Dezimalzahl-in-Bruch-Rechner

Nachkommastellen n → Zähler = Ziffern, Nenner = 10ⁿ anschließend beide durch ihren größten gemeinsamen Teiler teilen

Dezimalzahl

Die umzuwandelnde Zahl, gelesen bis zu zwölf Nachkommastellen. Nachgestellte Nullen ändern sie nicht, und ein Wert unter 0,000000000001 rundet weg, bevor die Umwandlung beginnt

Nachkommastellen

Wie viele Ziffern rechts vom Komma stehen: drei bei 0,375, vier bei 0,0625, keine bei 2. Diese Anzahl legt den Nenner fest, und zwar als so viele Nullen hinter einer Eins

Zähler vor dem Kürzen

Die Ziffern der Dezimalzahl als ganze Zahl gelesen, mit entferntem Komma: 375 bei 0,375 und 625 bei 0,0625. Es ist der obere Teil des Bruchs, der noch zeigt, woher die Zahl stammt

Nenner vor dem Kürzen

Eine Zehnerpotenz — 1000 bei drei Stellen, 10000 bei vier. Sie ist der Nenner, der den Bruch zu einem exakten Dezimalbruch macht und nicht zu einer Näherung

Größter gemeinsamer Teiler

Die größte Zahl, die beide Teile teilt, und das Einzige, was zwischen dem ungekürzten Bruch und der Antwort steht: 375 und 1000 haben die 125 gemeinsam, beide werden also durch sie geteilt, um auf 3 und 8 zu kommen

Vier Situationen führen hierher, und sie verlangen ein unterschiedlich großes Vertrauen. Eine Dezimalzahl für ein Rezept, ein Maßband oder eine Bohrnadel wieder als Bruch zu lesen, wobei die Dezimalzahlen zählen, deren Darstellung abbricht — 0,375 sind drei Achtel und 0,0625 ein Sechzehntel, und diese Umwandlungen sind exakt. Einen vorhandenen Bruch durch Rückwärtsrechnen zu prüfen, und hier verdient sich die ungekürzte Ausgabe ihren Platz: 0,75 einzugeben und 75/100 zu sehen bestätigt, dass die Dezimalzahl drei Viertel ist, sobald die 25 aus beiden Teilen herausgeht. Eine Dezimalzahl als Verhältnis für die Anzeige zu schreiben, wobei die gekürzte Form das ist, was auf die Seite kommt, und der Prozentwert eine Zugabe. Und der Fall, in dem diese Seite das falsche Werkzeug ist, was man erkennen sollte, bevor man Zeit damit verliert: das Umwandeln einer periodischen Dezimalzahl. Wenn Sie 0,3333 haben und nicht 1/3, lautet die Antwort 3333/10000 — eine wahre Aussage über die Ziffern vor Ihnen und ein schlechter Stellvertreter für die Zahl, die Sie im Kopf hatten. Von einer periodischen Dezimalzahl zu ihrem exakten Bruch zu kommen, ist ein anderes Problem mit einem anderen Verfahren, und eine Dezimalzahl, die nach zwölf Stellen aufhört, hat den Beweis, der es lösen würde, bereits weggeworfen.

1. 0,375 als Bruch

   1. Die Nachkommastellen zählen: 0,375 hat drei
   2. Nenner: drei Stellen bedeuten 1000, die Zahl ist also 375/1000
   3. Den größten gemeinsamen Teiler von 375 und 1000 bestimmen: 125
   4. Beide Teile durch 125 teilen: 375 ÷ 125 = 3 und 1000 ÷ 125 = 8
   5. Der gekürzte Bruch ist 3/8, und dieselbe Dezimalzahl sind 37,5 %

   Der Standardfall, und der, der zeigt, dass beide Ausgaben verschiedene Aufgaben haben. 375/1000 ist die Herkunft der Zahl und sagt schlicht, dass drei Nachkommastellen drei Nullen bedeuten; 3/8 ist die Antwort, und es ist die Form, die weiterfunktioniert — drei Achtel einer Tasse, drei Achtel Zoll auf einem Lineal. Beachten Sie, dass 3/8 exakt ist: 0,375 bricht nach drei Stellen ab, und das ist das Kennzeichen einer Dezimalzahl, hinter der ein exakter Bruch steht.

2. 1/16 als Dezimalzahl und zurück

   1. Die Nachkommastellen zählen: 0,0625 hat vier
   2. Nenner: vier Stellen bedeuten 10000, die Zahl ist also 625/10000
   3. Beide Teile durch 625 teilen: 10000 ÷ 625 = 16
   4. Der gekürzte Bruch ist 1/16, und die Dezimalzahl sind 6,25 %

   Ein Sechzehntel, und hier wird die ungekürzte Ausgabe interessant: 625/10000 kürzt sich vollständig zu 1/16, weil 10000 gleich 16 × 625 ist. Das ist die Gestalt jeder abbrechenden Dezimalzahl — der Nenner des gekürzten Bruchs teilt eine Zehnerpotenz, was dieselbe Aussage ist wie: Der Nenner hat außer zwei und fünf keine Primfaktoren. Deshalb wandeln sich 1/16 und 3/8 exakt um und 1/3 und 1/7 nie.

3. 2,5 als unechter Bruch

   1. Das Komma entfernen und die Ziffern lesen: 25
   2. Die Stellen zählen: eine, der Nenner ist also 10
   3. Beide Teile durch 5 teilen: 25 ÷ 5 = 5 und 10 ÷ 5 = 2
   4. Der gekürzte Bruch ist 5/2, also 2,5, und 250 %

   Ein Wert über eins, der als unechter Bruch gemeldet wird und nicht als gemischte Zahl: 5/2 und nicht 2 1/2. Beide Formen sind dieselbe Zahl, und die unechte ist die bessere Eingabe für weiteres Rechnen — das Multiplizieren von Brüchen will keine ganze Zahl danebenstehen haben. Ihn zurückzulesen, also 5 ÷ 2 = 2,5, ist genau die Rechnung, die die nächste Seite dieser Gruppe durchführt.

4. Was aus 0,333333333333333 wird

   1. Die Stellen zählen: fünfzehn Ziffern sind eingetippt, zwölf werden gelesen
   2. Nenner: zwölf Stellen bedeuten 1000000000000
   3. Zähler: die zwölf Ziffern, die übrig geblieben sind, 333333333333
   4. Nichts kürzt sich — kein Faktor ist mit einer Zehnerpotenz gemeinsam —, beide Formen sind also derselbe Bruch
   5. Als Prozentwert sind das 33,3333

   Der Fall, der diese Seite von dem trennt, was ein Leser oft von ihr erhofft. Fünfzehn Dreien sind 1/3, gerundet auf fünfzehn Stellen, und die Seite wandelt die Ziffern um, die sie bekommen hat, und nicht die Zahl, die sie annähern, die Antwort lautet also 333333333333/1000000000000 und nicht 1/3. Dieser Bruch ist ehrlich — er ist genau die eingetippte Dezimalzahl —, und er ist nicht das, wonach jemand sucht, der eine periodische Dezimalzahl umwandelt. Die ungekürzte Ausgabe stimmt hier mit der gekürzten überein, weil keine Kürzung möglich ist: Ein Nenner, der eine Zehnerpotenz ist, hat mit einem Zähler aus lauter Dreien keinen gemeinsamen Faktor.

Die Seite wandelt die Dezimalzahl um, die Sie eingetippt haben, und nicht den Bruch, den Sie gemeint haben. Jede Dezimalzahl, die Sie aufschreiben können, hat einen exakten Bruch, und diese Seite findet ihn; eine abgeschnittene Näherung einer periodischen Dezimalzahl wandelt sich also in einen Bruch über einer Zehnerpotenz um und nicht in den einfachen Bruch, aus dem sie stammt — 0,3333 wird zu 3333/10000, und um 1/3 zurückzubekommen, muss man von vornherein gewusst haben, dass es 1/3 war. Die Seite liest höchstens zwölf Nachkommastellen: Ein Wert unter 0,000000000001 rundet auf null, bevor die Umwandlung beginnt, und kommt als 0 zurück, mit einem entsprechend winzigen Prozentwert daneben; eine so kleine Zahl verliert ihren Bruch also vollständig, statt angenähert zu werden. Eingaben mit vielen Vorkommastellen sind durch die Genauigkeit der gewöhnlichen Gleitkommaarithmetik begrenzt — ab etwa fünfzehn signifikanten Stellen hört der Zähler auf, exakt zu sein, und der zurückgegebene Bruch ist so genau wie die eingegebene Zahl und nicht genauer; er übertreibt die Genauigkeit nicht stillschweigend, kann aber ebenso wenig Ziffern zurückholen, die nie da waren. Brüche werden als unechte Brüche gemeldet und nicht als gemischte Zahlen, 2,5 ergibt also 5/2 und nicht 2 1/2, und eine ganze Zahl ergibt einen Bruch über eins, der dann auf die ganze Zahl selbst zusammenfällt — 1 kommt als 1 zurück. Negative Eingaben behalten ihr Vorzeichen im Zähler: minus 0,375 ist minus 3/8. Die Seite rechnet über die Umwandlung hinaus nichts — sie addiert, vergleicht und kürzt keinen Bruch, den Sie schon haben, und sie prüft nicht, ob der erzeugte Bruch die Form hat, die das Ziel verlangt. Und sie ist kein Rundungswerkzeug: Nichts hier entscheidet, wie viele Nachkommastellen Ihre Zahl hätte haben sollen.

Wie wandelt man eine Dezimalzahl in einen Bruch um?

Die Nachkommastellen zählen, das Komma entfernen und die Ziffern über eine Eins mit ebenso vielen Nullen schreiben: 0,375 hat drei Stellen, ist also 375/1000. Danach beide Teile durch ihren größten gemeinsamen Teiler teilen — hier die 125 —, und man erhält 3/8. Das Zählen ist das ganze Verfahren; alles danach ist Kürzen, und das erledigt eine Seite schneller als ein Mensch.

Warum ergibt 0,3333 den Bruch 3333/10000 und nicht 1/3?

Weil 0,3333 nicht 1/3 ist — es ist 1/3, nach vier Stellen abgeschnitten, und 3333/10000 ist genau das, was diese vier Ziffern sagen. Die Seite wandelt die Zahl um, die vor ihr steht, und kann nicht wissen, dass eine periodische Dezimalzahl gemeint war; der Unterschied zwischen beiden ist 0,0000333, klein, aber real. Um aus einer periodischen Dezimalzahl 1/3 zu gewinnen, braucht man den periodischen Teil, und das ist eine andere Rechnung mit einem anderen Verfahren.

Was sagt mir der ungekürzte Bruch?

Woher der Bruch stammt. 375/1000 sagt, dass die Zahl drei Nachkommastellen hatte und die Ziffern 375 lauteten, was eine Kontrolle der Umwandlung mit dem Auge erlaubt; 3/8 sagt, was die Antwort ist. Das Paar zeigt außerdem den Kürzungsschritt ausdrücklich, dieselbe Seite dient also zugleich als durchgerechnetes Beispiel für das Kürzen eines Bruchs und nicht nur als Umwandler. Ist keine Kürzung möglich — etwa bei einem Zähler aus lauter Dreien —, sind beide Formen identisch und die Seite gibt denselben Bruch zweimal aus.

Welche Dezimalzahlen lassen sich exakt in einen Bruch umwandeln?

Diejenigen, die abbrechen. Eine Dezimalzahl mit endlich vielen Stellen ist ein Bruch über einer Zehnerpotenz, die Umwandlung ist also von der Konstruktion her exakt, und der gekürzte Nenner kann nur aus Zweien und Fünfen gebaut sein — 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25 und so weiter. Alles andere, etwa ein Drittel oder ein Siebtel, hat eine Dezimaldarstellung, die nie endet, und keine endliche Anzahl von Ziffern kann sie exakt wiedergeben. Diese Seite wandelt trotzdem die Ziffern um, die Sie ihr geben, und der zurückgegebene Bruch ist dann ein Bruch über einer Zehnerpotenz und nicht der einfache Bruch dahinter.

Was geschieht mit einer sehr kleinen Dezimalzahl?

Unterhalb von zwölf Nachkommastellen rundet sie auf null weg. Die Seite liest höchstens zwölf Stellen, 0,0000000000001 — dreizehn Stellen — wird also zu 0 und kommt als Bruch 0 zurück statt als Bruch mit einem dreizehnstelligen Nenner. Zwölf Stellen sind eine bewusste Obergrenze: Sie deckt jede Dezimalzahl ab, die in gewöhnlicher Arbeit aufgeschrieben wird, und sie hält Zähler und Nenner in dem Bereich, in dem ganze Zahlen exakt sind.

Warum wird 2,5 als 5/2 gezeigt und nicht als 2 1/2?

Weil ein unechter Bruch die Form ist, die weiterfunktioniert. Der Wert ist in beiden Fällen derselbe, und 5/2 ist das, was Sie brauchen, wenn der nächste Schritt das Multiplizieren oder Dividieren mit einem weiteren Bruch ist, denn eine gemischte Zahl muss dafür erst wieder in einen unechten Bruch verwandelt werden. Ihn zurückzulesen ist eine Division — 5 ÷ 2 = 2,5 —, und die Seite, die diese Division durchführt, ist die nächste dieser Gruppe.

• Decimal fraction — ein arithmetischer Bruch mit einer ganzzahligen Zehnerpotenz als Nenner; von dieser Definition geht die Umwandlung auf dieser Seite aus — Encyclopedia of Mathematics, European Mathematical Society (international)
• Reduced Fraction — ein Bruch in gekürzter Form, erhalten durch Teilen von Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler; als Beispiel ist dort 2/3 der gekürzte Bruch von 8/12 — Wolfram MathWorld (United States)
• Regular Number — auch endliche Dezimalzahl genannt: eine Zahl mit abbrechender Dezimaldarstellung; genau das ist die Klasse der Dezimalzahlen, deren gekürzter Bruch einen Nenner aus lauter Zweien und Fünfen hat — Wolfram MathWorld (United States)
• Dezimalzahl in Bruch — Mathebibel: Nachkommastellen zählen, Ziffern über eine Zehnerpotenz schreiben und anschließend kürzen — Mathebibel (Deutschland)