Mittelwert-Median-Modus-Rechner

Mittelwert = Σ xᵢ ÷ n Median = der nach dem Sortieren in der Mitte stehende Wert Modus = der am häufigsten vorkommende Wert

xᵢ

Ein einzelner Wert der Liste. Jeder Wert zählt genau einmal, unabhängig davon, wie nah er an der Mitte oder wie weit er am Rand liegt

n

Die Anzahl der Werte, auf dieser Seite höchstens 200. Alle drei Zentren teilen durch n und nicht durch n − 1 — deshalb fehlt auf dieser Seite auch der Umschalter für Stichprobe und Grundgesamtheit

x̄

Der Mittelwert. Von den drei Zentren ist er das einzige, das jeder einzelne Wert verschiebt: Ein einziger Extremwert zieht ihn zu sich herüber, während Median und Modus unverändert bleiben

M

Der Median: der nach dem Sortieren in der Mitte stehende Wert, bei gerader Anzahl das Mittel der beiden mittleren Werte. Unter ihm liegt die eine Hälfte der Werte, über ihm die andere

f

Die Häufigkeit des Modus — wie oft der häufigste Wert vorkommt. Eine Häufigkeit von 1 heißt, dass kein Wert sich wiederholt; dann liegen alle Werte gleichauf und die Anzahl der Modi entspricht der Anzahl der Werte

Bei schief verteilten Daten — Einkommen, Mietpreise, Wartezeiten, alles, wo einzelne Werte ins Unermessliche wachsen können — berichtet man den Median. Er schaut nicht darauf, wie weit ein Extremwert entfernt liegt, sondern nur darauf, wie viele Werte auf jeder Seite stehen. Der Mittelwert ist dagegen die richtige Wahl, wenn jeder Wert gleich viel zählen soll und die Summe selbst eine Bedeutung hat: Notendurchschnitte, Pro-Kopf-Ausgaben, Durchschnittsgeschwindigkeiten. Für die Frage „Was ist typisch?“ — welche Größe man auf Lager legt, wie viele Personen meistens mitfahren — ist der Modus zuständig, weil er als einziger sagt, welcher Wert sich wiederholt. Stimmen alle drei überein, ist die Verteilung annähernd symmetrisch und die Wahl macht kaum einen Unterschied. Weichen sie voneinander ab, berichtet man den Median und begründet es: In einer rechtsschiefen Verteilung ist der Modus am kleinsten, der Median liegt in der Mitte und der Mittelwert ist der größte der drei — er ist der einzige, der dem langen Schwanz nach oben folgt. Dieser Vergleich ist zugleich die schnellste Probe auf die Form einer Verteilung, die man ohne Histogramm haben kann.

1. Schief verteilt: die drei Zentren fallen auseinander

   1. Sortiert: 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 — sieben Werte, die Mitte ist also der vierte
   2. Median: 3
   3. Summe: 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 7 + 9 = 28, der Mittelwert ist damit 28 ÷ 7 = 4
   4. Modus: Die 2 kommt zweimal vor, kein Wert dreimal, also ist der Modus 2 mit der Häufigkeit 2

   Lesen Sie die drei Ergebnisse als Form und nicht als drei Schätzungen derselben Größe: Modus 2, Median 3, Mittelwert 4 — diese Reihenfolge ist die Signatur einer rechtsschiefen Verteilung. Die 7 und die 9 haben den Mittelwert nach rechts gezogen, während der Modus sich überhaupt nicht bewegt hat. Ersetzt man die 9 durch eine 90, springt der Mittelwert auf 15,6, und der Median ändert sich überhaupt nicht. Die Spannweite wächst bei diesem Tausch von 8 auf 89, denn sie misst nur den Abstand der beiden äußersten Werte.

2. Zwei Modi, und die Mitte sitzt nicht in der Mitte

   1. Sortiert: 2, 2, 5, 5, 9 — in der Mitte steht die 5
   2. Summe 23, der Mittelwert ist 23 ÷ 5 = 4,6
   3. Zwei Werte kommen je zweimal vor: die 2 und die 5 — es gibt also zwei Modi, und das Panel nennt den kleineren davon

   Diese Reihe ist zweigipflig: Zwei Werte teilen sich den Spitzenplatz. Das ist oft ein Hinweis darauf, dass zwei Gruppen unbemerkt in einen Datensatz geraten sind — hier ein Haufen Zweien und ein Haufen Fünfen. Das Panel nennt von den gleichauf liegenden Modi den kleineren und gibt die Anzahl der Modi daneben aus, und genau so ist es auch zu lesen: Die 2 ist nicht häufiger als die 5, sie steht nur weiter vorn in der Sortierung.

3. Kein Wert wiederholt sich

   1. Jeder Wert kommt genau einmal vor, keiner ist häufiger als ein anderer
   2. Häufigkeit des Modus: 1; Anzahl der Modi: 3, also jeder Wert der Reihe
   3. Mittelwert und Median: beide 2

   Eine Häufigkeit von 1 zusammen mit einer Anzahl der Modi, die der Anzahl der Werte entspricht, ist die Art, wie diese Seite „kein Modus vorhanden“ ausdrückt — das ist brauchbarer als eine leere Zeile, weil die drei Zahlen zusammen gelesen aussagen, dass alle Werte gleichauf liegen. Dass die Moduszeile trotzdem einen Wert anzeigt, den kleinsten der Reihe, dient nur dazu, dass die Zeile nicht leer bleibt.

Die drei Werte beschreiben die Lage der Mitte, und die Spannweite daneben sagt nur, wie weit die beiden äußersten Werte auseinanderliegen — nicht, wie die Werte dazwischen verteilt sind: Zwei Datensätze können in Mittelwert, Median und Spannweite übereinstimmen, während der eine dicht gedrängt und der andere über die ganze Breite gestreut ist. Bei schief verteilten Daten beschreibt man die Mitte besser über den Median zusammen mit den Quartilen, weil der Mittelwert in Richtung des langen Schwanzes wandert und der Median nicht. Von den drei Zentren ist der Modus das instabilste: Eine einzige geänderte Zahl kann ihn an eine andere Stelle springen lassen, und bei kontinuierlich gemessenen Werten gibt es häufig gar keinen brauchbaren Modus — der scheinbar vorhandene kann ein Artefakt der Rundung sein. Der Modus braucht außerdem die Einzelwerte: Eine Häufigkeitstabelle muss erst in die einzelnen Werte zurückexpandiert werden, sonst zählt die Seite die Klassen statt der Werte. Die Liste fasst höchstens 200 Zahlen, und eine Schreibweise wird bewusst abgewiesen statt geraten: Ein Komma oder Punkt mit genau drei folgenden Ziffern wie in 1,500 oder 1.500 kann in manchen Ländern ein Tausendertrenner und in anderen ein Dezimaltrenner sein — schreiben Sie 1500 oder 1,5. Ob die eingefügten Zahlen ein vollständiger Bestand oder eine Stichprobe sind, spielt auf dieser Seite keine Rolle, denn alle drei Zentren teilen durch die Anzahl der Werte, nicht durch die Anzahl der Freiheitsgrade.

Wie werden Mittelwert, Median und Modus berechnet?

Der Mittelwert addiert alle Werte und teilt durch ihre Anzahl. Der Median sortiert die Liste und nimmt den Wert in der Mitte, bei gerader Anzahl das Mittel der beiden mittleren Werte. Der Modus zählt, welcher Wert am häufigsten vorkommt. Für 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 etwa ist die Summe 28 und die Anzahl 7, der Mittelwert also 4; sortiert steht an vierter Stelle die 3, das ist der Median; die 2 kommt zweimal vor, damit ist sie der Modus. Die drei Ergebnisse werden absichtlich alle ausgegeben, denn ihr Abstand zueinander ist selbst eine Aussage über die Form der Verteilung.

Welches der drei Zentren sollte ich berichten?

Bei schief verteilten Daten oder solchen mit Extremwerten den Median, weil er nicht darauf schaut, wie weit ein Extremwert entfernt liegt, sondern nur darauf, wie viele Werte auf jeder Seite stehen. Wenn jeder Wert gleich viel zählen soll und die Summe selbst von Bedeutung ist, den Mittelwert, etwa bei Durchschnittsnoten oder Geschwindigkeiten. Wenn die Frage „Welcher Wert ist der typische?“ lautet, den Modus, etwa bei der Entscheidung, welche Größe man vorrätig hält. Stimmen alle drei überein, ist die Verteilung annähernd symmetrisch, und die Wahl fällt kaum ins Gewicht — Übereinstimmung ist also selbst ein nützliches Ergebnis.

Was bedeutet es, wenn kein Modus vorliegt?

Es bedeutet, dass jeder Wert gleich oft vorkommt und keiner häufiger ist als ein anderer. Diese Seite lässt die Zeile dann nicht leer, sondern sagt es ausdrücklich: Die Häufigkeit des Modus beträgt 1, und die Anzahl der Modi entspricht der Anzahl der Werte — für 1, 2, 3 werden also drei Modi gemeldet. Das ist kein Fehler: Bei wenigen Werten ohne Wiederholung ist genau das die zu erwartende Antwort, und bei kontinuierlich gemessenen Werten kommt es sogar regelmäßig vor. Dass in der Moduszeile trotzdem ein Wert steht, der kleinste der Reihe, dient nur der Lesbarkeit.

Kann eine Datenreihe zwei Modi haben?

Ja, und das kommt häufig vor. Wenn zwei Werte gleich oft am häufigsten vorkommen, sind beide Modi, und man nennt die Verteilung zweigipflig; das Panel nennt dann den kleineren von beiden und gibt die Anzahl der Modi daneben aus. Zwei Modi sind oft ein Hinweis darauf, dass zwei Gruppen in einem Datensatz stecken — eine im unteren und eine im oberen Bereich —, und das lohnt zu prüfen, bevor man für die gesamte Reihe eine einzige Mitte berichtet.

Macht es auf dieser Seite einen Unterschied, ob die Zahlen eine Stichprobe oder eine Grundgesamtheit sind?

Nein, und deshalb fehlt hier auch der Umschalter. Alle drei Zentren teilen durch die Anzahl der Werte; die Korrektur mit n − 1 gehört zur Streuung und nicht zur Lage. Ob eine Reihe eine Stichprobe oder ein vollständiger Bestand ist, ändert am Mittelwert nichts. Die Unterscheidung braucht man auf den Seiten für Standardabweichung und Varianz, dort steht der Umschalter.

Warum steht die Spannweite auf dem Panel, obwohl sie kein Zentrum ist?

Weil sie die zweite Hälfte der Frage beantwortet. Die drei Zentren sagen, wo die Daten liegen, die Spannweite sagt, wie weit sie auseinandergezogen sind — und zwei Datensätze mit demselben Median können sich darin erheblich unterscheiden. Sie ist der Abstand zwischen größtem und kleinstem Wert und wird aus demselben Rechenweg mitgeliefert, weil sie sich aus den bereits sortierten Werten in einem Schritt ergibt. Als viertes Zentrum ist sie ausdrücklich nicht gemeint: Sie hängt an genau zwei Werten und sagt über die Mitte nichts aus.

• Median — eLearning Modul 14 der Statistischen Ämter des Bundes und der Länder: der Zentralwert als Lageparameter, der von einzelnen extremen Werten nicht beeinflusst wird — Statistisches Bundesamt (Destatis)
• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 — die Definitionen von Mittelwert, Median und Modus, die Eignung des Medians bei extremen Werten und die zweigipflige Verteilung — OpenStax (Rice University)
• Skewness and the Mean, Median, and Mode — Introductory Statistics 2e, section 2.6 — bei rechtsschiefer Verteilung Modus < Median < Mittelwert, bei linksschiefer umgekehrt — OpenStax (Rice University)