Median-Rechner

Median = der nach dem Sortieren in der Mitte stehende Wert; bei gerader Anzahl das Mittel der beiden mittleren Werte

xᵢ

Ein einzelner Wert des Datensatzes. Nur seine Position in der sortierten Reihe zählt, wie weit er von den übrigen Werten entfernt liegt, spielt keine Rolle — genau deshalb kann ein Ausreißer dem Median nichts anhaben

n

Die Anzahl der Werte, auf dieser Seite höchstens 200. Bei ungeradem n gibt es genau einen mittleren Wert, bei geradem n sind es zwei, und aus ihnen wird das Mittel gebildet

Y₍ₖ₎

Der Wert an der k-ten Stelle der sortierten Reihe. NIST schreibt den geraden Fall als (Y(N/2) + Y(N/2+1)) / 2, und genau dieses Wertepaar steht auf dem Panel unter der Antwort

Y₍ₙ/₂₎ und Y₍ₙ/₂₊₁₎

Die beiden mittleren Werte. Sie werden mit ausgegeben, damit sich die Division mit einem Blick nachprüfen lässt; bei ungerader Anzahl sind sie identisch, denn dann steht in der Mitte tatsächlich nur ein einziger Wert

M

Der Median selbst, in der Einheit der Daten. Addiert man zu jedem Wert dieselbe Zahl, wandert er um dieselbe Zahl mit, und sonst ändert sich nichts

Der Median ist die richtige Wahl, sobald ein einzelner Messwert ins Unermessliche laufen kann und trotzdem ein typischer Wert gebraucht wird: Mietpreise, Einkommen, Wartezeiten, alles mit einem langen Schwanz auf einer Seite. Er zählt Positionen statt Beträge, deshalb kann der größte Wert noch so weit oben liegen — er bewegt ihn nicht. Für geordnete Kategorien wie Bewertungsstufen oder Kleidergrößen ist er ebenfalls das natürlichere Zentrum, weil die Abstände zwischen benachbarten Stufen ohnehin keine Bedeutung haben und sich nicht mitteln lassen. Zwei Fragen beantwortet er nicht: wie stark die Werte streuen und wie sie sich abseits der Mitte verteilen. Geht es um die Form der Verteilung, berichtet man ihn zusammen mit den Quartilen. Und noch ein Nebennutzen: Bei symmetrischen Daten liegen Median und Mittelwert fast aufeinander, ein sichtbarer Abstand zwischen beiden ist also selbst schon ein Hinweis auf eine schiefe Verteilung.

1. Gerade Anzahl: die Mitte liegt zwischen 4 und 5

   1. Sortiert: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
   2. Acht Werte, es gibt also keinen einzelnen mittleren — das mittlere Paar sind der vierte und der fünfte Wert
   3. Der vierte ist 4, der fünfte ist 5
   4. Median: (4 + 5) ÷ 2 = 4,5

   Die 4,5 ist selbst kein Wert der Reihe, und bei einer geraden Anzahl ist das der Normalfall. Dass die 4 und die 5 daneben stehen, hat genau diesen Zweck: Ohne die beiden ließe sich nicht prüfen, ob das richtige Paar erwischt wurde — und auch nicht, ob nicht heimlich nur einer der beiden genommen wurde.

2. Ungerade Anzahl mit einem weit entfernten Wert

   1. Sortiert: 3, 7, 9, 12, 40
   2. Fünf Werte, in der Mitte steht der dritte
   3. Median: 9 — ohne Division, denn in der Mitte steht genau ein Wert

   Der Mittelwert dieser fünf Zahlen ist 14,2 und wird von der 40 nach oben gezogen; der Median ist 9 und lässt sich davon nicht beeindrucken. Ersetzt man die 40 durch eine 4000, steigt der Mittelwert auf 806,2, während der Median bei 9 bleibt. Das ist die ganze Begründung dafür, bei schief verteilten Daten den Median zu berichten, und sie kostet keinen zusätzlichen Rechenschritt.

3. Vier Werte: der Median ist gar kein Wert der Reihe

   1. Sortiert: 1, 2, 3, 4
   2. Das mittlere Paar sind der zweite und der dritte Wert: 2 und 3
   3. Median: (2 + 3) ÷ 2 = 2,5

   An dieser Stelle sind zwei weitere Schreibweisen im Umlauf: den unteren Wert nehmen (2) oder den oberen (3) — alle drei finden sich in Lehrbüchern. Diese Seite bildet wie NIST das Mittel und folgt damit derselben Regel wie die Seiten für Quartile und Perzentile; die 2,5 von hier ist dort das zweite Quartil und das 50. Perzentil.

Der Median ist eine einzige Position und wirft damit fast alles andere über die Daten weg. Zwei Datensätze können denselben Median haben und völlig verschieden geformt sein — der eine drängt sich um ihn herum, der andere zieht sich über die ganze Breite —, deshalb wird er in der Regel zusammen mit den Quartilen berichtet und nicht allein. Er setzt voraus, dass die Werte sortiert werden, das heißt, jeder Wert muss einmal gelesen werden, bevor eine Antwort möglich ist. Und er sagt nichts darüber, welche Werte überhaupt vorkommen: Ein Median von 9 heißt nur, dass in der Mitte etwas um 9 herum steht, nicht dass die 9 in den Daten enthalten ist. Für geordnete Größen wie Kleidergrößen oder Bewertungsstufen lässt er sich berechnen, das Ergebnis ist dann die mittlere Stufe und keine Zahl, die sich addieren lässt. Die Liste fasst höchstens 200 Werte, und Schreibweisen wie 1,500 oder 1.500 werden abgewiesen statt geraten: Ein Trennzeichen mit genau drei folgenden Ziffern ist in manchen Ländern ein Tausendertrenner und in anderen ein Dezimaltrenner — schreiben Sie 1500 oder 1,5. Die Regeln zum Zerlegen der Liste gelten in jeder Sprache gleich: Die Zahlen werden so gelesen, wie sie eingegeben wurden, die Sprache der Oberfläche ändert daran nichts.

Wie wird der Median berechnet?

Zuerst die Zahlen der Größe nach sortieren, dann die Anzahl bestimmen. Bei ungerader Anzahl steht in der Mitte genau ein Wert — bei sieben Werten der vierte. Bei gerader Anzahl sind es zwei, und aus ihnen wird das Mittel gebildet: Bei 1, 2, 3, 4 ist das mittlere Paar 2 und 3, der Median also 2,5. Das Verfahren besteht aus diesen zwei Schritten. Auf dem Panel stehen die Anzahl, die beiden mittleren Werte und das Ergebnis, sodass sich jeder Schritt einzeln prüfen lässt, ohne die Reihe neu zu sortieren.

Warum kommt der Median manchmal in meinen Daten gar nicht vor?

Weil bei einer geraden Anzahl von Werten kein einzelner Wert in der Mitte steht und der Median deshalb das Mittel der beiden mittleren ist. Die 4,5 oben ist kein Wert dieser acht Zahlen und trotzdem die richtige Antwort: Unter ihr liegt die eine Hälfte, über ihr die andere. Die beiden mittleren Werte stehen neben dem Ergebnis, damit genau das nicht wie ein Fehler aussieht.

Wann sollte ich den Median statt des Mittelwerts verwenden?

Immer wenn ein einzelner extremer Messwert das Bild verzerren könnte: Einkommen, Immobilienpreise, Wartezeiten, alles mit einem langen Schwanz auf einer Seite. Der Mittelwert rechnet jeden Wert mit, deshalb zieht ihn der entfernte Wert zu sich hinüber; der Median zählt nur, wie viele Werte auf jeder Seite liegen, und derselbe Wert lässt ihn völlig unberührt. Bei symmetrischen Daten fallen beide fast zusammen — eine sichtbare Lücke zwischen ihnen ist also selbst ein Hinweis auf eine schiefe Verteilung.

Kann ich eine Spalte direkt aus einer Tabelle einfügen?

Ja. Zeilenumbruch, Tabulator, Semikolon, Leerzeichen sowie ein Komma mit anschließendem Leerzeichen gelten alle als Trennzeichen, eine aus Excel kopierte Spalte wird also direkt gelesen, und leere Abschnitte werden übersprungen statt als Fehler gemeldet. Gelesen werden höchstens 200 Zahlen. Eine Schreibweise wird bewusst abgewiesen: 1,500 oder 1.500 — folgen auf ein Trennzeichen genau drei Ziffern, ist es in manchen Ländern ein Tausendertrenner und in anderen ein Dezimaltrenner. Schreiben Sie 1500 oder 1,5.

Gibt es beim Median einen Unterschied zwischen Stichprobe und Grundgesamtheit?

Nein, und deshalb fehlt hier auch der Umschalter. Die Korrektur mit n − 1 gehört zur Streuung — sie betrifft die Summe der Abweichungsquadrate, die durch eine Anzahl geteilt wird. Der Median dividiert überhaupt nicht, er liest eine Position ab. Ob eine Reihe eine Stichprobe oder ein vollständiger Bestand ist, ändert am mittleren Wert nichts. Die Unterscheidung braucht man auf den Seiten für Standardabweichung und Varianz, dort verändert der Divisor tatsächlich das Ergebnis.

Warum liefert ein anderes Werkzeug für denselben Datensatz einen anderen Median?

Fast immer liegt es an einer anderen Regel für den geraden Fall. Es sind drei Schreibweisen im Umlauf: das Mittel der beiden mittleren Werte, der untere der beiden oder der obere. Für 1, 2, 3, 4 ergeben sie 2,5, 2 und 3. Diese Seite bildet nach der Definition von NIST das Mittel und gibt die beiden mittleren Werte mit aus, sodass sofort zu sehen ist, welches Paar verwendet wurde. Ein deutlich seltenerer Grund ist ein Wert mit Dezimalkomma, den das andere Werkzeug als Trennzeichen gelesen hat.

• Median — eLearning Modul 14 der Statistischen Ämter des Bundes und der Länder: der Zentralwert als Lageparameter, der von einzelnen extremen Werten nicht beeinflusst wird — Statistisches Bundesamt (Destatis)
• Measures of Location — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.1 — die Definition des Medians, der gerade Fall als (Y(N/2) + Y(N/2+1)) / 2 geschrieben — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 — der Median als das Zentrum, das bei extremen Werten an die Stelle des Mittelwerts tritt — OpenStax (Rice University)