Ihres: Es steht fest auf phi, und was Sie eingeben, ist eine Länge. Drei Seiten, drei verschiedene Fragen.

• Golden Ratio — the definition of phi as the unique ratio which survives cutting a rectangle into a square and a remainder, its exact value of one plus the square root of five over two, its other names (divine proportion, golden mean, golden section), and Euclid's equivalent definition by extreme and mean ratio — Wolfram MathWorld (United States)
• Golden Ratio Conjugate — the smaller quantity, equal to phi minus one and to one over phi, which is the ratio of the short piece to the long piece on this page — Wolfram MathWorld (United States)
• Golden Rectangle — the rectangle whose sides are in the golden ratio and which keeps that ratio when a square is cut from it, the figure that makes the definition of phi unique — Wolfram MathWorld (United States)
• Fibonacci Number — the sequence whose terms are connected to the golden ratio, and whose neighbouring pairs approach the same proportion this page applies — Wolfram MathWorld (United States)
• Ratio — the relation between two quantities of the same kind, written as a quotient, which is the form both of the equalities in the expression above take — Wolfram MathWorld (United States)