Quadratsummen-Rechner

Summe der Abweichungsquadrate = Σ (xᵢ − x̄)² = Σ xᵢ² − (Σ xᵢ)² ÷ n

xᵢ

Jeder einzelne Wert der Liste, einer nach dem anderen. Jeder Wert steuert sein eigenes Quadrat bei, ein ausgelassener Wert verändert die Summe also

x̄

Der Mittelwert dieser Werte. Von ihm aus werden die Abweichungen gemessen, und gewählt wird er gerade deshalb, weil sich die Abweichungen um ihn herum zu 0 aufheben

Summe der Abweichungsquadrate

Die Summe der Abweichungsquadrate — das Hauptergebnis dieser Seite. Sie ist genau dann 0, wenn jeder Wert derselbe ist; sie wächst sowohl mit der Größe der einzelnen Abweichung als auch mit der Anzahl der Werte

Σ xᵢ²

Die Summe der quadrierten Werte, also jeder Wert erst quadriert und dann addiert. Sie ist der erste Term der Identität und von den beiden Quadratsummen die, die am leichtesten verwechselt wird — beide heißen Quadratsumme

Σ xᵢ

Die Summe der Werte, ohne dass vorher quadriert wurde. Quadriert und durch n geteilt ist sie der Term, der Σ xᵢ² zur Summe der Abweichungsquadrate korrigiert

n

Die Anzahl der Werte, auf dieser Seite höchstens 200. Sie tritt zweimal auf — als Divisor im Korrekturterm und als ausgegebene Anzahl zum Nachprüfen

Sinnvoll ist diese Seite immer dann, wenn der Zwischenschritt und nicht die fertige Größe gebraucht wird: beim Nachrechnen von Varianz oder Standardabweichung von Hand, beim Erklären, warum diese beiden Größen die Abweichung quadrieren, und beim Vergleich, wie viel der Gesamtvariation ein Modell aufnimmt. Sie ist außerdem die natürliche Schreibweise, sobald man mit Summen statt mit Mittelwerten arbeitet, etwa in der Varianzanalyse — dieses Verfahren führt seine ganze Buchhaltung über Quadratsummen. In einer Regression mit Achsenabschnitt ist diese Größe dasselbe wie die Gesamtquadratsumme, und die Anpassungsgüte eines Modells sagt, wie viel davon die gefittete Gerade aufnimmt. Die rechte Seite der Identität verdient noch aus einem zweiten Grund Beachtung: Vor der Erfindung von Rechenmaschinen war sie das Rechenverfahren, und viele Formeln sind heute noch so geschrieben — nur verlieren bei großen Werten und kleiner Streuung genau dort Stellen an Genauigkeit. Der Rechner oben geht deshalb den Weg über die Definition und gibt die Terme der Identität nur aus, damit beide Wege dasselbe liefern. Und schließlich noch ein Hinweis auf etwas, das diese Seite nicht liefert: Eine einzelne Abweichung lässt sich hier nicht verfolgen, ausgegeben wird immer die Gesamtsumme.

1. Acht Werte: beide Wege ergeben 32

   1. Der Mittelwert ist 40 / 8 = 5
   2. Die Abweichungen sind −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4 und ergeben zusammen 0 — das ist immer so
   3. Quadriert ergeben sie 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 und in der Summe 32
   4. Der andere Weg: Die Summe der quadrierten Werte ist 232, (Σx)² / n ist 1600 / 8 = 200, und 232 − 200 = 32

   Beide Wege landen bei 32, und genau das zu sehen ist der halbe Zweck dieser Seite. Die ersten drei Abweichungen sind negativ und die letzten beiden positiv — das ist der Grund, warum überhaupt quadriert werden muss: Unquadriert summieren sie sich zu 0, und zwei verschiedene Datenreihen ließen sich so nicht unterscheiden.

2. Zwei Werte, der Mittelwert hat Nachkommastellen

   1. Der Mittelwert ist 3 / 2 = 1,5, die Abweichungen sind also −0,5 und +0,5
   2. Quadriert ergeben sie 0,25 und 0,25, die Summe ist damit 0,5 — nicht 1
   3. Der andere Weg: 5 − 3² / 2 = 5 − 4,5 = 0,5, die Nachkommastellen entstehen im Subtrahieren

   Bei zwei Werten ist die Summe der Abweichungsquadrate höchstens das halbe Quadrat ihres Abstands, und hier liegt genau dieser Kleinstfall vor: Beide Abweichungen tragen je die Hälfte des Abstands. Der häufigste Fehler ist, den Abstand direkt zu quadrieren — das ergäbe hier 1 statt 0,5, denn der Abstand ist selbst schon die Differenz zweier Abweichungen und wird so doppelt gezählt.

3. Ein einziger Wert: 0 gegen 1764

   1. Bei einem einzigen Wert ist der Mittelwert der Wert selbst, also 42
   2. Die Abweichung ist 42 − 42 = 0, und 0² bleibt 0, die Summe der Abweichungsquadrate ist damit 0
   3. Die Summe der quadrierten Werte ist eine völlig andere Größe: 42² = 1764

   Die beiden Größen, die beide Quadratsumme heißen, unterscheiden sich hier um drei Größenordnungen und stehen doch im selben Panel. Genau dieser Fall macht den Unterschied greifbar: Bei längeren Listen liegen die beiden Zahlen meist in derselben Größenordnung, und dann greift man leicht zur falschen. Die Summe der Abweichungsquadrate ist 0, weil ein einzelner Wert nicht von sich selbst abweichen kann — das ist ein echtes Ergebnis und kein Fehler, und es ist auch der Grund, warum diese Seite nicht wie die Varianz mindestens zwei Werte verlangt.

4. Vier gleiche Werte

   1. Der Mittelwert ist 12 / 4 = 3, jede Abweichung ist also 0
   2. Die Summe der Abweichungsquadrate ist 0
   3. Die Summe der quadrierten Werte ist 3² + 3² + 3² + 3² = 36; sie ist nicht 0 und wird es nie

   Die 0 sagt hier, dass die Daten überhaupt nicht streuen, und obwohl oben dieselbe 0 steht, sind es zwei verschiedene Dinge: Hier gibt es vier Beobachtungen, die völlig übereinstimmen, dort existiert nur eine einzige Beobachtung. Die Summe der quadrierten Werte läuft in die entgegengesetzte Richtung — sie wächst mit jedem zusätzlichen Wert, unabhängig davon, wie stark gestreut wird.

Das größte Risiko dieser Seite steckt im Namen. Zwei verschiedene Größen heißen Quadratsumme, und beide stehen auf diesem Panel: Die Summe der Abweichungsquadrate Σ(x − x̄)² ist die Antwort dieser Seite, die Summe der quadrierten Werte Σx² ist nur ein Term der Identität. Bei einer Liste mit einem einzigen Wert unterscheiden sie sich um drei Größenordnungen, deshalb lohnt vor dem Zitieren der Blick auf die Zeilenbeschriftung. Die zweite Einschränkung betrifft das, was hier nicht passiert: Eine Regression zerlegt die Gesamtquadratsumme in den Teil, den die gefittete Gerade erklärt, und den Rest — diese Zerlegung ist hier nicht zu haben. Sie braucht eine zweite Datenreihe (die unabhängige Variable) und eine durch die Daten gelegte Gerade, und in diesem Abschnitt fittet keine Seite eine Gerade; die Kovarianzseite endet beim Korrelationskoeffizienten. Wahr ist dagegen — und wissenswert —, dass in einer Regression mit Achsenabschnitt die Gesamtquadratsumme dieselbe Größe ist wie die hier berechnete, nur auf die erklärte Variable angewandt; es fehlt allein die Zerlegung. Und ein praktischer Grund kommt hinzu, warum der Rechner über die Definition und nicht über die Identität rechnet: Die Subtraktion zweier großer, nahe beieinanderliegender Zahlen kostet Stellen, weshalb der rechte Weg bei großen Werten mit kleiner Streuung spürbar danebenliegt. Die Identität steht zum Nachprüfen da, nicht zum Rechnen. Die Liste fasst höchstens 200 Werte, und Schreibweisen wie 1,500 werden abgewiesen statt erraten: Ein Trennzeichen zwischen Ziffern ist in manchen Ländern ein Dezimaltrenner und in anderen ein Tausendertrenner — schreiben Sie 1500 oder 1,5.

Wie wird die Quadratsumme berechnet?

Erst den Mittelwert bestimmen, dann jeden Wert vom Mittelwert abziehen, jedes Ergebnis quadrieren und zuletzt addieren. Für 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 ist der Mittelwert 5, die Abweichungen sind −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4, und ihre Quadrate addieren sich zu 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32. Jeder Wert trägt bei, auch die, die genau auf dem Mittelwert liegen — sie steuern eine 0 bei.

Warum müssen die Abweichungen quadriert werden, reicht Addieren nicht?

Weil sich unquadrierte Abweichungen immer genau zu 0 summieren. Werte unterhalb des Mittelwerts heben die oberhalb auf, bei jeder beliebigen Datenreihe, deshalb trägt die Summe der Abweichungen keinerlei Information über die Streuung. Das Quadrieren leistet zweierlei: Es macht jeden Summanden positiv, sodass nichts sich aufhebt, und es gibt weit vom Mittelwert entfernten Werten ein größeres Gewicht — ein Abstand von zwei Einheiten trägt 4 bei, ein Abstand von zwanzig Einheiten 400. Das zweite ist Absicht und der Grund, warum die Quadratsumme und die daraus berechnete Varianz so heftig auf einzelne Extremwerte reagieren.

Warum stehen auf dieser Seite zwei Größen, die beide Quadratsumme heißen?

Weil die Statistik zwei Größen unter diesem Namen führt und diese Seite beide ausgibt. Die Summe der Abweichungsquadrate Σ(x − x̄)² ist die Antwort dieser Seite und der Zähler der Varianz; die Summe der quadrierten Werte Σx² entsteht, wenn jeder Wert für sich quadriert und addiert wird, ohne dass vorher ein Mittelwert abgezogen wurde. Verbunden sind sie durch die Identität Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)² / n, und genau deshalb steht die zweite Größe auf dem Bildschirm. Ersetzen können sie einander nicht: Für den einzelnen Wert 42 ist die Summe der Abweichungsquadrate 0 und die Summe der quadrierten Werte 1764.

Ändert die Wahl zwischen Stichprobe und Grundgesamtheit das Ergebnis?

Nein, und deshalb fehlt auf dieser Seite auch der Umschalter. Die beiden Formeln unterscheiden sich nur im Divisor — n − 1 gegen n — und die Quadratsumme dividiert überhaupt nicht: Für eine gegebene Reihe ist sie eine einzige Zahl. Die Wahl taucht bei der Varianz und bei der Standardabweichung auf, weil dort geteilt wird, und genau deshalb kann dieselbe Reihe zwei Varianzen haben, aber nur eine Quadratsumme.

Wie hängt sie mit Varianz und Standardabweichung zusammen?

Die Varianz ist diese Zahl geteilt durch die Anzahl der Freiheitsgrade: bei der Stichprobe n − 1, bei der Grundgesamtheit n. Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz. Die Quadratsumme ist also der Rohstoff, und erst die Division macht Datenreihen verschiedener Länge vergleichbar — eine Summe aus acht Werten ist naturgemäß größer als eine aus vier, auch bei gleicher Streuung. Die Division durch n − 1 statt durch n korrigiert zusätzlich eine leichte Unterschätzung, weil die Abweichungen um den Mittelwert der Stichprobe und nicht um den wahren Mittelwert der Grundgesamtheit gemessen werden.

Kann die Quadratsumme negativ werden?

Niemals. Jeder Summand ist ein Quadrat, also entweder 0 oder positiv, und damit ist es die Summe auch. Sie ist genau dann 0, wenn jeder Wert dem Mittelwert entspricht, und das bedeutet, dass alle Werte gleich sind — entweder enthält die Liste nur einen Wert oder alle Werte stimmen überein. Die 0 ist ein echtes Ergebnis und sagt aus, dass die Daten nicht streuen, sie ist kein Fehlersignal. Ein negativer Wert am Bildschirm kann nur daher kommen, dass die Summe der quadrierten Werte mit falschem Vorzeichen erfasst oder eine Quadratdifferenz von Hand falsch gerechnet wurde.

• Mittelwerte und Durchschnitte — eLearning Modul 14 der Statistischen Ämter des Bundes und der Länder: Arithmetisches Mittel und die Rolle der Abweichungen vom Mittelwert — Statistisches Bundesamt (Destatis)
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 — die Varianz als Summe der Abweichungsquadrate geteilt durch n − 1 und der Hinweis, dass das Quadrieren weit entfernten Werten mehr Gewicht gibt — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.7 — die Varianz als Mittel der quadrierten Abweichungen x − x̄, also genau der Größe, die diese Seite vor der Division berechnet — OpenStax (Rice University)