Relative-Standardabweichung-Rechner

Relative Standardabweichung = (s ÷ x̄) × 100%

s

Die Standardabweichung der Messwerte, in derselben Einheit wie die Daten. Ob darunter die Stichprobe oder die Grundgesamtheit verstanden wird, wählen Sie aus; die Wahl verändert diesen Wert und damit die Antwort

x̄

Der Mittelwert derselben Messwerte. Er muss echt größer als null sein: Bei einem Mittelwert von 0 steht im Nenner eine Null, und bei einem negativen Mittelwert hat das Verhältnis als Maß für die relative Streuung keine Bedeutung

Relative Standardabweichung

Die relative Standardabweichung als Prozentzahl. Sie ist dimensionslos — die Einheit der Standardabweichung und die des Mittelwerts kürzen sich in dieser Division heraus —, deshalb lassen sich Ergebnisse von verschiedenen Geräten und aus verschiedenen Messbereichen nebeneinander stellen

n

Die Anzahl der Messwerte, auf dieser Seite höchstens 200. Eine Größe mehrfach zu messen verkleinert die Standardabweichung, deshalb gehört zur Angabe einer Präzision auch die Anzahl der Messungen, sonst ist sie unvollständig

Immer wenn eine Streuung im Verhältnis zu der Größe beurteilt werden soll, die gemessen wurde: wiederholte Bestimmungen derselben Probe, die Punkte einer Kalibrierkurve, die Schwankung einer Messung von Tag zu Tag, das Rauschen eines Sensors, dessen Ausgangssignal driftet. Die Formel ist dieselbe wie auf der Seite für den Variationskoeffizienten, und beide Namen tauchen ohnehin stets zusammen auf — welcher benutzt wird, hängt von der Fachrichtung ab. In der analytischen Chemie, in der Messtechnik und in klinischen Laboren heißt die Größe relative Standardabweichung, meist abgekürzt RSD, und ein Wert unter 5% gilt häufig als gute Wiederholbarkeit, wobei diese Zahl von der Methode vorgegeben wird und keine allgemeine Regel ist. In den Sozial- und Wirtschaftswissenschaften ist für dieselbe Rechnung der Name Variationskoeffizient üblich, angewandt auf Einkommen, Preise oder Renditen. Benutzt werden sollte der Name, den die Leserschaft erwartet; die Zahl ist dieselbe. Zu beachten ist dabei, dass die Präzision einer Methode nicht konstant ist: Bei kleinen Gehalten wächst die relative Standardabweichung typischerweise an, weshalb sie über mehrere Konzentrationen hinweg geprüft wird und nicht an einer einzigen Stelle.

1. Acht Werte, als Stichprobe gerechnet

   1. Der Mittelwert ist 40 ÷ 8 = 5
   2. Die Standardabweichung der Stichprobe ist 2,1381
   3. 2,1381 ÷ 5 = 0,427618…, als Prozentzahl: 42,76%

   Diese Reihe ist absichtlich weit gestreut, und die 42,76% sagen das auch: Der typische Abstand vom Mittelwert beträgt ungefähr die Hälfte des Mittelwerts selbst. In einer einzigen Prozentzahl steckt dabei der ganze Vergleich — dieselben Werte in Millimetern statt in Metern ergeben exakt dasselbe, weil sich die Einheit in der Division herauskürzt.

2. Dieselben Werte als Grundgesamtheit

   1. Nur der Divisor ändert sich: mit n statt n − 1 ist die Standardabweichung 2 statt 2,1381
   2. Der Mittelwert bleibt bei 5
   3. 2 ÷ 5 = 0,4, die relative Standardabweichung ist also 40,00%

   Die beiden Divisoren unterscheiden sich um den Faktor √(8/7), das verschiebt die Standardabweichung um rund 7% und die Prozentzahl von 42,76 auf 40,00. Wird eine Probe fünfmal gemessen, sind diese fünf Werte eine Stichprobe aus einem größeren Prozess, und deshalb ist n − 1 die übliche Wahl; die Grundgesamtheit passt nur, wenn die Liste tatsächlich alles ist, was es gibt.

3. Fünf Wiederholmessungen derselben Probe

   1. Der Mittelwert der fünf Werte ist 241 ÷ 5 = 48,2
   2. Ihre Standardabweichung als Stichprobe ist 0,255
   3. 0,255 ÷ 48,2 = 0,005289…, als Prozentzahl: 0,53%

   So sieht eine echte Präzisionsprüfung aus: dieselbe Messung fünfmal wiederholt, die Werte streuen um etwa eine Viertel-Einheit um 48,2. In den Bericht geht die 0,53% und nicht die 0,255 — ohne den Hintergrund, dass die Messwerte selbst um 48 liegen, sagt eine Standardabweichung von 0,255 überhaupt nichts aus. Dieselben 0,255 wären bei einem Mittelwert von 1 schon 25,5%, und genau das ist der ganze Grund, das Verhältnis zu berichten und nicht die Standardabweichung.

4. Alle Messwerte sind identisch

   1. Der Mittelwert ist 10, die Standardabweichung 0 — zwischen den beiden Messwerten besteht kein Unterschied
   2. 0 ÷ 10 = 0, die relative Standardabweichung ist also 0,00%

   Die 0 ist hier ein errechnetes Ergebnis und kein Ausfall: Sie sagt, dass diese Messung vollständig wiederholt wurde. Geräte mit fester Stellenzahl des Messwerts bringen das durchaus zustande, und dies ist der einzige Fall, in dem die relative Standardabweichung nicht unterscheiden kann zwischen einer hervorragenden Präzision und einer Messung, die gar keine Veränderung mehr erfasst — es ist die Null, die hier spricht.

Der Mittelwert muss echt größer als null sein, und das ist eine sachliche Einschränkung und kein technisches Detail. Bei einem Mittelwert von 0 müsste die Standardabweichung durch 0 geteilt werden, die Antwort ist dann nicht definiert; bei einem negativen Mittelwert lässt sich das Verhältnis zwar ausrechnen, es hat aber keine Bedeutung, weil eine Streuung geteilt durch ein negatives Zentrum keine relative Schwankung misst. Daten, die die Null kreuzen — Temperaturen in Celsius, Gewinne und Verluste, Höhen über und unter dem Meeresspiegel — liegen deshalb außerhalb des Anwendungsbereichs, ebenso jede Messung auf einer Intervallskala statt einer Verhältnisskala, denn eine prozentuale Veränderung hängt davon ab, wo der Nullpunkt gesetzt wurde. Zwei Datenreihen können dieselbe relative Standardabweichung haben und völlig verschiedene Formen: Diese Zahl benutzt nur Mittelwert und Standardabweichung und erkennt weder Schiefe noch dicke Ränder noch eine zweite Häufung. Ein kleiner Wert ist außerdem nicht automatisch besser — eine relative Standardabweichung nahe null kann auch nur heißen, dass das Gerät grob auflöst und alles auf denselben Messwert rundet. Einen allgemeinen Schwellenwert dafür, was gut ist, gibt es nicht: Akzeptable Werte stammen aus der Methode, der Spezifikation oder der Branchenüblichkeit, und deshalb gibt diese Seite nur die Zahl aus und kein Urteil. Die Liste fasst 200 Werte, und eine Schreibweise wie 1.500 wird abgewiesen statt geraten, weil ein Trennzeichen zwischen Ziffern in manchen Ländern ein Dezimaltrenner und in anderen ein Tausendertrenner ist.

Was ist die relative Standardabweichung?

Sie ist die Standardabweichung geteilt durch den Mittelwert, angegeben als Prozentzahl: Relative Standardabweichung = (s ÷ x̄) × 100%. Für die Werte 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 mit einer Standardabweichung von 2,1381 und einem Mittelwert von 5 ergibt das 42,76%. Die Division durch den Mittelwert ist der Schritt, der die Zahl mit der Größe des Gemessenen vergleichbar macht — ein Messwert von 48,2 mit einer Streuung von 0,255 ist 0,53%, während dieselben 0,255 neben einem Mittelwert von 1 schon 25,5% wären.

Ist das dasselbe wie der Variationskoeffizient?

Ja — beide Namen bezeichnen dieselbe Rechnung, der Unterschied besteht nur darin, ob mit 100 multipliziert wird. Die meisten Programme (darunter das hier zitierte Handbuch) nennen sie coefficient of variation und geben das reine Verhältnis aus, also 0,4276 statt 42,76%; in Labor- und Messtechnikdokumenten heißt sie häufiger relative Standardabweichung und wird als Prozentzahl geschrieben. Dieselben Daten ergeben auf dieser Seite also genau das Hundertfache des Wertes der Seite für den Variationskoeffizienten, und die einzige andere Stellschraube, die zwei Werkzeuge zu verschiedenen Ergebnissen bringt, ist die Wahl zwischen Stichprobe und Grundgesamtheit.

Gibt es eine Grenze dafür, ab wann eine Präzision gut ist?

Eine allgemeine Grenze gibt es nicht, und diese Seite nennt bewusst keine. In der analytischen Chemie heißt es oft, eine relative Standardabweichung unter 5% sei eine gute Wiederholbarkeit, aber diese Zahl stammt aus der Üblichkeit einer Branche und aus den Anforderungen einer bestimmten Methode — was in der geochemischen Analyse verlangt wird, kann weit von den Annahmegrenzen klinischer Bestimmungen entfernt sein. Solche veröffentlichten Schwellen sind als Faustregel des jeweiligen Fachs zu lesen und nicht als Eigenschaft dieser Kennzahl. Zu tun ist vielmehr, den eigenen Wert mit der Präzision zu vergleichen, die für Methode oder Gerät vorgeschrieben ist.

Was passiert, wenn in meinen Daten negative Werte vorkommen?

Die Rechnung wird abgewiesen, und das ist beabsichtigt. Die relative Standardabweichung braucht einen echt positiven Mittelwert: Bei einem Mittelwert von 0 wird durch 0 geteilt, und bei einem negativen Mittelwert ergibt die Division eine negative Prozentzahl, die über die relative Schwankung nichts aussagt. Der Grund liegt tiefer: Diese Kennzahl hat nur für Messungen auf einer Verhältnisskala einen Sinn — einer Skala mit einem echten Nullpunkt, bei der 2 Kilogramm tatsächlich das Doppelte von 1 Kilogramm sind. Temperaturen in Celsius, Gewinne und Verluste und Höhen über und unter dem Meeresspiegel liegen auf einer Intervallskala, deren Nullpunkt vereinbart ist, weshalb ein solches Verhältnis dort nichts bedeutet.

Worin unterscheiden sich Präzision und Richtigkeit?

Die Präzision sagt, wie nah wiederholte Messungen beieinanderliegen, die Richtigkeit sagt, wie nah sie am wahren Wert liegen. Die relative Standardabweichung misst das Erstere: Wird dieselbe Probe fünfmal gemessen und liegen alle Werte zwischen 48,0 und 48,5, ist die relative Standardabweichung klein — ist der wahre Wert aber 50, dann sind diese fünf Messungen präzise und trotzdem falsch, und der Zahl auf dieser Seite ist das nicht anzusehen. Für die Beurteilung der Richtigkeit muss eine Messung mit einem bekannten Referenzwert verglichen werden, und das ist eine andere Aufgabe, die nicht in den Bereich dieser Seite fällt.

Stichprobe oder Grundgesamtheit?

Sobald die Messwerte eine Stichprobe aus etwas Größerem sind, ist die Fassung mit n − 1 die richtige — auch im häufigsten Fall, in dem eine Probe fünfmal gemessen wird, denn diese fünf Messungen stehen für alle Messungen, die möglich gewesen wären. Die Fassung mit n passt nur, wenn die Liste tatsächlich alle Werte enthält, die es gibt. Bei langen Reihen ist der Unterschied klein, bei kurzen deutlich: Für die acht Werte ergibt die Stichprobenfassung 42,76%, die Grundgesamtheit 40,00%, also fast drei Prozentpunkte Unterschied.

• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 — die Definition der Standardabweichung, auf der diese Seite aufbaut, mit dem Hinweis, dass die quadrierten Abweichungen vom Mittelwert weit entfernte Werte stärker gewichten — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Normal Distribution — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.6.6.1 — der Variationskoeffizient σ / μ in der Übersicht der gebräuchlichen Verteilungskenngrößen, also die Größe, die diese Seite als Prozentzahl ausgibt; das Handbuch benutzt den Namen coefficient of variation — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Die Eignung von Analysenverfahren — Ein Leitfaden für Laboratorien zur Verfahrensvalidierung und zu verwandten Themen, zweite Ausgabe, deutsche Übersetzung — behandelt die Präzision in ihren Stufen, darunter Wiederholpräzision und Vergleichspräzision, sowie die Angabe von Präzisionsgrenzen — EUROLAB Deutschland