Standardabweichungs-Rechner

Standardabweichung s = √( Σ (xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1) ), bei der Grundgesamtheit wird dieselbe Summe durch n geteilt

xᵢ

Ein einzelner Wert der Reihe. Jeder Wert geht als Abstand vom Mittelwert in die Rechnung ein, und das Quadrieren sorgt dafür, dass Abstände über und unter dem Mittelwert sich nicht gegenseitig aufheben

x̄

Der Mittelwert der Reihe: die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Er wird zusammen mit dem Ergebnis ausgegeben, damit sich jeder Schritt einzeln nachrechnen lässt

n

Die Anzahl der Werte, auf dieser Seite höchstens 200. Bei der Stichprobe wird durch n − 1 geteilt, bei der Grundgesamtheit durch n — das ist der einzige Unterschied zwischen den beiden Standardabweichungen

Σ (xᵢ − x̄)²

Die Summe der Abweichungsquadrate: jeder Abstand zum Mittelwert wird erst quadriert und dann addiert. Ihre Einheit ist das Quadrat der Ausgangseinheit — genau deshalb wird am Ende einmal die Wurzel gezogen

s

Die Standardabweichung, in derselben Einheit wie die Daten. Addiert man zu jedem Wert dieselbe Konstante, ändert sie sich nicht; verdoppelt man jeden Wert, verdoppelt sie sich

Gebraucht wird sie überall dort, wo ein einziger Wert die Streuung einer ganzen Reihe vertreten soll: bei wiederholten Messungen derselben Größe, bei Klausurergebnissen, bei Tagesumsätzen, bei den Gewichten einer Charge Teile. Sind die vorliegenden Werte nur eine Stichprobe aus einer größeren Grundgesamtheit, nimmt man die Standardabweichung der Stichprobe; sind sie bereits die vollständige Reihe, die der Grundgesamtheit. Sie ist außerdem der Schritt, der Rohwerte in Z-Werte umrechnet, und die Grundlage der meisten Regeln zur Erkennung von Ausreißern. Zwei Fragen beantwortet sie nicht: ob die Verteilung symmetrisch ist, und ob ein extremer Wert vielleicht nur vertippt wurde — schief verteilte Daten beschreibt man besser über Quartile und Median. Und der Wurzelschritt verdient eine Erklärung: Die Summe der Abweichungsquadrate trägt eine quadrierte Einheit, erst die Wurzel führt sie in die Einheit der Daten zurück, während die Varianz diese quadrierte Einheit behält. Genau deshalb lässt sich eine Standardabweichung neben die Daten schreiben und eine Varianz nicht.

1. Acht Werte, Stichprobe und Grundgesamtheit im Vergleich

   1. Anzahl: 8 Werte; Summe: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40
   2. Mittelwert: 40 ÷ 8 = 5
   3. Abweichungen vom Mittelwert: −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
   4. Summe der Abweichungsquadrate: 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
   5. Varianz der Stichprobe: 32 ÷ (8 − 1) = 4,5714
   6. Standardabweichung der Stichprobe: √4,5714 = 2,1381

   Dieselbe Reihe ergibt als Grundgesamtheit gerechnet 32 ÷ 8 = 4 und damit eine Standardabweichung von genau 2. Der falsch gewählte Divisor ist die häufigste Ursache dafür, dass zwei Rechner verschiedene Standardabweichungen ausgeben; hier macht er rund 7% aus — bei wenigen Werten fällt der Unterschied groß aus, je mehr Werte dazukommen, desto mehr verliert er sich.

2. Fünf Prüfungsnoten

   1. Summe: 85 + 90 + 78 + 92 + 88 = 433, also 5 Werte
   2. Mittelwert: 433 ÷ 5 = 86,6
   3. Summe der Abweichungsquadrate: 2,56 + 11,56 + 73,96 + 29,16 + 1,96 = 119,2
   4. Varianz der Stichprobe: 119,2 ÷ 4 = 29,8
   5. Standardabweichung der Stichprobe: √29,8 = 5,4589

   Vergleicht man die Abweichungen mit ihren Quadraten, sieht man, woher das Gewicht kommt: Die 78 liegt 8,6 Punkte unter dem Mittelwert und trägt allein 73,96 bei — mehr als die vier übrigen Fächer zusammen. Das Quadrieren ist der Grund, warum Werte am Rand so stark wiegen, und damit auch der Grund, warum ein einziges schlechtes Fach die Standardabweichung stärker bewegt als den Mittelwert.

3. Nur drei Werte: der Divisor wirkt am stärksten

   1. Summe: 4 + 8 + 6 = 18, also 3 Werte und ein Mittelwert von 6
   2. Abweichungen: −2, 2, 0; Quadrate: 4, 4, 0, Summe der Abweichungsquadrate 8
   3. Varianz der Grundgesamtheit: 8 ÷ 3 = 2,6667
   4. Standardabweichung der Grundgesamtheit: √2,6667 = 1,633

   Drei Werte sind die kleinste Reihe, die diese Seite als Stichprobe zulässt, und genau hier wirkt der Divisor am deutlichsten: Als Stichprobe gerechnet wird dieselbe 8 durch 2 geteilt und ergibt 2 statt 1,633 — über 20% mehr. Die Standardabweichung der Stichprobe ist immer die größere der beiden; je mehr Werte dazukommen, desto näher rücken sie zusammen.

Dies ist die arithmetische Standardabweichung einer Reihe, und sie kann nicht gewichten: Jeder Wert zählt genau einmal, Häufigkeitstabellen und gewichtete Erhebungen brauchen ein anderes Verfahren. Beschrieben wird die Streuung, nicht die Form der Verteilung — bei schief verteilten Daten hängt auf einer Seite ein langer Schwanz, und dort kommen Quartile und Median weiter als die Standardabweichung. Jeder Wert zählt, ein einziger vertippter Extremwert hebt das Ergebnis deshalb spürbar an. Die Liste fasst höchstens 200 Werte. Schreibweisen wie 1.500 oder 1,500 werden abgewiesen, statt dass die Seite sie errät: Ein Punkt oder Komma zwischen Ziffern ist in manchen Ländern der Dezimaltrenner, in anderen der Tausendertrenner — was sich nicht entscheiden lässt, wird nicht entschieden. Schreiben Sie stattdessen 1500 oder 1,5. Und schließlich: Die Liste wird in jeder Sprache nach denselben Regeln gelesen; die Sprache, in der Sie diese Seite ansehen, ändert an der Bedeutung der eingefügten Zahlen nichts.

Worin unterscheiden sich die Standardabweichung der Stichprobe und die der Grundgesamtheit?

Nur im Divisor. Beide gehen von derselben Summe der Abweichungsquadrate aus, die Stichprobe teilt durch n − 1, die Grundgesamtheit durch n. Für die acht Werte 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 etwa beträgt diese Summe 32, also ergibt die Stichprobe √(32 ÷ 7) = 2,1381 und die Grundgesamtheit √(32 ÷ 8) = 2. Das Ergebnis der Stichprobe ist immer das größere von beiden; je mehr Werte vorliegen, desto näher liegen sie beieinander.

Wie wird die Standardabweichung berechnet?

In fünf Schritten. Zuerst alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen, das ergibt den Mittelwert. Dann jeden Wert vom Mittelwert abziehen, das sind die einzelnen Abweichungen. Jede Abweichung quadrieren — das Quadrieren verhindert, dass sich Abstände über und unter dem Mittelwert gegenseitig aufheben. Die Quadrate addieren. Zuletzt durch n − 1 (Stichprobe) oder n (Grundgesamtheit) teilen und die Wurzel ziehen. Das Ergebnispanel gibt Anzahl, Summe, Mittelwert und die Summe der Abweichungsquadrate mit aus, sodass sich jeder Schritt für sich prüfen lässt.

Warum wird bei der Stichprobe durch n − 1 geteilt und nicht durch n?

Weil der Mittelwert, der abgezogen wird, aus derselben Reihe stammt und jeder Wert diesen Mittelwert ein Stück zu sich heranzieht. Misst man die Abweichungen gegen einen Mittelwert, den die Daten selbst gewählt haben, fällt die gemessene Streuung systematisch etwas zu klein aus, und eine Division durch n würde sie weiter unterschätzen. Die Division durch n − 1 korrigiert genau diese Verzerrung. Bei wenigen Werten ist die Korrektur am größten — bei drei Werten macht sie über 20% aus —, bei vielen ist sie kaum noch zu sehen.

Kann ich eine Spalte direkt aus einer Tabelle einfügen?

Ja. Zeilenumbruch, Tabulator, Semikolon, Leerzeichen sowie Komma mit anschließendem Leerzeichen gelten alle als Trennzeichen; eine aus Excel kopierte Spalte wird also genauso gelesen wie eine selbst mit Semikola getippte Zeile. Leere Abschnitte werden übersprungen statt als Fehler gemeldet, ein zusätzlicher Zeilenumbruch am Ende stört daher nicht. Gelesen werden höchstens 200 Werte. Eine Schreibweise wird bewusst abgewiesen: ein Punkt oder ein Komma, auf den genau drei Ziffern folgen, wie in 1.500 oder 1,500 — das ist in manchen Ländern ein Tausendertrenner und in anderen ein Dezimaltrenner. Schreiben Sie 1500 oder 1,5, dann ist die Reihe eindeutig.

In welcher Einheit steht die Standardabweichung?

In derselben Einheit wie die Daten. Eine in Gramm gewogene Charge Teile hat auch eine Standardabweichung in Gramm. Das ist der Gewinn des letzten Wurzelschritts: Die Summe der Abweichungsquadrate trägt die Einheit Gramm zum Quadrat, die Varianz ebenso, erst die Wurzel führt zurück auf Gramm. Nach NIST stellt die Standardabweichung die Einheit der Streuung wieder her, während die Varianz eine quadrierte Einheit behält. Aus demselben Grund lässt sich die Standardabweichung neben die Daten stellen und die Varianz nicht.

Warum weicht mein Ergebnis von dem eines anderen Rechners ab?

In neun von zehn Fällen liegt es am Divisor. Viele Rechner geben nur die Standardabweichung der Grundgesamtheit oder nur die der Stichprobe aus, ohne zu sagen, welche; prüfen Sie zuerst, ob dort durch n − 1 oder durch n geteilt wird. Zwei weitere Ursachen lohnen den Ausschluss: Ein Wert wurde mit Dezimalkomma eingegeben und von der anderen Seite als Trennzeichen gelesen, oder ein extremer Wert ist auf der einen Seite mitgerechnet und auf der anderen nicht — die Standardabweichung reagiert auf jeden einzelnen Wert, ein Wert mehr verändert sie.

• Deskriptive, univariate Analyse (Verteilungen) — Methodenberatung der Universität Zürich: Mittelwert, Median und Modus sowie Varianz und Standardabweichung mit ihren Divisoren in der Übersicht — Universität Zürich, Methodenberatung
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 — wie Standardabweichung, Varianz und Spannweite zusammenhängen und warum die Streuung in der Einheit der Daten angegeben wird — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.7 — die Definitionen der Stichprobenstandardabweichung s und der Standardabweichung der Grundgesamtheit σ mit ihren Divisoren n − 1 und n — OpenStax (Rice University)