Variationskoeffizient-Rechner

Variationskoeffizient = (s ÷ x̄) × 100%

s

Die Standardabweichung der Reihe, in der ursprünglichen Einheit. Sie steht neben der Antwort, weil sich der Prozentsatz ohne sie nicht nachprüfen lässt

x̄

Der Mittelwert derselben Reihe. Durch ihn zu teilen ist der ganze Sinn dieser Kennzahl: Dieselbe Streuung ist bei einer großen Menge eine kleine Schwankung und bei einer kleinen Menge eine große. Er muss größer als null sein

s ÷ x̄

Das Verhältnis selbst; es ist dimensionslos, weil sich die Einheiten hier herauskürzen. Genau deshalb lässt sich eine in Kilogramm gemessene Schwankung mit einer in Millimetern gemessenen vergleichen

× 100

Schreibt das Verhältnis als Prozentzahl. Beide Schreibweisen sind in Lehrbüchern üblich, 0,4276 und 42,76%; diese Seite gibt den Prozentsatz aus, und die Beispiele unten arbeiten durchgehend damit, sodass die beiden Stellen nicht auseinanderlaufen können

n

Die Anzahl der Werte, auf dieser Seite höchstens 200. Ob die Standardabweichung durch n − 1 oder durch n geteilt wird, ist die Wahl zwischen Stichprobe und Grundgesamtheit auf dem Panel, und sie verändert die Antwort

Sobald zwei Streuungen miteinander verglichen werden sollen und die beiden in verschiedenen Einheiten oder in sehr verschiedenen Größenordnungen gemessen sind, ist dieser Kennwert das passende Werkzeug — und das ist der Normalfall: die Schwankung eines Analyten von Charge zu Charge, die Genauigkeit eines Abfüllers relativ zu seinem Sollwert, das Risiko je Einheit Ertrag innerhalb einer Messreihe. Er ist außerdem die ehrliche Antwort auf die Frage, ob eine Streuung groß ist, denn eine Standardabweichung hat für sich genommen keine Größe — sie hat eine erst relativ zu dem Mittelwert, zu dem sie gehört. Umgekehrt gehören Daten mit einem Mittelwert nahe null oder darunter nicht hierher: Das Verhältnis ist an der Null nicht definiert und bei einem negativen Mittelwert ohne Aussage — dieselbe Streuung ergibt dann einen negativen Prozentsatz, und diese Zahl liest sich wie eine sehr gute Stabilität. Lufttemperaturen in Celsius, Gewinne und Verluste und jede Abweichung, die von einem Bezugspunkt aus gemessen wird, sind aus diesem Grund ausgeschlossen, und nicht, weil die Rechnung mühsam wäre, sondern weil das Ergebnis keine Deutung hätte. Eine Einordnung in Stufen gibt es auf dieser Seite bewusst nicht — warum, steht in den Einschränkungen.

1. Die voreingestellte Reihe, als Stichprobe gerechnet

   1. Mittelwert: 40 ÷ 8 = 5
   2. Standardabweichung der Stichprobe: 2,1381
   3. Verhältnis: 2,1381 ÷ 5 = 0,427618…
   4. Als Prozentzahl geschrieben: 42,76%

   Der letzte Schritt verdient einen zweiten Blick, denn wenn auf dieser Seite etwas schiefgeht, dann hier: Das Verhältnis ist 0,4276, und die Antwort lautet 42,76%. Wer die Multiplikation mit 100 vergisst, gibt 0,43% aus — einen völlig plausiblen Variationskoeffizienten, klein, glaubwürdig und um den Faktor hundert falsch. Die beiden Werte daneben sind die Gegenprobe: 2,1381 geteilt durch 5 ist tatsächlich ungefähr 0,43, also rund 43%.

2. Dieselbe Reihe als Grundgesamtheit

   1. Mittelwert: weiterhin 5
   2. Standardabweichung der Grundgesamtheit: 2
   3. Verhältnis: 2 ÷ 5 = 0,4
   4. Als Prozentzahl geschrieben: 40,00%

   Dieselbe Reihe ergibt 42,76% und 40,00%, der Unterschied steckt allein im Divisor der Standardabweichung. Die Division durch den Mittelwert verkleinert diesen Abstand, beseitigt ihn aber nicht, und deshalb lohnt es sich beim Vergleich mit einem Tabellenkalkulationsprogramm zu wissen: Weichen die beiden Zahlen leicht voneinander ab, ist die erste Frage, ob Stichprobe oder Grundgesamtheit gerechnet wurde — und die ausgegebene Standardabweichung beantwortet sie.

3. Überhaupt keine Schwankung

   1. Mittelwert: 20 ÷ 2 = 10
   2. Standardabweichung: 0, die beiden Werte sind identisch
   3. Verhältnis: 0 ÷ 10 = 0
   4. Als Prozentzahl geschrieben: 0,00%

   Ein Variationskoeffizient von null ist eine echte Antwort und kein Ausfall: Sind alle Messwerte gleich, gibt es relativ zum Mittelwert keine Schwankung, und das ist der einzige Fall, in dem eine Null etwas aussagt. Das Beispiel erklärt zugleich, warum die Bedingung dieser Seite ein positiver Mittelwert ist und nicht eine Standardabweichung ungleich null — eine Streuung von null geteilt durch einen positiven Mittelwert ist als 0% wohldefiniert, während jede Streuung geteilt durch einen Mittelwert von null undefiniert bleibt.

Der Mittelwert muss positiv sein, und diese Einschränkung schließt mehr Daten aus, als man vermuten würde: Temperaturen in Celsius oder Fahrenheit, Gewinne und Verluste und jede Abweichung, die von einem Bezugspunkt als Null aus gemessen wird, erfüllen die Bedingung nicht, weil ihr Mittelwert auf oder unter null liegen kann. Der Grund ist nicht eine besonders streng geschriebene Prüfung, sondern das Verhältnis selbst — dieselbe Streuung geteilt durch einen negativen Mittelwert ergibt eine negative Antwort, und diese Zahl liest sich wie eine sehr gute Stabilität, also genau verkehrt herum. Eine Einordnung in Stufen fehlt auf dieser Seite bewusst. Aussagen wie „unter 10% gilt als geringe Schwankung“ sind weit verbreitet und hier nichts wert: Sie lassen sich auf keine Quelle zurückführen, und sie verschieben sich von Fach zu Fach — in der analytischen Chemie gilt 5% als Richtwert, in der Sozialforschung gelten 30% als unauffällig. Eine solche Grenze auf die Seite zu schreiben hieße, einen Schwellenwert zu erfinden und ihn als Standard auszugeben. Zu bedenken ist drittens, dass der Variationskoeffizient ein Quotient zweier Schätzgrößen ist und bei kleinen Reihen instabil wird: Schon der Mittelwert im Nenner ist mit Unsicherheit behaftet, und der Prozentsatz erbt diese Unsicherheit vollständig. Schließlich fasst die Liste 200 Zahlen, und eine Schreibweise wie 1.500 wird abgewiesen statt geraten — schreiben Sie 1500 oder 1,5.

Wie wird der Variationskoeffizient berechnet?

Standardabweichung geteilt durch den Mittelwert, danach mal 100%. Für die Reihe 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 ist der Mittelwert 5 und die Standardabweichung als Stichprobe 2,1381, das Verhältnis also 0,4276 — der Variationskoeffizient beträgt damit 42,76%. Die Formel für die relative Standardabweichung ist dieselbe, es ist nur ein anderer Name. Standardabweichung und Mittelwert stehen beide auf dem Panel, die Division lässt sich also ohne Nachrechnen prüfen.

Was sagt der Variationskoeffizient aus?

Er setzt die Streuung ins Verhältnis zu der Größe, zu der sie gehört, und gibt das Ergebnis üblicherweise als Prozentzahl an. Eine Streuung von 8 kg bei einem Mittelwert von 62 kg ist etwas anderes als eine Streuung von 8 kg bei einem Mittelwert von 800 kg; nach der Division sind beide vergleichbar — 12,9% gegenüber 1%. Weil sich die Einheiten in dieser Division herauskürzen, ist das Ergebnis dimensionslos.

Sind relative Standardabweichung und Variationskoeffizient dasselbe?

Ja. Relative Standardabweichung, RSD und Variationskoeffizient sind drei Namen für dieselbe Kennzahl. Im Labor spricht man von RSD und schreibt Prozentwerte, in Statistiklehrbüchern spricht man vom Variationskoeffizienten und schreibt das Verhältnis manchmal als 0,4276 statt als 42,76%. Dieser Unterschied ist nur ein Faktor hundert samt Prozentzeichen und die häufigste Quelle von Missverständnissen, wenn Zahlen aus zwei Quellen nebeneinandergelegt werden. Diese Seite gibt den Prozentsatz aus.

Warum darf der Mittelwert nicht null oder negativ sein?

Weil die Antwort sonst undefiniert oder irreführend wäre. Eine Division durch einen Mittelwert von null hat überhaupt kein Ergebnis, und dieselbe Streuung geteilt durch einen negativen Mittelwert ergibt einen negativen Prozentsatz, der sich wie eine sehr gute Stabilität liest, also genau falsch herum. Die Einschränkung schließt Lufttemperaturen in Celsius, Gewinne und Verluste sowie jede von einem Bezugspunkt aus gemessene Abweichung aus. Solche Daten lassen sich weiterhin mit der Standardabweichung beschreiben, nur nicht mit diesem Verhältnis.

Ab wann ist ein Variationskoeffizient groß?

Dafür gibt es keine allgemeine Antwort, und diese Seite gibt bewusst keine Stufen an. Erfahrungssätze wie „unter 10% gilt als geringe Schwankung“ sind weit verbreitet, lassen sich aber nicht auf eine Quelle zurückführen und verschieben sich von Fach zu Fach — in der analytischen Chemie zieht ein validiertes Verfahren die Grenze oft bei 5%, während Forschende in der Sozialforschung 30% gelassen sehen. Die richtige Vergleichsgröße sind gleichartige Messungen: Ob diese Charge stärker schwankt als die vorherigen, ist die Frage, die sich beantworten lässt.

Kann der Variationskoeffizient negativ sein?

Auf dieser Seite nicht, und ein negativer Wert, der anderswo auftaucht, ist ein Hinweis auf einen Fehler. Eine Standardabweichung ist nie negativ, das Vorzeichen des Verhältnisses kann also nur vom Mittelwert stammen — und ein negativer Mittelwert ist genau der Fall, in dem diese Seite die Antwort verweigert. Ein negatives Ergebnis heißt deshalb nicht „sehr stabil“, sondern entweder, dass das Komma um eine Stelle verrutscht ist, oder dass ein Mittelwert als Nenner benutzt wurde, der dafür nicht taugt.

Darf ich negative Zahlen eingeben?

Die Zahlen selbst dürfen negativ sein, sie kommen in solchen Reihen regelmäßig vor. Zu beachten ist aber, dass diese Seite bei einem negativen Mittelwert mit einem Fehler abbricht und kein Ergebnis liefert — eine Reihe, die vollständig aus negativen Werten besteht, ergibt also keinen Variationskoeffizienten, weil dieselbe Streuung geteilt durch einen negativen Mittelwert eine Antwort liefert, die genau das Gegenteil aussagt. Für die Beschreibung der Schwankung solcher Daten ist die Standardabweichung das Mittel der Wahl.

• Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.6.6.1 — der Variationskoeffizient als Verhältnis σ / μ, mit dem Hinweis, dass er nur für positive Mittelwerte sinnvoll ist — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.7 — die Standardabweichung und der Unterschied zwischen der Rechnung für eine Stichprobe und für eine Grundgesamtheit — OpenStax (Rice University)