Perzentil-Rechner

Position = (n − 1) × p (p ist das Perzentil als Dezimalzahl); der Wert an dieser Position wird aus den beiden benachbarten Werten linear interpoliert

xᵢ

Ein Wert des Datensatzes. Perzentile arbeiten mit der Position und nicht mit der Größe, deshalb verschiebt ein extremer Messwert nur die Nachbarn ein wenig und wird nicht wie beim Mittelwert mitgezogen

n

Die Anzahl der Werte, auf dieser Seite höchstens 200. Sie bestimmt die Obergrenze der Position: Die Position des 100. Perzentils ist n − 1, also der letzte Wert der sortierten Reihe

p

Das gewünschte Perzentil als Dezimalzahl: 90 wird zu 0,9. Es darf jede Zahl zwischen 0 und 100 sein, auch mit Nachkommastellen — das 97,5. Perzentil ist so zulässig wie das 50

Position

Die Position in der sortierten Reihe, ab 0 gezählt: (n − 1) × p. Das 90. Perzentil von acht Werten liegt bei Position 6,3, also drei Zehntel des Weges vom siebten zum achten Wert

Y₍ₖ₎ und Y₍ₖ₊₁₎

Die beiden Beobachtungen, zwischen denen die Position liegt. Sie stehen als die beiden Zahlen neben dem Ergebnis, und die Antwort liegt immer zwischen ihnen — ist die Position eine ganze Zahl, ist die Antwort eine von beiden

Ein Perzentil ist ein Quantil, das die Daten in zwei Teile schneidet, und es ist dann das richtige Werkzeug, wenn nach dem Rang und nicht nach der Größe gefragt wird: wo ein Messwert im Vergleich zur ganzen Reihe steht. Wachstumskurven, Prüfungsergebnisse, Latenzbudgets für Schnittstellen, Einkommensgruppen und klinische Referenzbereiche arbeiten mit Perzentilen, und der Median ist nichts anderes als das 50. Perzentil. Sie sind außerdem das passende Mittel für Schwellen, die begründet sein müssen — „Alarm, wenn der Datenverkehr das 95. Perzentil überschreitet“ ist eine Regel, die sich nachrechnen und überprüfen lässt. Zwei Dinge sind auseinanderzuhalten. Erstens ist ein Perzentil keine Prozentangabe: Im 90. Perzentil zu liegen heißt nicht, 90% richtig beantwortet zu haben, sondern dass 90% der Werte darunter oder gleichauf liegen. Zweitens sind Perzentilrang und Perzentil Gegenrichtungen — diese Seite beantwortet „welcher Wert steht am p-ten Perzentil“ und nicht „an welchem Perzentil steht dieser Wert“; nur wenn der Wert selbst ein Datenpunkt ist, sind beide Umkehrungen voneinander. Verwendet wird hier die Konvention Hyndman–Fan type 7, dieselbe wie die Voreinstellung type = 7 von R und method = „linear“ von NumPy. Es gibt mehr als eine Konvention: Das OpenStax-Lehrbuch verwendet i = k/100 × (n + 1) und schreibt selbst, dass eine kleine Recherche mehrere Formeln zutage fördert. Derselbe Datensatz ergibt in verschiedener Software deshalb leicht abweichende Perzentile, und keine der beiden Zahlen ist falsch.

1. Das 90. Perzentil von acht Werten: 7,6

   1. Sortiert: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — acht Werte, also n − 1 = 7
   2. Position: 7 × 0,90 = 6,3, gezählt ab 0
   3. Die Position 6,3 liegt zwischen dem Wert 7 an Position 6 und dem Wert 9 an Position 7
   4. Drei Zehntel des Weges von 7 nach 9: 7 + 0,3 × (9 − 7) = 7,6

   Die 7,6 ist keiner der acht Werte, und bei Perzentilen ist das der Normalfall: Sie liegt an einer Stelle der Messskala und ist kein Mitglied des Datensatzes. Die beiden Nachbarn stehen neben der Antwort, weil die Interpolation der Schritt ist, bei dem am leichtesten etwas schiefgeht — sieht man die 7 und die 9, erkennt jeder sofort, dass 7,6 drei Zehntel des Weges sind, und genau das sagt die Position 6,3 aus.

2. Die Position trifft genau einen Wert: das 25. Perzentil von 1 bis 5

   1. Sortiert: 1, 2, 3, 4, 5 — fünf Werte, also n − 1 = 4
   2. Position: 4 × 0,25 = 1, eine ganze Zahl
   3. An Position 1 steht der Wert 2, es gibt keinen zu interpolierenden Anteil
   4. Beide Nachbarn sind die 2, die Antwort ist also 2

   Ist die Position eine ganze Zahl, fallen die beiden Nachbarn zusammen und die beiden Zeilen zeigen dieselbe Zahl — das Panel sagt damit, dass keine Interpolation stattgefunden hat. In diesem Fall sind sich alle Konventionen einig: Jede der überlieferten Formeln liefert hier die 2, die Unterschiede stecken alle zwischen den Datenpunkten.

3. Nur ein einziger Wert: jedes Perzentil ist dieser Wert

   1. Sortiert: 42 — ein Wert, also n − 1 = 0
   2. Position: 0 × 0,90 = 0
   3. Der einzige Wert steht an Position 0, jedes Perzentil zwischen 0 und 100 liefert ihn also
   4. Antwort: 42

   Bei nur einem Wert gibt es weder Nachbarn zum Interpolieren noch eine Verteilung zum Einordnen, und trotzdem gibt die Seite diesen Wert zurück, statt die Antwort zu verweigern. Bemerkenswert ist, dass auch die beiden Enden keine Sonderbehandlung brauchen: Das 0. Perzentil ist das Minimum, das 100. Perzentil das Maximum, und beides fällt aus derselben Positionsformel heraus.

Ein Perzentil sagt nicht, wie weit die Daten streuen, und seine Bedeutung hängt vollständig an der Reihe dahinter: Bei nur zehn Werten ist das 90. Perzentil zwischen zwei Werten interpoliert und verschiebt sich, sobald ein paar Werte dazukommen. Die Antwort hängt außerdem an der Konvention, und es gibt mehr als eine — diese Seite verwendet Hyndman–Fan type 7 (die Voreinstellung von R und NumPy), andere Lehrbücher nutzen eine andere Positionsformel, deshalb sind kleine Abweichungen zu anderswo berechneten Perzentilen normal. Diese Seite rechnet nur in eine Richtung: vom Perzentil zum Wert. Die umgekehrte Frage — an welchem Perzentil ein gegebener Wert steht — ist ein anderes Verfahren und hier nicht enthalten; dafür wäre eine eigene Seite nötig. Und ein Perzentil ist keine Prozentangabe: Im 90. Perzentil zu liegen beschreibt einen Rang und nicht 90 von 100 Punkten. Die Liste fasst höchstens 200 Zahlen, und eine Schreibweise wie 1,500 wird abgewiesen statt geraten, weil ein Trennzeichen zwischen Ziffern in manchen Ländern ein Dezimaltrenner und in anderen ein Tausendertrenner ist. Gerechnet wird durchgehend mit den eingegebenen Werten, vor der Interpolation wird nicht gerundet.

Wie wird ein Perzentil berechnet?

Zuerst sortieren, dann die Position (n − 1) × p bestimmen, wobei n die Anzahl der Werte und p das Perzentil als Dezimalzahl ist. Für das 90. Perzentil von acht Werten ist die Position 7 × 0,9 = 6,3, die Antwort liegt also drei Zehntel des Weges zwischen dem siebten und dem achten Wert. Ist die Position eine ganze Zahl, trifft sie genau einen Wert und es wird nicht interpoliert. Das Panel zeigt die Anzahl, die beiden Nachbarn und das Ergebnis, sodass sich der ganze Rechenweg in einem Durchgang prüfen lässt.

Was bedeutet das 90. Perzentil genau?

Es bedeutet, dass 90% der Daten darunter liegen (oder genau gleichauf) und etwa 10% darüber. Es beschreibt einen Rang und nicht den Anteil richtiger Antworten: Ein Prüfungsergebnis im 90. Perzentil heißt nicht, dass 90% der Fragen richtig beantwortet wurden. Dieses Missverständnis ist so verbreitet, dass das OpenStax-Lehrbuch es eigens anspricht — das 90. Perzentil der Ergebnisse bedeutet, dass 90% der Ergebnisse gleich hoch oder niedriger liegen.

Warum liefert ein anderer Rechner ein anderes Perzentil?

Weil mehr als eine Formel im Umlauf ist und sich die Formeln nur zwischen den Datenpunkten unterscheiden — trifft die Position genau auf einen Wert, stimmen alle überein. Diese Seite verwendet Hyndman–Fan type 7, also die Voreinstellung von R und NumPy: Position (n − 1) × p mit anschließender linearer Interpolation. Das OpenStax-Lehrbuch nutzt i = k/100 × (n + 1) und merkt selbst an, dass eine Recherche mehrere Formeln findet. Beide sind zulässig, denn ein Perzentil ist eine Konvention — deshalb gibt diese Seite die beiden Nachbarwerte mit aus, sodass sofort zu sehen ist, welches Paar verwendet wurde.

Was sind die beiden zusätzlichen Zahlen unter dem Ergebnis?

Es sind die beiden Beobachtungen, auf denen die Interpolation beruht: der Wert unmittelbar unterhalb und der unmittelbar oberhalb der gewünschten Position. Mit ihnen auf dem Bildschirm ist das Ergebnis keine Blackbox — eine 7,6 neben einer 7 und einer 9 lässt sofort erkennen, dass drei Zehntel des Weges zurückgelegt wurden. Trifft das gewünschte Perzentil genau auf einen Datenpunkt, ist die Position eine ganze Zahl, es wird nicht interpoliert, und beide Zeilen zeigen denselben Wert.

Was ergeben das 0. und das 100. Perzentil?

Das Minimum und das Maximum der Daten, und beides braucht keine Sonderbehandlung: Setzt man p = 0 in die Positionsformel ein, ergibt sich 0, also der erste Wert; mit p = 100 ergibt sich n − 1, also der letzte. Eingaben unter 0 oder über 100 liegen außerhalb des zulässigen Bereichs dieses Feldes und werden abgewiesen statt abgeschnitten — eine versehentlich eingegebene 900 führt also zu einem Hinweis und nicht stillschweigend zum Maximum.

Lässt sich umgekehrt berechnen, an welchem Perzentil ein Wert steht?

Diese Seite kann das nicht — sie rechnet nur in eine Richtung, vom Perzentil zum Wert. Die umgekehrte Frage, also der Perzentilrang eines gegebenen Wertes, ist ein anderes Verfahren, und beide Richtungen in ein Werkzeug zu packen würde bedeuten, dass der Ergebnisbereich je nach Eingabe einmal die eine und einmal die andere Zahl zeigt; genau das tut dieser Ergebnisbereich bewusst nicht. Für einen Rang vergleicht man den eigenen Wert mit der sortierten Liste, und die vier gebräuchlichsten Schnittstellen liefert direkt die Quartilsseite.

• Measures of the Location of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.3 — die Definitionen von Quartilen und Perzentilen, der ausdrückliche Hinweis, dass das 90. Perzentil keine 90 von 100 Punkten bedeutet, und die Bemerkung, dass für das k-te Perzentil mehrere Formeln im Umlauf sind — OpenStax (Rice University)
• quantile — Referenzdokumentation des stats-Pakets von R: neun Quantiltypen, type 7 als Voreinstellung und damit als die hier verwendete Konvention — The R Project for Statistical Computing
• numpy.quantile — NumPy-Referenz: die Voreinstellung method = "linear", dieselbe Interpolationsregel wie auf dieser Seite — NumPy