Gemischte-Zahlen-Rechner

Neuer Zähler = |ganze Zahl| × Nenner + Zähler Dann: a/b + c/d = (a×d + c×b) / (b×d) b/d × c/f = (b×c) / (d×f)

Ganze Zahl

Die ganze Zahl vor dem Bruch, in beiden gemischten Zahlen: die 2 in 2 1/4 oder die 1 in 1 1/2. Sie darf negativ sein, und dann gehört das Minus zur ganzen gemischten Zahl — -1 1/2 ist minus eineinhalb und nicht minus ein Halb. Sie ist der Teil, der das Vorzeichen trägt.

Zähler

Die obere Zahl des Bruchs, in beiden gemischten Zahlen: die 1 in 2 1/4. Sie muss null oder größer sein: Ein Minuszeichen hier machte die gemischte Zahl mehrdeutig, die Seite lehnt es deshalb ab, statt eine Lesart für Sie zu wählen.

Nenner

Die untere Zahl des Bruchs, in beiden gemischten Zahlen: die 4 in 2 1/4. Sie muss positiv sein, aus demselben Grund, aus dem der Nenner eines Bruchs es immer ist — das Vorzeichen sitzt am Zähler, und es gibt nur einen Platz dafür.

Rechenart

Addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren. Alle vier laufen durch dieselbe Umwandlung, die Wahl entscheidet also nur darüber, welche der vier Verknüpfungen von Zähler und Nenner am Ende gebildet wird.

Gemischte Zahl

Die Hauptlesart: das Ergebnis als ganze Zahl mit Bruch. 15/4 wird als 3 3/4 gedruckt. Ist das Ergebnis eine ganze Zahl, verschwindet der Bruch ganz, und ist es kleiner als eins, verschwindet die ganze Zahl — vor 3/4 steht keine 0.

Unechter Bruch

Dasselbe Ergebnis als einzelner Bruch in kleinster Form, 15/4. Er ist exakt und die Form, in die eine gemischte Zahl gebracht werden muss, bevor sie addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert werden kann.

Vor dem Kürzen

Das Ergebnis der Rechnung vor jedem Kürzen: im Standardfall 30/8. Die Zeile steht dort, damit der Rechenweg sichtbar wird — 30/8 und 15/4 sind dieselbe Zahl, und die zweite Zeile ist das, was diese Zahl in kleinster Form ist.

Der erste Verwendungszweck sind Hausaufgaben, und dafür gibt es die zweite Zeile: Gemischte Zahlen müssen umgewandelt werden, bevor man mit ihnen rechnen kann, eine in gemischter Form gestellte Aufgabe wird also über die unechte Form gelöst, und beide werden gedruckt. Der zweite ist die Prüfung einer schon gemachten Rechnung, wo das Eingeben der beiden gemischten Zahlen und der Vergleich mit der dritten Zeile zeigt, ob die rohe Arithmetik vor jedem Kürzen gestimmt hat. Der dritte ist das Subtrahieren über die Null hinweg: 1 1/2 minus 4 ergibt -2 1/2, und die Vorzeichenregel zählt gerade in solchen Fällen. Der vierte ist eine Division, die glatt aufgeht — 2 1/2 geteilt durch 1 1/4 ergibt 2, und der Bruch ist in der Antwort schlicht nicht vorhanden, was man einmal gesehen haben sollte. Der fünfte ist jedes Rezept und jedes Maß, das in gemischter Form ankommt und verdoppelt, halbiert oder skaliert werden soll: 2 1/4 zu verdoppeln ist eine Multiplikation mit 2 0/1, und das vierte Feld nimmt sie an.

1. 2 1/4 + 1 1/2

   1. In die unechte Form: 2 1/4 ist 2 × 4 + 1 = 9, also 9/4; und 1 1/2 ist 1 × 2 + 1 = 3, also 3/2
   2. Über Kreuz addieren: (9 × 2 + 3 × 4) ÷ (4 × 2) = (18 + 12) ÷ 8 = 30/8
   3. Kürzen: 30/8 lässt sich durch 2 teilen, das ergibt 15/4
   4. Zurück in die gemischte Form: 15 ÷ 4 ist 3 Rest 3, also 3 3/4

   Der Standardfall, und derjenige, der zeigt, warum drei Lesarten gedruckt werden und nicht eine: 30/8, 15/4 und 3 3/4 sind dieselbe Zahl in drei Stadien. Der erste Schritt ist die Umwandlung, auf der die ganze Seite aufbaut — die ganze Zahl mal Nenner plus Zähler —, und der letzte Schritt kehrt sie um, weshalb die Antwort in der Form zurückkommt, in der die Frage gestellt war. Die vier Schritte durchzulesen ist zugleich die Probe: Widersprechen sich der gekürzte Bruch und die gemischte Zahl, ist eine der beiden falsch gedruckt.

2. 3 1/2 − 1 3/4

   1. In die unechte Form: 3 1/2 ist 3 × 2 + 1 = 7, also 7/2; und 1 3/4 ist 1 × 4 + 3 = 7, also 7/4
   2. Über Kreuz subtrahieren: (7 × 4 − 7 × 2) ÷ (2 × 4) = (28 − 14) ÷ 8 = 14/8
   3. Kürzen: 14/8 lässt sich durch 2 teilen, das ergibt 7/4
   4. Zurück in die gemischte Form: 7 ÷ 4 ist 1 Rest 3, also 1 3/4

   Eine Subtraktion, bei der die ganzen Zahlen durch dieselbe Umwandlung gehen und nicht getrennt behandelt werden: 3 minus 1 ergäbe 2, und die Antwort ist 1 3/4, weil die Brüche mehr als ein Ganzes zurücknehmen. Die ganzen Zahlen zuerst zu subtrahieren, ist der Fehler, den diese Form aufdecken soll, und ein Blick auf die gekürzte Zeile zeigt ihn — 7/4 ist kleiner als 2, die Antwort kann also nicht 2 Komma irgendwas sein. Hier kommt der Zähler positiv heraus; wird er negativ, steht das Vorzeichen vor der ganzen gemischten Zahl.

3. 1 2/3 × 2 1/4

   1. In die unechte Form: 1 2/3 ist 1 × 3 + 2 = 5, also 5/3; und 2 1/4 ist 2 × 4 + 1 = 9, also 9/4
   2. Geradeaus multiplizieren: (5 × 9) ÷ (3 × 4) = 45/12
   3. Kürzen: 45/12 lässt sich durch 3 teilen, das ergibt 15/4
   4. Zurück in die gemischte Form: 15 ÷ 4 ist 3 Rest 3, also 3 3/4

   Die Multiplikation, die einzige Rechenart, bei der die gemischten Zahlen in keiner Weise ausgerichtet werden müssen: 45/12 und die gekürzte Form 15/4 sind dieselbe Zahl, und beide entstehen durch Multiplizieren von Zähler und Nenner über Kreuz. Dasselbe Ergebnis 3 3/4 kam auch beim Standardfall der Addition heraus — andere Frage, gleiches Resultat, ein Zufall dieser beiden Beispiele und eine Erinnerung daran, die Felder zu lesen und nicht die Antwort. Die dritte Zeile ist hier außerdem die größte Zahl der Seite: Das rohe Produkt zweier Brüche ist immer größer als seine gekürzte Form.

4. 2 1/2 ÷ 1 1/4

   1. In die unechte Form: 2 1/2 ist 5/2, und 1 1/4 ist 5/4
   2. Durch Umkehren des zweiten teilen: (5 × 4) ÷ (2 × 5) = 20/10
   3. Kürzen: 20/10 ist 2
   4. Die gemischte Form von 2 ist einfach 2 — es bleibt kein Bruch zum Aufschreiben

   Eine Division, die glatt aufgeht, und damit der Fall, in dem die gemischte Schreibweise aufgibt: 2 wird als 2 gedruckt und nicht als 2 0/1, weil ein Zähler von null nichts über dem Strich zu stehen hat. Die Rechnung selbst ist dieselbe Umwandlung wie überall, mit umgedrehtem zweitem Bruch — 20/10 kürzt sich zu 2, und die rohe Zeile steht dort, damit die 20 und die 10 vor dem Kürzen zu sehen sind. Hier war eine gemischte Zahl von vornherein das falsche Werkzeug: Die Antwort war nie eine gemischte Zahl.

5. -1 1/2 + 2 1/4

   1. In die unechte Form: -1 1/2 ist −(1 × 2 + 1) = −3, also −3/2; und 2 1/4 ist 9/4
   2. Über Kreuz addieren: (−3 × 4 + 9 × 2) ÷ (2 × 4) = (−12 + 18) ÷ 8 = 6/8
   3. Kürzen: 6/8 lässt sich durch 2 teilen, das ergibt 3/4
   4. Das Ergebnis ist kleiner als eins, die gemischte Form ist also nur der Bruch

   Die Vorzeichenregel bei der Arbeit: Das Minus gehört zur ganzen gemischten Zahl, -1 1/2 wird also zu −3/2 und nicht zu −1/2. Der erste Schritt ist die Stelle, an der das sichtbar wird, und die Multiplikation mit dem Nenner macht es greifbar — der ganze Teil steuert −1 × 2 bei und nicht +1 × 2 mit einem Minus irgendwo sonst. Die Antwort liegt zwischen null und eins, die gemischte Form fällt also auf einen schlichten Bruch zusammen, und die ersten beiden Zeilen stimmen genau überein; die dritte ist die einzige, in der noch die ungekürzte 6/8 steht.

Der Zähler einer der beiden gemischten Zahlen muss null oder größer sein. Ein Minuszeichen dort wäre mehrdeutig — 1 -1/2 könnte eins minus ein Halb heißen oder eins plus ein negatives Halb, und -1 -1/2 hat überhaupt keine Lesart —, die Seite lehnt es deshalb ab und bittet Sie, das Vorzeichen an die ganze Zahl zu setzen, wo es eine einzige Bedeutung hat. Der ganzzahlige Teil darf negativ sein, und so wird eine negative gemischte Zahl geschrieben. Die Nenner müssen positiv sein, da das Vorzeichen am Zähler sitzt. Beide gemischten Zahlen sind in der Größe begrenzt: Die ganzen Teile und die Zähler sind auf 100.000 gedeckelt, und der unechte Zähler, zu dem eine gemischte Zahl wird, ist so gedeckelt, dass die beiden noch ohne Verlassen des exakt darstellbaren Bereichs multipliziert werden können — ein Produkt zweier Zahlen jenseits von etwa vierundneunzig Millionen wäre stillschweigend ungenau, die Seite lehnt die Eingabe deshalb ab. Die Division durch null wird abgelehnt, wobei null heißt, dass die ganze zweite gemischte Zahl null ist, was auch Formen wie 0 0/4 einschließt, die auf den ersten Blick nicht wie eine Null aussehen. Das Ergebnis wird auf keine feste Zahl von Nachkommastellen gedruckt, weil es keine Nachkommastellen gibt: Jede Lesart auf dieser Seite ist exakt, und genau dafür lohnt man sich Brüche überhaupt auf. Was die Seite nicht leistet, ist die Entscheidung, ob eine gemischte Zahl die richtige Art ist, Ihr Ergebnis aufzuschreiben — ein Mathematiker würde sagen, meistens nicht, und dieser Einwand ist berechtigt, auch wenn er nicht zur Arithmetik gehört.

Wie addiere ich gemischte Zahlen?

Wandeln Sie beide in unechte Brüche um, rechnen Sie, und wandeln Sie zurück. 2 1/4 ist 2 × 4 + 1 = 9, also 9/4; 1 1/2 ist 3/2. Die Addition ergibt (9 × 2 + 3 × 4) ÷ (4 × 2) = 30/8, das kürzt sich zu 15/4, und das ist 3 3/4. Die Seite führt alle vier Schritte aus und druckt die letzten drei davon.

Warum wird die Antwort dreimal gedruckt?

Weil es drei verschiedene Dinge sind, die man brauchen kann. Die gemischte Zahl ist die Antwort in der Form, in der die Frage gestellt war. Der unechte Bruch ist die Form, durch die der Rechenweg gehen muss und in der ein Bruch weiterverwendet werden kann. Die dritte Zeile ist das Ergebnis vor jedem Kürzen, also das, wogegen Sie Ihre eigene Rechnung auf dem Papier vergleichen.

Kann ich eine negative gemischte Zahl eingeben?

Ja, indem Sie das Minus in das Feld für die ganze Zahl setzen: -1 1/2 ist minus eineinhalb. Das Zählerfeld nimmt kein Minuszeichen an, und das ist Absicht — 1 -1/2 lässt sich als eins minus ein Halb oder als eins plus ein negatives Halb lesen, und -1 -1/2 ist noch schlechter. Ein Vorzeichen, an der einen Stelle, an der es eine einzige Bedeutung hat.

Rechnet die Seite mit einem gemeinsamen Nenner?

Nein, und sie druckt auch keinen. Addition und Subtraktion multiplizieren die beiden Nenner miteinander und rechnen die Zähler über Kreuz, was dasselbe ergibt wie der kleinste gemeinsame Nenner — im Standardfall 30/8 statt 15/4, dieselbe Zahl. Der gemeinsame Nenner lohnt die Mehrarbeit erst, wenn die Anzeige ihn zeigt, und genau das tut die Seite zum Addieren von Brüchen.

Schreibt man zwei und ein Viertel als 2 1/4?

In einem Rezept oder in der Schule wird es so geschrieben, und es ist mehrdeutig. Mathematiker lesen zwei Zeichen nebeneinander als Multiplikation, 2 1/4 heißt dort also zwei mal ein Viertel, und das ist ein Halb. Der Eintrag zu dem Thema bei MathWorld hält fest, dass sein Autor dafür in einer Klausur über Analysis Punkte verloren hat. Diese Seite druckt die Form trotzdem, weil sie die ist, nach der Sie gefragt haben, und behält 9/4 in der Zeile darunter.

Was geschieht, wenn die Antwort eine ganze Zahl ist?

Der Bruch verschwindet. 2 1/2 geteilt durch 1 1/4 ergibt 20/10, das kürzt sich zu 2, und 2 wird als 2 gedruckt und nicht als 2 0/1 — ein Zähler von null hat nichts über dem Strich zu stehen. Dieselbe Regel gilt in die andere Richtung: Eine Antwort unter eins wird als schlichter Bruch gedruckt, ohne Null davor.

Warum lässt sich nicht durch 0 0/4 teilen?

Weil 0 0/4 null ist. Der Divisor ist die ganze zweite gemischte Zahl, und eine gemischte Zahl ist null, wenn ihr ganzzahliger Teil und ihr Bruch beide null sind — eine Form, die erst nach dem Umwandeln wie eine Null aussieht. Null hat keinen Kehrwert, die Division hat also keine Antwort, und die Seite sagt das, statt etwas zu drucken.

• Mixed Fraction — the definition of a mixed fraction as an improper fraction written as a whole number beside a fraction, the ambiguity of that notation in algebra, and the author's own account of losing marks on a calculus exam for using it — Wolfram MathWorld (United States)
• Improper Fraction — a fraction whose numerator is at least its denominator, which is the form both mixed numbers are converted into before the arithmetic runs — Wolfram MathWorld (United States)
• Reduced Fraction — the lowest terms of a fraction, which is the step between the raw result on the third line and the two readings above it — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — the largest integer dividing two given integers, used to cancel the raw result down to lowest terms — Wolfram MathWorld (United States)
• Unechter Bruch — ein Bruch, dessen Zähler mindestens so groß ist wie sein Nenner, also die Form, in die beide gemischten Zahlen vor der Rechnung gebracht werden — Mathebibel (Deutschland)