Durchschnitts-Rechner

Durchschnitt = Σ xᵢ ÷ n

xᵢ

Eine Zahl der Liste. Jede zählt gleich viel — es gibt keine Stelle, an der sich festlegen ließe, dass eine Zahl wichtiger wäre als eine andere

n

Die Anzahl der Zahlen, auf dieser Seite höchstens 200. Sie steht auf dem Ergebnisfeld, sodass sich die Division nachprüfen lässt, ohne zurückzählen zu müssen

Σ xᵢ

Die Summe aller Zahlen, die ebenfalls ausgegeben wird. Summieren heißt schlicht addieren. Summe und Anzahl zusammen verraten meist schon einen Eingabefehler: Fünf Werte mit der Summe 433 sind plausibel, mit der Summe 4330 nicht

Minimum / Maximum

Der kleinste und der größte Wert der Reihe. Der Durchschnitt liegt immer zwischen ihnen und kann nicht ausbrechen; und ob eine Reihe dicht beieinanderliegt oder von einem einzelnen Wert weggezogen wird, ist nur mit diesen beiden Extremwerten zu unterscheiden

Der Durchschnitt ist die richtige Wahl, wenn jeder Wert gleich viel zählen soll und die Summe selbst eine Bedeutung hat: der Notendurchschnitt einer Prüfung, der durchschnittliche Umsatz pro Kundin, der Mittelwert mehrerer Wiederholungsmessungen. Für Verhältnisse und für die Frage „wie viel pro Einheit“ ist er die passendste und am besten erklärbare Kennzahl. Gibt es in der Liste einen extremen Wert, der nicht das Sagen haben soll, braucht man eine andere Größe — ein weit entfernt liegender Wert verschiebt den Durchschnitt um seine Entfernung geteilt durch die Anzahl, weshalb man bei Mieten und Einkommen meist den Median berichtet. Ob der Durchschnitt belastbar ist, lässt sich an einer einzigen Stelle ablesen: Liegt er ungefähr in der Mitte zwischen den beiden Extremwerten, ist die Reihe ausgewogen und der Durchschnitt beschreibt sie; liegt er dicht an einem der beiden Enden, steht der Großteil der Werte auf der anderen Seite und er wird gerade weggezogen.

1. Fünf Prüfungsergebnisse

   1. Summe: 85 + 90 + 78 + 92 + 88 = 433
   2. Anzahl: 5 Ergebnisse
   3. Durchschnitt: 433 ÷ 5 = 86,6
   4. Minimum 78, Maximum 92 — der Durchschnitt liegt dazwischen, und zwar etwa in der Mitte

   Der Durchschnitt von 86,6 liegt nahe an der Mitte des Bereichs von 78 bis 92, und so sieht eine ausgewogene Reihe aus: Kein einzelnes Ergebnis zieht ihn weg. Beachten Sie, dass der Durchschnitt mit keinem der Ergebnisse übereinstimmt — das muss er auch nicht, der Durchschnitt von fünf Zahlen ist eine sechste Zahl, völlig normal. Summe und Anzahl stehen beide auf dem Panel, sodass sich die Herkunft der 86,6 aus 433 geteilt durch 5 selbst nachrechnen lässt.

2. Eine Reihe mit negativen Werten

   1. Summe: −5 + (−1) + 3 = −3
   2. Anzahl: 3
   3. Durchschnitt: −3 ÷ 3 = −1
   4. Minimum −5, Maximum 3

   Negative Werte werden angenommen, weil sie in echten Daten überall vorkommen: Tagestemperaturen einer Woche, Gewinne und Verluste, Abweichungen von einem Bezugspunkt. Mit negativen Werten gelten zwei Dinge weiterhin. Erstens kann der Durchschnitt an einer Stelle liegen, die man bei lauter positiven Zahlen nicht erwarten würde; zweitens ist das Minimum weiterhin der am stärksten negative Wert und nicht der betragsmäßig größte — die −5 ist kleiner als die −1, obwohl die 5 die größere Ziffer ist. Diese Reihenfolge zu vertauschen ist die häufigste Ursache dafür, dass Minimum und Maximum vertauscht im Ergebnis stehen.

3. Nur eine einzige Zahl

   1. Summe: 42
   2. Anzahl: 1
   3. Durchschnitt: 42 ÷ 1 = 42
   4. Da nur ein Wert vorliegt, sind Minimum und Maximum beide 42

   Eine einzelne Zahl ist eine zulässige Liste, und die Antwort ist sie selbst — was alle überrascht, die zwei Werte für das Minimum halten. Kein Schritt braucht hier einen zweiten Wert: Summe und Anzahl sind 42 und 1, die Division ist definiert, und der Durchschnitt einer einzelnen Messung ist diese Messung. Dass Minimum und Maximum auf dieselbe Zahl zusammenfallen, ist die zutreffende Lesart und nicht etwa ein Aufgeben der Seite.

Dies ist das arithmetische Mittel einer Reihe, und es kann nicht gewichten: Jede Zahl zählt genau einmal, Häufigkeitstabellen und gewichtete Erhebungen brauchen ein anderes Verfahren — steht in der Liste ein Wert, der für mehrere Datensätze steht, liefert diese Seite das falsche Ergebnis. Es ist außerdem diejenige Kennzahl, die am leichtesten weggezogen wird: Ein weit entfernt liegender Wert verschiebt den Durchschnitt um seine Entfernung geteilt durch die Anzahl, und genau deshalb werden Minimum und Maximum daneben ausgegeben statt dem Leser überlassen. Über die Werte dazwischen sagt der Durchschnitt nichts: Zwei Reihen können denselben Durchschnitt und dieselben beiden Enden haben und trotzdem völlig verschieden aussehen — die eine drängt sich in der Mitte, die andere zerfällt in zwei Haufen an den Enden. Die Liste fasst höchstens 200 Zahlen, und eine Schreibweise wie 1,500 oder 1.500 wird abgewiesen statt geraten: Ein Trennzeichen zwischen Ziffern ist in manchen Ländern ein Dezimaltrenner und in anderen ein Tausendertrenner — schreiben Sie 1500 oder 1,5.

Wie wird der Durchschnitt berechnet?

Alle Zahlen addieren und die Summe durch ihre Anzahl teilen. Für die fünf Ergebnisse 85, 90, 78, 92, 88 etwa ist die Summe 433 und die Anzahl 5, der Durchschnitt also 433 ÷ 5 = 86,6. Summieren heißt hier schlicht addieren. Beide Rechengrößen stehen auf dem Ergebnisfeld, sodass sich die Division nachprüfen lässt, ohne die Liste noch einmal durchzugehen.

Wo liegt der Unterschied zwischen Durchschnitt und Mittelwert?

Im alltäglichen Sprachgebrauch gibt es keinen, beide meinen dieselbe Zahl: die Summe geteilt durch die Anzahl, also das arithmetische Mittel. Vorsicht ist bei Formulierungen angebracht, die „Mittel“ oder „Durchschnitt“ ohne Zusatz verwenden — dahinter kann auch der Median oder ein gewichtetes Mittel stecken. Wer eine Zahl als „durchschnittlich“ berichtet bekommt, sollte nachfragen, welche der Varianten gemeint ist.

Darf ich negative Werte eingeben?

Ja. Tagestemperaturen einer Woche, Gewinne und Verluste oder Abweichungen von einem Bezugspunkt sind zulässige Listen, und am Rechenweg ändert sich nichts. Bei negativen Werten lohnt ein Blick auf Minimum und Maximum: Das Minimum ist der am stärksten negative Wert und nicht der betragsmäßig größte, die −5 ist also kleiner als die −1.

Warum werden Maximum und Minimum mit ausgegeben?

Weil man einem Durchschnitt allein nicht ansieht, ob er die Daten gut beschreibt. Ein Durchschnitt von 86,6 bei Ergebnissen von 78 bis 92 ist eine stabile Leistung; derselbe Durchschnitt bei Ergebnissen von 40 bis 100 gehört zu einer Reihe, die in zwei Hälften zerfällt, und der Durchschnitt verdeckt das. Die beiden Extremwerte stecken den Rahmen ab und zeigen, welchem Ende der Durchschnitt näher liegt.

Wie stark kann ein einzelner extremer Wert den Durchschnitt verschieben?

Um seine Entfernung geteilt durch die Anzahl, deshalb sinkt sein Einfluss, je länger die Liste ist. In einer Liste mit fünf Werten hebt der Austausch einer 92 gegen eine 100 den Durchschnitt um 1,6; in einer Liste mit fünfzig Werten hebt derselbe Austausch ihn nur um 0,16. Das ist der Grund, warum der Durchschnitt bei langen Listen eine verlässliche Kennzahl ist und bei kurzen Listen mit einem deutlichen Ausreißer sehr empfindlich reagiert.

• Mittelwerte und Durchschnitte — eLearning Modul 14 der Statistischen Ämter des Bundes und der Länder: das arithmetische Mittel als Summe geteilt durch die Anzahl — Statistisches Bundesamt (Destatis)
• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 — die Definition von Mittelwert, Median und Modus und der Einfluss einzelner extremer Werte auf den Mittelwert — OpenStax (Rice University)
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 — der Mittelwert als Gleichgewichtspunkt der Daten und die Begründung, warum ein einzelner extremer Wert ihn verschieben kann — National Institute of Standards and Technology (NIST)