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CalcMax

Prozentfehler-Rechner

Ergebnis

0,6116 %

Prozentualer Fehler (%)

Relativer Fehler (als Dezimalzahl)
0,006116
Absoluter Fehler
0,060000

Ein Prozentfehler-Rechner vergleicht einen Messwert mit einem Sollwert und gibt an, wie weit die Messung danebenliegt. Aus demselben Zahlenpaar kommen drei Ausgaben zurück: der absolute Fehler, also die schlichte Differenz in der Einheit, die Sie eingetippt haben; der relative Fehler, also diese Differenz geteilt durch den Sollwert, was die Form ist, mit der die Arithmetik weiterarbeitet; und der prozentuale Fehler, also dasselbe Verhältnis mal hundert. Geben Sie 9,75 als Messwert und 9,81 als Sollwert ein, liefert die Anzeige 0,06, 0,006116 und 0,6116 Prozent. Die Formel des prozentualen Fehlers ist die ganze Seite: die Differenz der beiden Zahlen, geteilt durch den Sollwert, mal hundert. Zwei Einzelheiten trennen einen richtigen prozentualen Fehler von einem plausiblen falschen. Die erste ist, welche Zahl in den Nenner gehört. Der Sollwert ist der Bezug, also ist er es, durch den geteilt wird — gefragt wird, wie groß der Fehler im Verhältnis zur Wahrheit ist, nicht im Verhältnis zur Ablesung. Vertauscht man die beiden, ergibt eine Messung von 50 gegen einen Sollwert von 100 nicht 50, sondern 100 Prozent: ein Fehler um den Faktor zwei, der ohne jede Warnung ankommt, weil beide Zahlen vernünftig aussehen. Die zweite Einzelheit ist, dass alle drei Ausgaben ohne Vorzeichen gemeldet werden. Ein Fehler ist ein Abstand vom Bezug, ein Überschreiten um fünf Prozent und ein Zurückbleiben um fünf Prozent ergeben also denselben Wert: Ein Messwert von 1,05 gegen einen Sollwert von 1 und ein Messwert von 0,95 gegen einen Sollwert von 1 liefern beide einen absoluten Fehler von 0,05 und einen prozentualen Fehler von 5. In welche Richtung die Messung ging, steht in den Zahlen, die Sie eingetippt haben, und die Seite lässt es dort, statt eine Vorzeichenregel zu erfinden, über die sich die Hälfte ihrer Leser streiten würde. Die Seite nimmt negative Werte auf beiden Seiten an, denn Temperaturen unter null, Tiefen bezogen auf einen Bezugshorizont und vorzeichenbehaftete Salden sind alles echte Messungen, und sie meldet den Fehler zwischen einem Messwert von minus 50 und einem Sollwert von minus 100 als 50 Prozent — derselbe relative Abstand wie 50 gegen 100. Was sie nicht annimmt, ist ein Sollwert von genau null. Das ist keine Geschmacksfrage: Die Division durch den Bezug ist es, die eine Differenz in einen relativen Fehler verwandelt, und ein Bezug von null nimmt den Maßstab vollständig weg; die Seite meldet deshalb einen Fehler, statt unendlich zurückzugeben. Ein Messwert von null ist dagegen in Ordnung und häufig — nichts nachgewiesen, wo etwas zu erwarten war, ist ein Fehler von hundert Prozent —, und das Versagen ist einseitig: Weil der Nenner der Sollwert ist, bricht der Fall zusammen, in dem der Sollwert null ist, und nicht der, in dem die Messung null ist.

Ein Bezugswert, sechs Messungen und die Symmetrie eines vorzeichenlosen Fehlers

Gemessener WertAbsoluter FehlerProzentualer Fehler (%)
1.050.055
1.020.022
1.010.011
0.990.011
0.980.022
0.950.055

Der Sollwert ist in jeder Zeile 1, der absolute und der prozentuale Fehler sind also dieselbe Zahl, und die Tabelle liest sich als eine Reihe von Abständen zu einem einzigen Bezug. Das Augenmerk gilt dem zweiten und dem fünften Paar: Eine Messung von 1,02 und eine Messung von 0,98 liegen gleich weit in entgegengesetzte Richtungen daneben und melden beide einen absoluten Fehler von 0,02 und einen prozentualen Fehler von 2. Diese Symmetrie ist es, was es heißt, dass diese Ausgaben vorzeichenlos sind — eine Seite, die das Vorzeichen mitführte, druckte hier 2 und −2, und eine Seite, die durch den Messwert statt durch den Bezug teilte, druckte für dieselben beiden Zeilen 1,96 und 2,04, von denen keine 2 ist. Der Bezugswert 1 wurde gewählt, damit die Rechnung auf einen Blick sichtbar ist; die Beziehung, die er zeigt, gilt für jeden Bezugswert ungleich null. Der Dezimaltrenner ist in dieser Tabelle der Punkt (1.05 statt 1,05), weil die Zellwerte unverändert durchgereicht werden und nicht durch eine Textvorlage laufen und Tausender nicht gruppiert sind (1000 statt 1.000).

Formel

Absoluter Fehler = |Messwert − Sollwert| Relativer Fehler = absoluter Fehler ÷ |Sollwert| Prozentualer Fehler = relativer Fehler × 100

Messwert
Die Ablesung, das Ergebnis des Versuchs, die Zahl, die herausgekommen ist — was auch immer verglichen wird. Er darf negativ sein und darf null sein, und null ist die Ablesung, die aussagt, dass nichts nachgewiesen wurde, wo etwas zu erwarten war
Sollwert
Der Bezug, gegen den die Messung beurteilt wird: eine veröffentlichte Konstante, eine Norm, ein wahrer Wert oder eine zweite Messung, die als Wahrheit behandelt wird. Er ist der Nenner der Formel des prozentualen Fehlers, und deshalb darf er nicht null sein
Absoluter Fehler
Messwert minus Sollwert, in derselben Einheit wie die Eingaben, ohne Vorzeichen gemeldet. Er sagt, wie weit die Ablesung danebenlag, und nichts darüber, wie viel das ist — 0,06 ist wenig für eine Masse in Kilogramm und enorm für eine Masse in Tonnen
Relativer Fehler
Der absolute Fehler geteilt durch den Sollwert, also die maßstabsfreie Fassung derselben Tatsache: 0,06 gegen 9,81 ist 0,006116, etwa sechs Teile von tausend, ganz gleich, welche Einheit es war
Prozentualer Fehler
Der relative Fehler mal hundert, und das ist die Zahl, nach der die meisten Versuchsprotokolle und die meisten Suchanfragen fragen. Er ist dieselbe Größe wie der relative Fehler und keine zweite Messung von irgendetwas

Die drei Formen beantworten drei verschiedene Fragen zu einem einzigen Vergleich. Der prozentuale Fehler ist die Schlagzeile und das, was die meisten wollen: Ein Ergebnis von 4,9 gegen einen Sollwert von 5 liegt 2 Prozent daneben, und das ist ein Satz, mit dem jeder etwas anfangen kann. Er gehört in ein Versuchsprotokoll, ein Kalibrierblatt, eine Toleranzangabe. Der relative Fehler ist dieselbe Zahl vor der Umrechnung, und er ist die Form, die in die weitere Rechnung eingeht — Fehlerfortpflanzung, Unsicherheitsbilanzen und jede Formel, die zwei Messungen kombiniert, multiplizieren die relativen Fehler und nicht die Prozentwerte, ein Umweg über den Prozentwert und zurück ist also überflüssig. Der absolute Fehler ist der, der die Einheit trägt, und der, der weg gelassen wird: 0,06 neben einem Ziel von 9,81 sagt, dass die Messung danebenlag, aber nur der absolute Fehler sagt, dass die Abweichung 0,06 Gramm betrug und nicht 0,06 Kilogramm. Drei Fälle decken die meisten Verwendungen ab. Eine einzelne Messung gegen eine Norm prüfen, wobei der Sollwert veröffentlicht ist und die Frage lautet, ob die Ablesung nahe genug dran ist. Zwei Messgeräte vergleichen, wobei für beide derselbe Sollwert verwendet wird und der kleinere prozentuale Fehler gewinnt. Und ein Modell gegen die Wirklichkeit stellen, wobei der Sollwert eine Beobachtung ist und der Fehler sagt, wie weit das Modell abgedriftet ist — das Vorzeichen dieser Drift steckt in den beiden Eingaben, obwohl die Ausgaben es nicht zeigen, lesen Sie also die Zahlen und nicht die Anzeige, wenn die Richtung zählt.

Rechenbeispiele

  1. Eine Messung von 9,75 gegen einen Sollwert von 9,81

    1. Absoluter Fehler: |9,75 − 9,81| = 0,06
    2. Relativer Fehler: 0,06 ÷ 9,81 = 0,006116
    3. Prozentualer Fehler: 0,006116 × 100 = 0,6116

    Der Standardfall und der, der zeigt, warum drei Ausgaben es wert sind, ausgegeben zu werden. Der absolute Fehler ist 0,06 — dieselbe Zahl, die eine Ablesung von 9,81 gegen 9,75 ergäbe —, während der prozentuale Fehler 0,6116 beträgt und damit bequem innerhalb einer Toleranz von einem Prozent liegt. Ein Fehler, der in absoluten Zahlen klein klingt, kann im Verhältnis zur Größe groß sein, und das Umgekehrte ist genauso häufig: 0,06 ist nichts gegen eine Masse von 9,81 und alles gegen eine Masse von 0,07.

  2. 4,9 gegen einen Sollwert von 5

    1. Absoluter Fehler: |4,9 − 5| = 0,1
    2. Relativer Fehler: 0,1 ÷ 5 = 0,02
    3. Prozentualer Fehler: 0,02 × 100 = 2

    Ein runder Sollwert und eine Abweichung von zwei Prozent, die Form, die die meisten Toleranzprüfungen haben. Beachten Sie, dass die Rechnung nie wissen musste, ob der Messwert zu hoch oder zu niedrig lag: 5,1 gegen 5 ergibt dieselben drei Ausgaben, weil der Fehler ein Abstand vom Bezug ist und die Seite ihn als solchen meldet.

  3. 50 gegen einen Sollwert von 100 — die Nennerprobe

    1. Absoluter Fehler: |50 − 100| = 50
    2. Relativer Fehler: 50 ÷ 100 = 0,5
    3. Prozentualer Fehler: 0,5 × 100 = 50

    Dieser Fall nagelt die Vereinbarung fest. Die Division durch den Sollwert ergibt 50 Prozent; eine Division durch den Messwert ergäbe stattdessen 100 Prozent, und beide Zahlen begegnen einem in der Literatur, weil manche Quellen den prozentualen Fehler gegen den Versuchswert definieren. Hier teilt der Bezug. Wenn Ihr Kurs oder Ihr Labor es andersherum definiert, ist der absolute Fehler davon unberührt und die beiden anderen Ausgaben sind der Kehrwert dessen, was Sie brauchen.

  4. Zwei negative Zahlen: −50 gegen einen Sollwert von −100

    1. Absoluter Fehler: |−50 − (−100)| = 50
    2. Relativer Fehler: 50 ÷ 100 = 0,5
    3. Prozentualer Fehler: 0,5 × 100 = 50

    Beide Eingaben negativ, und dieselben 50 Prozent wie im positiven Fall — gemessen wird der Abstand zwischen den beiden Zahlen. Das Subtrahieren einer negativen Zahl ist die Stelle, an der eine Handrechnung am häufigsten schiefgeht: −50 − (−100) ist 50 und nicht −150.

Einschränkungen

Die Seite vergleicht zwei Zahlen und sonst nichts. Sie weiß nicht, welche von beiden maßgeblich ist, ein in falscher Reihenfolge eingetipptes Paar erzeugt also einen falschen Nenner und eine falsche Antwort, ohne dass etwas beanstandet wird — der Sollwert ist das entsprechend beschriftete Feld, und die Rechnung vertraut der Beschriftung. Sie kennt die Einheiten nicht und kann deshalb nicht sagen, ob ein absoluter Fehler von 0,06 hervorragend oder nutzlos ist; dieses Urteil braucht die Größe, und deshalb ist der prozentuale Fehler meist die Zahl, die man zitiert. Ihre Ausgaben tragen mit Absicht kein Vorzeichen: Die Seite meldet die Größe des Fehlers und nicht seine Richtung, sie taugt also nicht zu der Aussage, ob eine Messung zu hoch oder zu niedrig lag — dafür lesen Sie die beiden Eingaben. Sie verwendet einen einzigen Bezugswert und setzt voraus, dass dieser Bezug exakt ist; das ist die Annahme, mit der die meisten Versuchsprotokolle gut leben, und genau die, mit der eine echte Unsicherheitsbilanz nicht leben kann: Hat der Sollwert seine eigene Unsicherheit, teilt der ehrliche Vergleich durch eine kombinierte Unsicherheit statt durch den Wert selbst. Sie hat einen harten Fehlerfall, den Sollwert null, und einen weichen Rand, den Messwert null, der ein legitimer Fehler von hundert Prozent ist und kein Programmfehler. Der Vereinbarung folgend, dass der Bezug teilt, meldet die Seite 50 Prozent für 50 gegen 100; teilt Ihr Lehrbuch stattdessen durch den Messwert, unterscheiden sich die beiden Zahlen um den Faktor zwei, und der absolute Fehler ist die einzige Ausgabe, die in beiden Fällen gleich bleibt. Und die Ausgaben sind gerundet — sechs Nachkommastellen für den relativen und den absoluten Fehler, vier für den Prozentwert —, ein Vergleich, der um weniger als 0,0001 Prozent danebenliegt, wird also als null ausgegeben.

Häufige Fragen

Wie lautet die Formel für den prozentualen Fehler?
Messwert minus Sollwert, davon der Betrag, geteilt durch den Sollwert, mal hundert. Für eine Messung von 4,9 gegen einen Sollwert von 5 ist die Differenz 0,1, die Division durch 5 ergibt 0,02, und mal hundert ergibt 2 Prozent. Der Betrag wird genommen, damit der Fehler ein Abstand ist: Ein Ergebnis, das darüber liegt, und eines, das um denselben Betrag darunter liegt, ergeben denselben prozentualen Fehler. Die Formel lässt sich damit für jedes Paar berechnen.
Teile ich durch den Sollwert oder durch den Messwert?
Durch den Sollwert — der Bezug ist das, wogegen der Fehler gemessen wird, und das ist die Vereinbarung, der diese Seite folgt und die auch die Standarddefinitionen des relativen Fehlers verwenden. Manche Kurse und manche Praktikumsanleitungen teilen stattdessen durch den Versuchswert, was für eine Messung von 50 gegen einen Sollwert von 100 dann 100 Prozent statt 50 ergibt. Die beiden Vereinbarungen unterscheiden sich in diesem Fall um den Faktor zwei, es lohnt sich also zu prüfen, welche Ihr Leser erwartet; der absolute Fehler ist in beiden Fällen derselbe.
Kann der prozentuale Fehler negativ sein?
Hier nicht. Die Seite meldet die Größe des Fehlers und nicht seine Richtung, weil ein Fehler ein Abstand vom Bezug ist. Ein Messwert von 1,05 gegen einen Sollwert von 1 und ein Messwert von 0,95 gegen einen Sollwert von 1 ergeben beide 5 Prozent. Ob die Messung zu hoch oder zu niedrig lag, ist an den beiden Zahlen sichtbar, die Sie eingegeben haben, und die Seite überlässt Ihnen diese Lesart, statt eine Vorzeichenregel anzuwenden, die von Fach zu Fach verschieden ist.
Was ist der Unterschied zwischen absolutem, relativem und prozentualem Fehler?
Es ist eine Größe in drei Schreibweisen. Der absolute Fehler ist die schlichte Differenz in der Einheit der Messung — etwa 0,06 Gramm —, und er ist der einzige der drei, der eine Einheit trägt. Der relative Fehler ist diese Differenz geteilt durch den Sollwert, was ihn maßstabsfrei macht: 0,006116, ob die Messung nun in Gramm, Kilogramm oder Tonnen erfolgte. Der prozentuale Fehler ist der relative Fehler mal hundert, also 0,6116 Prozent. Fehlerfortpflanzung und Unsicherheitsbilanzen nutzen die relative Form; Berichte und Toleranzprüfungen zitieren meist die Prozentform.
Was bedeutet ein prozentualer Fehler von null?
Dass Messwert und Sollwert dieselbe Zahl sind, alle drei Ausgaben also null sind. Das ist ein korrektes Ergebnis und kein Fehlerzustand. In der Praxis ist eine echte Null bei realen Messgeräten selten, und ein Ergebnis von null heißt meist, dass in beide Felder dieselbe Zahl eingetragen wurde oder dass die Messung auf die Genauigkeit des Sollwerts gerundet wurde, bevor sie notiert wurde.
Was ist, wenn der Sollwert null ist?
Die Seite meldet einen Fehler, weil der Sollwert der Nenner ist und eine Division durch null keine Antwort hat. Das ist keine willkürliche Einschränkung: Ein Bezug von null nimmt den Maßstab weg, gegen den der Fehler gemessen wird, es gibt also keinen relativen Fehler zu melden — ein absoluter Fehler von 0,06 gegen einen Bezug von null ist 0,06, und welchen Anteil an nichts das darstellt, ist keine Frage mit einer Antwort. Ein Messwert von null ist ein anderer Fall und völlig zulässig: Er ist ein Fehler von hundert Prozent gegen einen Bezug ungleich null.

Quellen

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