Varianz-Rechner

Varianz = Σ (xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1), bei der Grundgesamtheit wird dieselbe Summe durch n geteilt

xᵢ

Ein einzelner Wert der Reihe. Er geht als Abstand vom Mittelwert in die Rechnung ein, und dieser Abstand wird zuerst quadriert und dann addiert

x̄

Der Mittelwert der Reihe: die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Er wird zusammen mit dem Ergebnis ausgegeben, damit sich der Rechenweg prüfen lässt

n

Die Anzahl der Werte, auf dieser Seite höchstens 200. Bei der Stichprobe wird durch n − 1 geteilt, bei der Grundgesamtheit durch n — das ist der einzige Unterschied zwischen den beiden Varianzen

Σ (xᵢ − x̄)²

Die Summe der Abweichungsquadrate: jeder Abstand wird erst quadriert und dann addiert. Das Quadrieren gibt weit entfernten Werten ein viel größeres Gewicht — ein Abstand von 10 trägt 100 bei, ein Abstand von 2 nur 4

σ²

Die Varianz selbst. Ihre Einheit ist quadriert, und genau das macht sie zu der Größe, die sich gut addieren, aber schlecht unmittelbar lesen lässt

Gebraucht wird die Varianz überall dort, wo mit dem quadrierten Maß weitergerechnet wird: Varianzen aus unabhängigen Quellen lassen sich direkt addieren — die Varianz einer Summe ist die Summe der Varianzen, was für die Standardabweichung nicht gilt — und Varianzanalyse, Regression und die meisten darauf aufbauenden Verfahren erwarten als Eingabe eine Varianz und keine Standardabweichung. Sobald der Wert dagegen von Menschen gelesen wird, nimmt man die Standardabweichung: 4,5714 „Punkte zum Quadrat“ sagt niemandem etwas, während 2,1381 Punkte neben die Noten selbst gestellt werden kann. Beide Ergebnisse werden ausgegeben, die Wahl betrifft nur die Frage, welche Zahl zitiert wird. Und noch ein Unterschied zur Standardabweichung: Auf einen einzelnen extremen Wert reagiert die Streuung hier empfindlicher, weil dessen Abstand vor dem Addieren quadriert wird.

1. Acht Werte, Varianz der Stichprobe

   1. Summe: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40, also 8 Werte mit dem Mittelwert 5
   2. Abweichungen der einzelnen Werte: −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
   3. Summe der Abweichungsquadrate: 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
   4. Varianz der Stichprobe: 32 ÷ (8 − 1) = 4,5714
   5. Standardabweichung als Gegenstück: √4,5714 = 2,1381

   Die Varianz beträgt 4,5714 und die Standardabweichung 2,1381, und das ist kein Zufall: Die eine ist das Quadrat der anderen. Vor dem Ergebnis lohnt der Blick auf die beiden mittleren Schritte — die Summe der Abweichungsquadrate ist die einzige Größe im ganzen Rechenweg, die sich nicht am Ergebnis ablesen lässt, deshalb gibt das Panel sie mit aus, statt sie glauben zu müssen.

2. Dieselbe Reihe als Grundgesamtheit

   1. Die Summe der Abweichungsquadrate bleibt 32
   2. Varianz der Grundgesamtheit: 32 ÷ 8 = 4
   3. Standardabweichung der Grundgesamtheit: √4 = 2

   Dieselbe Reihe ergibt zwei Varianzen, 4,5714 und 4, der Unterschied steckt allein im Divisor. Es lohnt, den Umschalter mit den eigenen Werten einmal zu betätigen: Wenn eine Tabellenkalkulation und diese Seite nicht zusammenpassen, ist der Divisor fast immer die Ursache. Von den beiden Größen reagiert die Varianz empfindlicher auf diese Wahl, weil sie nicht durch das Wurzelziehen abgeschwächt wurde.

3. Vier identische Messwerte: die Streuung ist genau null

   1. Jeder Wert ist 3, also ist der Mittelwert 3 und jede Abweichung 0
   2. Summe der Abweichungsquadrate: 0
   3. Varianz der Grundgesamtheit: 0 ÷ 4 = 0
   4. Standardabweichung der Grundgesamtheit: √0 = 0

   Eine Varianz von null heißt, dass die Reihe überhaupt nicht streut, und das ist der einzige Fall, in dem die Null ein echtes Ergebnis und kein Fehlersignal ist. Daran sieht man auch, warum die Bedingung für den Variationskoeffizienten „positiver Mittelwert“ lautet und nicht „Varianz ungleich null“: eine Streuung von null geteilt durch einen positiven Mittelwert ergibt genau 0% und ist damit völlig in Ordnung.

Dies ist die arithmetische Varianz einer Reihe, und sie kann nicht gewichten: Jeder Wert zählt genau einmal, Häufigkeitstabellen und gewichtete Erhebungen brauchen ein anderes Verfahren. Ihre Einheit ist quadriert — Gramm wird zu Gramm zum Quadrat —, deshalb lässt sich dieser Wert nicht neben die Daten stellen, aus denen er stammt; die Standardabweichung daneben ist genau dafür da. Weil jede Abweichung quadriert wird, überstrahlt ein einziger extremer Wert alle übrigen: Ein Messwert, der zehnmal so weit vom Mittelwert entfernt liegt wie ein anderer, trägt den hundertfachen Betrag bei. Schief verteilte Daten beschreibt man besser über Quartile als über Varianz oder Standardabweichung. Die Liste fasst höchstens 200 Werte, und Schreibweisen wie 1.500 oder 1,500 werden abgewiesen, statt dass die Seite sie errät: Ein Punkt oder Komma zwischen Ziffern ist in manchen Ländern der Dezimaltrenner, in anderen der Tausendertrenner. Schreiben Sie 1500 oder 1,5.

Wie wird die Varianz berechnet?

In vier Schritten. Zuerst alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen, das ergibt den Mittelwert. Dann jeden Wert vom Mittelwert abziehen. Diese Abweichungen quadrieren und aufaddieren, das ergibt die Summe der Abweichungsquadrate. Zuletzt durch n − 1 (Stichprobe) oder n (Grundgesamtheit) teilen. Für 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 etwa beträgt die Summe der Abweichungsquadrate 32, also ist die Varianz der Stichprobe 32 ÷ 7 = 4,5714 und die der Grundgesamtheit 32 ÷ 8 = 4.

Worin unterscheiden sich Varianz und Standardabweichung?

Um eine Wurzel. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz, die beiden sind also Quadrat und Wurzel voneinander: hier 4,5714 und 2,1381. Zum Weiterrechnen taugt die Varianz — Varianzen aus unabhängigen Quellen lassen sich direkt addieren, Standardabweichungen nicht —, deshalb verlangen Verfahren wie die Varianzanalyse eine Varianz als Eingabe. Zum Lesen taugt die Standardabweichung, weil sie in der Einheit der Daten steht und nicht in deren Quadrat.

Warum ändert sich die Varianz nicht, wenn man zu jedem Wert dieselbe Zahl addiert?

Weil die Varianz nur die Abstände zum Mittelwert betrachtet, und der Mittelwert verschiebt sich um genau dieselbe Zahl. Addiert man zu 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 jeweils 100, wandert der Mittelwert von 5 auf 105, während jede einzelne Abweichung unverändert bleibt und die Summe der Abweichungsquadrate bei 32 liegt. Beim Multiplizieren verhält es sich umgekehrt: Die Varianz wird mit dem Quadrat des Faktors multipliziert, die Standardabweichung nur mit dem Faktor selbst.

Kann die Varianz negativ werden?

Nein. Jeder Summand der Abweichungsquadrate ist ein Quadrat, die Summe kann also nicht negativ sein, und der Divisor ist eine positive Anzahl — damit ist null der kleinstmögliche Wert. Er wird nur erreicht, wenn alle Werte gleich sind, etwa bei vier Messwerten von je 3. Eine negative Varianz auf dem Bildschirm kann nur ein Rechenfehler sein und keine Besonderheit der Daten.

Kann ich eine Spalte direkt aus einer Tabelle einfügen?

Ja. Zeilenumbruch, Tabulator, Semikolon, Leerzeichen sowie Komma mit anschließendem Leerzeichen gelten alle als Trennzeichen, eine kopierte Spalte wird also direkt gelesen, und leere Abschnitte werden übersprungen statt als Fehler gemeldet. Gelesen werden höchstens 200 Werte. Eine Schreibweise wird bewusst abgewiesen: 1.500 oder 1,500 — ein Trennzeichen mit genau drei folgenden Ziffern ist in manchen Ländern ein Tausendertrenner und in anderen ein Dezimaltrenner. Schreiben Sie 1500 oder 1,5.

Warum ist die Varianz so viel empfindlicher für einzelne extreme Werte als die Standardabweichung?

Weil vor dem Addieren quadriert wird und das Wurzelziehen erst danach kommt. Ein Wert, der doppelt so weit vom Mittelwert entfernt liegt wie ein anderer, geht mit dem vierfachen Betrag in die Summe der Abweichungsquadrate ein; liegt er zehnmal so weit entfernt, sind es hundertfache Beträge. Die Standardabweichung macht daraus wieder eine Wurzel und dämpft den Effekt, die Varianz behält ihn in voller Höhe. Für die Streuung einer schief verteilten Reihe ist das ein Nachteil, für Verfahren, die auf der Varianz aufbauen, ist es die Eigenschaft, die sie brauchbar macht.

• Deskriptive, univariate Analyse (Verteilungen) — Methodenberatung der Universität Zürich: Varianz und Standardabweichung als Streuungsmaße und ihr Verhältnis zueinander — Universität Zürich, Methodenberatung
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 — Definition von Varianz und Standardabweichung, das Gewicht des Quadrats und die Anfälligkeit der Varianz für Ausreißer — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.7 — die Varianz als Mittel der quadrierten Abweichungen und die Division durch n − 1 bei der Stichprobe — OpenStax (Rice University)