Ausreißer-Rechner

Unterer Zaun = Q1 − 1,5 × IQR · Oberer Zaun = Q3 + 1,5 × IQR

Q1

Das erste Quartil, also das 25. Perzentil: Ein Viertel der Werte liegt auf oder unter ihm. Es ist der Anker des unteren Zauns

Q3

Das dritte Quartil, also das 75. Perzentil. Zusammen mit Q1 umschließt es die mittlere Hälfte der Daten und ist der Anker des oberen Zauns

IQR

Der Interquartilsabstand, also Q3 − Q1, die Breite der mittleren Hälfte. Mit 1,5 multipliziert legt er fest, wie weit ein Wert über die mittlere Hälfte hinausragen muss, um markiert zu werden

Unterer Zaun

Q1 − 1,5 × IQR. Werte, die echt kleiner sind als diese Schwelle, werden markiert; wer genau auf ihr liegt, gehört noch dazu — deshalb wird bei einer Reihe aus lauter gleichen Werten nichts markiert

Oberer Zaun

Q3 + 1,5 × IQR. Werte, die echt größer sind als diese Schwelle, werden markiert. Die beiden Schwellen heißen in der Literatur Zäune und entsprechen L1 und U1 in der Quelle

n

Die Anzahl der Werte, auf dieser Seite höchstens 200. Die Zäune entstehen aus den Quartilen, deshalb verschieben sie sich, sobald die Liste wächst — und die markierten Werte können sich mitverschieben

Diese Regel ist für den ersten Durchgang durch einen Datensatz gedacht: für Listen, bei denen ein einzelner Messfehler, ein Tippfehler oder ein Sonderfall die Auswertung verzerren könnte, und für jede Verteilung, die schief ist oder dicke Ränder hat. Sie kommt ohne Verteilungsannahme aus, was ihr wichtigster Vorteil ist: Weil sie auf Quartilen beruht und nicht auf dem Mittelwert und der Standardabweichung, können die markierten Werte den Zaun nicht selbst zu sich hin ziehen — dieselben vier Zahlen gelten, egal, wie weit ein Wert draußen liegt. Das ist der Unterschied zur Beurteilung über den z-Wert, bei dem jeder Extremwert den Mittelwert und die Streuung mitverschiebt und sich dadurch gewissermaßen selbst versteckt. Markiert heißt allerdings nur: Dieser Wert lohnt einen Blick. Die Regel liefert keinen Nachweis, dass etwas schiefging, und erst recht keinen Grund, ihn zu löschen. Bei Boxplots markiert dieselbe 1,5-IQR-Regel die Punkte, die als einzelne Kreise über und unter den Antennen stehen, und bei kurzen Listen ist sie wenig aussagekräftig — bei acht Werten ist ein markierter Wert nichts Ungewöhnliches, und wer mehr wissen will, sieht sich besser ein Histogramm an.

1. Von acht Werten wird einer markiert

   1. Sortiert: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — acht Werte
   2. Q1 = 4, Q3 = 5,5, der Interquartilsabstand also 5,5 − 4 = 1,5
   3. Unterer Zaun: 4 − 1,5 × 1,5 = 1,75; oberer Zaun: 5,5 + 1,5 × 1,5 = 7,75
   4. Die 9 liegt über 7,75 und wird markiert; alle übrigen Werte liegen zwischen den Zäunen

   Die äußeren Zäune liegen bei −0,5 und 10, und die 9 liegt innerhalb davon: Es ist also ein Wert, den nur die innere Regel markiert — auffällig, aber noch nicht extrem. Genau dafür stehen die äußeren Zäune einzeln auf dem Panel, damit dieser Unterschied sichtbar bleibt und nicht bloß ein Ja oder Nein übrig bleibt.

2. Zwei Werte werden markiert, einer über dem inneren, einer über dem äußeren Zaun

   1. Sortiert: 1 bis 10, dann 20 und 30 — zwölf Werte
   2. Q1 = 3,75, Q3 = 9,25, der Interquartilsabstand also 5,5
   3. Unterer Zaun: 3,75 − 8,25 = −4,5; oberer Zaun: 9,25 + 8,25 = 17,5
   4. 20 und 30 liegen beide über 17,5 und werden markiert; die äußeren Zäune liegen bei −12,75 und 25,75

   Die beiden markierten Werte sind nicht gleich extrem, und eine bloße Anzahl würde das verdecken. Die 20 liegt über dem inneren Zaun, die 30 zusätzlich über dem äußeren, und die ausgegebene Liste ist aufsteigend sortiert, sodass sofort zu sehen ist, welcher welcher ist. Der äußere Zaun ist keine zweite Hürde, die ein Wert erst überschreiten müsste — ein Wert zwischen den beiden Zäunen ist bereits markiert.

3. Alle Werte gleich bis auf einen

   1. Sechs Werte, davon fünfmal die 1 und einmal die 2
   2. Q1 = 1 und Q3 = 1, der Interquartilsabstand also 0
   3. Beide Zäune: 1 − 0 = 1 und 1 + 0 = 1, alle vier Schwellen fallen auf dieselbe Zahl
   4. Die 2 ist echt größer als 1 und wird markiert; die 1 liegt genau auf der Schwelle und gehört noch dazu

   Ein Interquartilsabstand von 0 sieht so aus, als müsste die Regel damit abgeschaltet sein, und sie ist es nicht. Wenn fast alle Werte gleich sind, ist der eine abweichende Wert per Definition der einzige, der deutlich herausfällt, und die Regel sagt das so. Damit nichts markiert wird, müssten ausnahmslos alle Werte gleich sein: Dann fallen die Zäune genau auf diesen Wert, und der Vergleich ist streng, sodass kein einziger Wert übrig bleibt, der ihn überschreitet.

Ein markierter Wert ist ein Hinweis und kein Beweis. Die Regel ist ein bewährtes Werkzeug für den ersten Durchgang, aber es gibt mehrere ernstzunehmende Regeln nebeneinander — dieselbe Quelle, die diese Schwellen herleitet, nennt unter anderem die Beurteilung über den z-Wert und die Anpassung um mehrere Standardabweichungen —, und verschiedene Verfahren markieren bei denselben Daten verschiedene Punkte. Bei kleinen Listen ist die Regel besonders unsicher: Quartile entstehen aus Positionen, und bei acht oder zehn Werten ist die 1,5-fache Grenze schnell erreicht, ohne dass etwas falsch wäre. Umgekehrt ist der Interquartilsabstand 0 kein Sonderfall, in dem nichts mehr gefunden wird, sondern der Extremfall, in dem fast die ganze Reihe denselben Wert hat und der eine abweichende Wert markiert wird. Vor allem sagt das Ergebnis nichts darüber, was mit einem markierten Wert zu tun ist: Ein Messfehler gehört korrigiert, ein Sonderfall gehört dokumentiert, und ein echter Wert gehört behalten. Ihn stillschweigend zu löschen, weil er markiert wurde, ist die häufigste Fehlanwendung dieser Regel. Die Liste fasst höchstens 200 Zahlen, und eine Schreibweise wie 1,500 wird abgewiesen statt geraten, weil ein Trennzeichen zwischen Ziffern in manchen Ländern ein Dezimaltrenner und in anderen ein Tausendertrenner ist.

Wie wird bestimmt, welche Werte als Ausreißer gelten?

Zuerst die Quartile und der Interquartilsabstand berechnen, dann zwei Schwellen ziehen: Q1 − 1,5 × IQR und Q3 + 1,5 × IQR. Jeder Wert echt unterhalb der unteren oder echt oberhalb der oberen Schwelle wird markiert. Für die acht Werte 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 sind Q1 = 4, Q3 = 5,5 und der Interquartilsabstand 1,5, die Schwellen liegen also bei 1,75 und 7,75 — markiert wird allein die 9. Alle vier Schwellen und die drei Größen dahinter stehen auf dem Panel, sodass sich das Ergebnis nachrechnen lässt.

Was ist ein Zaun, und warum werden vier davon ausgegeben?

Ein Zaun ist eine Schranke auf der Messachse, ab der ein Wert markiert wird: die beiden inneren Zäune bei 1,5 × IQR, die beiden äußeren bei 3 × IQR. In der Quelle heißen sie L1, L2, U1 und U2. Ausgegeben werden alle vier, weil sie verschiedene Gradstufen unterscheiden: Ein Wert zwischen innerem und äußerem Zaun ist markiert, aber nicht extrem, ein Wert jenseits des äußeren Zauns ist es. Wichtig ist, dass der äußere Zaun kein zweiter Filter ist, den ein Wert erst passieren müsste — beide Gruppen stecken in derselben Zahl auf dem Panel, und die äußeren Zäune sind nur zusätzliche Information.

Sollte ein markierter Wert gelöscht werden?

Nein, nicht automatisch. Die Regel beantwortet nur die Frage, welche Werte auffällig weit von der Mitte entfernt liegen, und sagt nichts über deren Ursache. Ein markierter Wert kann ein Tippfehler sein, ein Geräteausfall, ein echter Sonderfall oder schlicht ein normaler Wert aus dem Rand einer schiefen Verteilung. Meist ist die richtige Reaktion, ihn zu behalten und zu dokumentieren, dass er markiert wurde. Verschwinden sollte er nur, wenn sich belegen lässt, dass die Messung falsch ist — und selbst dann ist die Angabe „mit und ohne diesen Wert“ üblich.

Warum markiert ein anderes Werkzeug andere Werte?

Weil es mehr als eine belegte Regel gibt und sie sich unterscheiden. Diese Seite verwendet die 1,5-IQR-Regel, die auf Quartilen beruht. Andere Verfahren vergleichen mit dem Mittelwert und der Standardabweichung, wieder andere verwenden einen modifizierten z-Wert mit einer anderen Grenze oder einen formalen Test wie den Grubbs-Test. Bei einer kurzen, schiefen Liste können zwei Verfahren über denselben Punkt uneins sein, ohne dass eines von beiden falsch rechnet. Auffällig ist ein Wert daher nur relativ zur verwendeten Regel — weshalb diese Seite ihre Schwellen mit ausgibt.

Was passiert, wenn der Interquartilsabstand 0 ist?

Dann fallen alle vier Zäune auf denselben Wert, und die Regel arbeitet weiter. Bei der Reihe 1, 1, 1, 1, 1, 2 sind Q1 und Q3 beide 1, der Interquartilsabstand ist 0, und die Zäune liegen alle bei 1; die 2 ist echt größer und wird markiert. Das ist das richtige Ergebnis und kein Ausfall: Wenn fast alle Werte gleich sind, ist der eine abweichende Wert der einzige, der deutlich herausfällt. Damit nichts markiert wird, müssten ausnahmslos alle Werte gleich sein — dann liegt kein Wert echt jenseits der Schranke.

Ist das dasselbe wie die Beurteilung über den z-Wert?

Nein, die beiden Verfahren beantworten dieselbe Frage mit verschiedenen Maßstäben. Die Beurteilung über den z-Wert misst den Abstand eines Wertes vom Mittelwert in Standardabweichungen und hat damit eine feste, gut vergleichbare Skala; ihr Nachteil ist, dass ein extremer Wert Mittelwert und Standardabweichung mitverschiebt und sich dadurch zum Teil selbst verdeckt. Die 1,5-IQR-Regel stützt sich auf Quartile, die von den äußersten Werten kaum bewegt werden, und ist deshalb robuster — dafür liefert sie nur eine Ja-Nein-Markierung und keine Maßzahl, die sich über Datensätze hinweg vergleichen ließe.

• Box Plot — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.3.7 — die Herleitung der vier Schwellen als L1 = unteres Quartil − 1,5 × IQ, L2 = unteres Quartil − 3 × IQ und den beiden oberen Gegenstücken, mit den Punkten dazwischen als kleine und außerhalb als große Kreise — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Detection of Outliers — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.17 — warum ein markierter Wert als Beobachtung beschrieben wird, die deutlich abzuweichen scheint, und wie viele verschiedene Regeln dafür im Umlauf sind — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Location of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.3 — die Definition von Quartilen und des Interquartilsabstands als Breite der mittleren Hälfte, mit vollständiger Rechnung für ein Beispiel — OpenStax (Rice University)