Brüche-subtrahieren-Rechner

a/b − c/d = (a × (L ÷ b) − c × (L ÷ d)) ÷ L mit L = kgV(b, d), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der beiden Nenner anschließend die Differenz kürzen

Erster Zähler

Der Zähler des Bruchs, von dem abgezogen wird: 3 in 3/4. Er wird damit multipliziert, wie oft sein eigener Nenner in den gemeinsamen Nenner passt — im Standardfall mit 3, was 3/4 zu 9/12 macht. Er darf negativ sein, und das Vorzeichen wandert mit.

Erster Nenner

Der Nenner des ersten Bruchs: 4 in 3/4. Er muss positiv sein und ist eine der beiden Zahlen, deren kleinstes gemeinsames Vielfaches zum gemeinsamen Nenner wird. Er bleibt so im Panel stehen, wie er eingegeben wurde, damit sich die Umformung daran nachprüfen lässt.

Zweiter Zähler

Der Zähler des Bruchs, der abgezogen wird: 1 in 1/6. Sein Multiplikator unterscheidet sich vom ersten — im Standardfall ist es 2 und ergibt 2/12 —, und genau diese Unsymmetrie zeigen die beiden umgerechneten Brüche.

Zweiter Nenner

Der Nenner des zweiten Bruchs: 6 in 1/6. Zusammen mit dem ersten Nenner legt er den gemeinsamen Nenner auf 12 fest. Er muss aus demselben Grund positiv sein wie der erste.

Gemeinsamer Nenner (L)

Das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner: 12 für 4 und 6, und 77 für das teilerfremde Paar 7 und 11, wo es tatsächlich das schlichte Produkt ist. Berechnet wird es als ein Nenner geteilt durch den größten gemeinsamen Teiler der beiden, multipliziert mit dem anderen — dieselbe Zahl auf einem Weg, der nicht überläuft. Es steht in einer eigenen Zeile, weil die ganze Methode von dieser Zahl abhängt und weil ein unnötig großer gemeinsamer Nenner der häufigste Rechenfehler bei dieser Operation ist.

Umgerechnete Brüche

Die beiden Brüche, nachdem beide auf den gemeinsamen Nenner umgeschrieben wurden: 9/12 und 2/12 im Standardfall. Sie stehen so da, wie sie umgerechnet wurden, und nicht gekürzt, denn ein Kürzen würde den Multiplikator verbergen, der die Arbeit gemacht hat. Die Subtraktion läuft zwischen diesen beiden Zählern.

Differenz

Was übrig bleibt, nachdem die beiden umgerechneten Zähler voneinander abgezogen wurden: 9 − 2 = 7 über 12. Sie wird in gekürzter Form ausgegeben, kann sich also von dem unterscheiden, was die Subtraktion der umgerechneten Zähler ergeben hat — 5/6 minus 1/3 lässt 3/6 übrig, ausgegeben wird 1/2 —, und sie fällt auf eine blanke 0 zusammen, wenn die beiden Brüche gleich sind.

Der erste Anwendungsfall ist die Schulaufgabe selbst, die gestellt wird, sobald die Nenner verschieden sind, und das Panel ist um das Verfahren aus dem Lehrbuch herum gebaut: gemeinsamen Nenner finden, umrechnen, subtrahieren, kürzen. Der zweite ist die Kontrolle einer Handrechnung, und dort sind die beiden umgerechneten Brüche der nützliche Teil — sind Ihre nicht diese, unterscheidet sich alles danach ebenfalls. Der dritte ist ein Nennerpaar mit gemeinsamem Teiler wie 4 und 6, bei dem der gemeinsame Nenner kleiner ist als das Produkt, und das Panel zeigt die Ersparnis. Der vierte ist ein teilerfremdes Nennerpaar wie 7 und 11, der andere Extremfall: Es gibt nichts Gemeinsames, der gemeinsame Nenner ist das Produkt, und die Antwort kommt meist schon gekürzt an. Der fünfte sind zwei gleiche Brüche, deren Differenz null ist und die das Panel als blanke 0 ausgibt — die einzige Anzeige auf dieser Seite, die kein Bruch ist. Addiert, multipliziert oder dividiert wird hier nicht, und gemischte Zahlen nimmt die Seite nicht entgegen; dafür gibt es drei andere Seiten.

1. 3/4 − 1/6

   1. Gemeinsamen Nenner bestimmen: das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6 ist 12 und nicht 24, weil beide die 12 teilen und 4 × 6 ihren gemeinsamen Teiler 2 doppelt gezählt hat
   2. Ersten Bruch umrechnen: 12 ÷ 4 = 3, also wird 3/4 zu (3 × 3)/(4 × 3) = 9/12
   3. Zweiten Bruch umrechnen: 12 ÷ 6 = 2, also wird 1/6 zu (1 × 2)/(6 × 2) = 2/12
   4. Die Zähler über dem gemeinsamen Nenner subtrahieren: 9 − 2 = 7, das ergibt 7/12
   5. 7 und 12 haben keinen gemeinsamen Teiler, 7/12 steht also bereits in gekürzter Form

   Der Standardfall und der Fall, der zeigt, warum der gemeinsame Nenner nicht einfach das Produkt ist: 4 und 6 teilen beide die 12, und 12 ist die kleinste Zahl, die beide teilen, Zwölftel reichen also aus, Vierundzwanzigstel wären die doppelte Arbeit gewesen. Die beiden umgerechneten Brüche sind der Beleg — 9/12 und 2/12 haben denselben Nenner, und genau das macht die Subtraktion zulässig. Beachten Sie, dass die umgerechneten Zahlen so stehen bleiben, wie sie umgerechnet wurden, und nicht gekürzt sind: 2/12 ließe sich als 1/6 schreiben, doch dann verschwände der Multiplikator, der es erzeugt hat, und dieser Multiplikator ist der gezeigte Schritt.

2. 5/6 − 1/3

   1. Gemeinsamen Nenner bestimmen: 3 teilt die 6, das kleinste gemeinsame Vielfache ist also 6
   2. Der erste Bruch muss nicht umgerechnet werden: 6 ÷ 6 = 1, er bleibt 5/6
   3. Zweiten Bruch umrechnen: 6 ÷ 3 = 2, also wird 1/3 zu 2/6
   4. Subtrahieren: 5 − 2 = 3 über 6, das ergibt 3/6
   5. Kürzen: der größte gemeinsame Teiler von 3 und 6 ist 3, also ist 3/6 = 1/2

   Der Fall, der zeigt, dass ein gemeinsamer Nenner die Arbeit nicht beendet. Die Differenz der umgerechneten Zähler ist 3/6, und 3/6 ist nicht die Antwort — die Antwort ist 1/2, weil 3 und 6 noch einen gemeinsamen Teiler haben. Ein Verfahren, das beim gemeinsamen Nenner stehen bleibt, gibt hier 3/6 aus und ist damit falsch, ohne dass die Seite das sehen könnte; deshalb steht diese Zeile sowohl in der Tabelle als auch unter den durchgerechneten Beispielen, statt dem Zufall überlassen zu bleiben. Beachten Sie außerdem, dass einer der beiden umgerechneten Brüche unverändert bleibt: Wenn ein Nenner den anderen teilt, muss nur ein Bruch umgeschrieben werden, und der Bruch, der so zurückkommt, wie er hineinging, ist die ehrliche Aufzeichnung davon.

3. 1/7 − 1/11

   1. Gemeinsamen Nenner bestimmen: 7 und 11 haben keinen gemeinsamen Teiler, das kleinste gemeinsame Vielfache ist also ihr Produkt 77
   2. Ersten Bruch umrechnen: 77 ÷ 7 = 11, also wird 1/7 zu 11/77
   3. Zweiten Bruch umrechnen: 77 ÷ 11 = 7, also wird 1/11 zu 7/77
   4. Subtrahieren: 11 − 7 = 4 über 77, das ergibt 4/77
   5. 4, 7 und 11 haben keinen gemeinsamen Teiler, 4/77 steht also bereits in gekürzter Form

   Das andere Extrem beim gemeinsamen Nenner: zwei Nenner ohne jede Gemeinsamkeit, das kleinste gemeinsame Vielfache ist also wirklich das Produkt, und beide Brüche müssen umgeschrieben werden. Wer das kleinste gemeinsame Vielfache überspringt und die Nenner immer multipliziert, bekommt hier dasselbe Ergebnis — und der Grund, es trotzdem zu zeigen, ist das vorige Beispiel mit 4 und 6: genau dort liegt diese Abkürzung daneben. Beachten Sie, dass die Antwort 4/77 lautet und nicht etwa 4/77 gekürzt: Teilerfremde Nenner garantieren kein gekürztes Ergebnis, sie machen es nur wahrscheinlich, und gekürzt wird das Ergebnis trotzdem in jedem Fall.

4. 5/8 − 3/4

   1. Gemeinsamen Nenner bestimmen: 4 teilt die 8, das kleinste gemeinsame Vielfache ist also 8
   2. Der erste Bruch bleibt: 8 ÷ 8 = 1, das ergibt 5/8
   3. Zweiten Bruch umrechnen: 8 ÷ 4 = 2, also wird 3/4 zu 6/8
   4. Subtrahieren: 5 − 6 = -1 über 8, das ergibt -1/8

   Beide Brüche sind positiv, das Ergebnis ist es nicht: Einen größeren Bruch von einem kleineren abzuziehen führt über die Null hinaus, und das Panel sagt das mit einem Minuszeichen, statt die Eingabe abzulehnen. Der gemeinsame Nenner ist 8, und die beiden umgerechneten Brüche sind 5/8 und 6/8 — damit ist der Ausgang schon vor der Subtraktion offensichtlich, denn der zweite Zähler ist der größere. Das Vorzeichen sitzt im Zähler und nirgends sonst: Die Antwort lautet -1/8 und nicht 1/-8, und der Nenner bleibt in jeder Zeile des Panels positiv.

5. 1/2 − 1/2

   1. Die Nenner sind gleich, das kleinste gemeinsame Vielfache ist also dieser Nenner, 2
   2. Keiner der beiden Brüche muss umgerechnet werden: beide stehen bereits über der 2
   3. Subtrahieren: 1 − 1 = 0 über 2, das ergibt 0/2
   4. Kürzen: der größte gemeinsame Teiler von 0 und 2 ist 2, also wird 0/2 zu 0/1, und das wird als blanke 0 geschrieben

   Der Fall, in dem die Antwort überhaupt kein Bruch mehr ist. Gleiche Brüche haben die Differenz null, und null kürzt sich zu 0/1, was die Bruchschreibweise ohne Nenner notiert — die Hauptanzeige ist also eine blanke 0, während die Zeile mit dem gemeinsamen Nenner weiterhin 2 sagt und beide umgerechneten Brüche weiterhin 1/2. Genau das ist der Punkt: Die beiden Eingaben waren echte Brüche, und das Verfahren ist wirklich durchgelaufen; nur das Ergebnis ist zusammengefallen. Es ist zugleich die einzige Stelle, an der das Panel anders aussieht als dieselbe Rechnung auf der Additionsseite, wo eine Summe erst bei einer ganzen Zahl zusammenfällt.

Beide Nenner müssen positiv sein, denn ein Bruch trägt sein Vorzeichen im Zähler — und die umgerechneten Brüche hängen davon ab, weil jeder Zähler mit einer ganzen Zahl vervielfacht wird und das Vorzeichen an einer Stelle bleiben muss. Die Zähler dürfen negativ sein, und die Differenz darf negativ werden, auch wenn beide Eingaben positiv sind: 5/8 − 3/4 ist -1/8, eine richtige Antwort und kein Fehler. Die Zahlen sind in ihrer Größe begrenzt. Jeder Nenner ist auf 100000 gedeckelt und jeder Zähler auf etwa 4,5 × 10¹⁰, das ist der größte Wert, für den die beiden umgerechneten Zähler noch auf exakt darstellbare ganze Zahlen fallen. Darüber würde die Subtraktion still ungenau, und die Seite weist die Eingabe lieber ab, als eine Zahl auszugeben, die richtig aussieht. In allen vier Feldern werden nur ganze Zahlen angenommen — ein Dezimalzähler wird zurückgewiesen, und die Seite verweist auf die Seite Dezimalzahl in Bruch. Null im Zähler ist in Ordnung: Sie wird wie alles andere zu 0 über dem gemeinsamen Nenner umgerechnet. Die Seite subtrahiert zwei Brüche und sonst nichts: Sie addiert, multipliziert und dividiert nicht, und sie nimmt keine gemischte Zahl in der Schreibweise ganze Zahl neben Bruch entgegen, die erst in einen unechten Bruch umgewandelt werden muss — dafür ist die Seite mit den gemischten Zahlen da. Die Zwischenanzeigen hier unterscheiden sich bewusst von denen des Bruch-Rechners und der Seite für gemischte Zahlen: Jene beiden multiplizieren die Nenner kreuzweise und geben das Produkt vor dem Kürzen aus, diese Seite sucht das kleinste gemeinsame Vielfache und gibt die beiden umgerechneten Brüche aus. Dieselbe Subtraktion zeigt hier also 9/12 und 2/12 und dort ein anderes Zwischenpaar, und die Antworten stimmen überein. Schließlich wird immer die Antwort gekürzt, die umgerechneten Brüche aber nicht — ein umgerechneter Bruch kann als 6/8 erscheinen, und das ist die Aufzeichnung der Umrechnung und kein vergessenes Kürzen.

Wie subtrahiert man Brüche mit verschiedenen Nennern?

Beide Brüche werden auf einen gemeinsamen Nenner umgeschrieben, danach werden die Zähler subtrahiert und dieser Nenner beibehalten. 3/4 minus 1/6 wird zu 9/12 minus 2/12, das ist 7/12. Das Produkt der beiden Nenner ergibt immer einen brauchbaren gemeinsamen Nenner, das kleinste gemeinsame Vielfache einen kleineren.

Warum ist der gemeinsame Nenner bei 3/4 und 1/6 die 12 und nicht die 24?

Weil 12 die kleinste Zahl ist, die sowohl 4 als auch 6 teilen. Wer 4 mit 6 multipliziert, zählt den gemeinsamen Teiler 2 doppelt und verdoppelt damit jede Zahl im Rechenweg. Vierundzwanzigstel führen zur selben Antwort mit doppelter Rechenarbeit — das Panel gibt die kleinere Zahl aus, damit die Multiplikatoren klein bleiben.

Muss nach dem gemeinsamen Nenner noch gekürzt werden?

Ja. Ein gemeinsamer Nenner ermöglicht die Subtraktion, er kürzt aber nicht. 5/6 minus 1/3 ist 5/6 minus 2/6, das sind 3/6, und 3/6 ist 1/2. Die Seite kürzt die Differenz und lässt die beiden umgerechneten Brüche so stehen, wie sie umgerechnet wurden; beide Tatsachen bleiben damit sichtbar.

Darf das Ergebnis negativ sein?

Ja. 5/8 minus 3/4 ist 5/8 minus 6/8, das ergibt -1/8: Einen größeren Bruch von einem kleineren abzuziehen führt unter die Null, und das ist eine echte Antwort und kein Fehler. Das Vorzeichen sitzt im Zähler, die Antwort wird also als -1/8 geschrieben und nie als Bruch mit negativem Nenner.

Was passiert, wenn die beiden Brüche gleich sind?

Die Differenz ist null. 1/2 minus 1/2 wird zu 1/2 minus 1/2 umgerechnet, die Zähler ergeben 0, und 0 über 2 kürzt sich zu 0 über 1 — geschrieben als blanke 0 ohne Nenner. Die Zeile mit dem gemeinsamen Nenner liest weiterhin 2, denn das Verfahren ist wirklich durchgelaufen.

Kann ich hier gemischte Zahlen subtrahieren?

Nein. Diese Seite nimmt vier ganze Zahlen entgegen, die zwei Brüche ergeben; eine gemischte Zahl wie 4 1/2 muss also erst in einen unechten Bruch verwandelt werden — 9/2 —, bevor sie eingetippt werden kann, und genau das erledigt die Seite Gemischte Zahl in unechten Bruch. Addieren, Multiplizieren und Dividieren sind ebenfalls je eine eigene Seite.

• Fraction — der Quotient zweier ganzer Zahlen in der Schreibweise mit Zähler und Nenner, samt der Arithmetik des Subtrahierens zweier solcher Brüche — Wolfram MathWorld (United States)
• Least Common Multiple — die kleinste positive ganze Zahl, die zwei gegebene Zahlen teilt; auf sie werden hier beide Brüche umgerechnet — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — die größte ganze Zahl, die zwei gegebene Zahlen teilt; sie liefert hier sowohl das kleinste gemeinsame Vielfache als auch den Kürzungsfaktor der Differenz — Wolfram MathWorld (United States)
• Brüche subtrahieren — Mathebibel: ungleichnamige Brüche gleichnamig machen, Zähler subtrahieren, Ergebnis kürzen, in der Schreibweise der deutschen Schulmathematik — Mathebibel (Deutschland)
• Kleinstes gemeinsames Vielfaches — Mathebibel: warum das kgV kleiner ist als das Produkt der Nenner, sobald diese einen gemeinsamen Teiler haben — Mathebibel (Deutschland)