Spannweite-Rechner

Spannweite = Maximum − Minimum

Maximum

Der größte Wert der Reihe. Von allen Werten gehen nur er und das Minimum in die Rechnung ein, deshalb ändert es nichts am Ergebnis, wie die Werte dazwischen angeordnet sind

Minimum

Der kleinste Wert der Reihe. Zusammen mit dem Maximum spannt er die gesamte Breite auf, und genau deshalb gilt die Spannweite als ein Maß, das allein von den Extremwerten bestimmt wird

Spannweite

Die Breite des Intervalls, in das alle Daten passen, in derselben Einheit wie die Daten. Sie kann nicht negativ werden und ist genau dann 0, wenn jeder Wert derselbe ist

n

Die Anzahl der Werte, auf dieser Seite höchstens 200. Auf das Ergebnis hat sie keinen Einfluss — sie wird ausgegeben, damit sich nachprüfen lässt, dass die ganze Reihe gelesen wurde

Die Spannweite ist dann die richtige Zusammenfassung, wenn eine Zeile genügt, um die Breite zu beschreiben, und die beiden Enden selbst die Hauptsache sind: die Differenz zwischen Tageshöchst- und Tagestiefsttemperatur, der Abstand zwischen dem teuersten und dem günstigsten Angebot für dieselbe Sache, der Abstand zwischen bestem und schlechtestem Ergebnis eines Wettkampfs. Sie ist außerdem die ehrlichste Zusammenfassung in Prüfungen, die nur die Enden betrachten, etwa bei einer Toleranzprüfung: Eine Welle liegt entweder im erlaubten Bereich oder nicht. Sobald es auf die Werte dazwischen ankommt, taugt sie nicht mehr. Weil sie nur zwei Werte heranzieht und alle übrigen wegwirft, bewegt ein einzelner extremer Messwert sie so stark wie eine echte Verschiebung der ganzen Reihe — genau dafür gibt es Standardabweichung und Interquartilsabstand: Beide verteilen den Einfluss auf mehr Daten und bleiben auch bei langen Schwänzen brauchbar. Eine Spannweite neben einem Mittelwert ist in der Regel ein Warnsignal (außer bei sehr wenigen Werten), neben Maximum und Minimum wie oben dagegen einfach eine Beschreibung der beiden Enden.

1. Acht Werte, Spannweite 7

   1. Sortiert: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — das Minimum ist 2, das Maximum 9
   2. Spannweite = 9 − 2 = 7
   3. Die sechs Werte dazwischen (4, 4, 4, 5, 5, 7) gehen überhaupt nicht in die Rechnung ein

   Diese acht Werte drängen sich eigentlich in einem Bereich von drei Einheiten, und die Spannweite meldet trotzdem 7, weil sie die gesamte Breite misst und nicht den dicht besetzten Teil. Genau diese Lücke zwischen „wie weit reicht die Reihe“ und „wie dicht liegen die Werte beieinander“ ist der Grund, warum meist noch ein zweites Streuungsmaß daneben berichtet wird.

2. Eine einzige Zahl verschoben: die Spannweite springt auf 88

   1. Nur das Maximum wurde von 9 auf 90 geändert, die übrigen sieben Werte sind mit dem ersten Beispiel identisch
   2. Spannweite = 90 − 2 = 88
   3. Die Standardabweichung der Stichprobe derselben Reihe beträgt 30,2864 und vorher 2,1381

   Beide Maße sind gestiegen, aber aus verschiedenen Gründen. Die Spannweite hat sich genau um die Strecke bewegt, um die sich der extreme Wert bewegt hat, denn sie hängt allein an den beiden Enden und rechnet nichts anderes mit. Die Standardabweichung verteilt sich auf acht Werte, dieselbe Änderung wird von den übrigen sieben also mitgetragen und verdünnt. Eine falsch abgeschriebene Ziffer genügt, um die Spannweite bedeutungslos zu machen; damit die Standardabweichung in gleichem Maß ausschlägt, müssten sich die Daten selbst wirklich verändert haben.

3. Eine Reihe mit negativen Werten und Nachkommastellen

   1. Das Minimum ist −5, das Maximum 10 — das Vorzeichen gehört zur Zahl, die Spanne muss also über die 0 hinweg reichen
   2. Spannweite = 10 − (−5) = 10 + 5 = 15
   3. Negative Werte werden genauso behandelt wie positive: Das Subtrahieren des Minimums entspricht dem Addieren seines Betrags, die beiden Minuszeichen heben sich auf

   Das Subtrahieren einer negativen Zahl ist der Schritt, bei dem von Hand am häufigsten etwas schiefgeht, und überspannt die Reihe die 0, fällt das Ergebnis deutlich größer aus als beide Endpunkte. Temperaturen unter null, Höhen unter dem Meeresspiegel, Kontostände im Soll — überall dieselbe Sache.

Die Spannweite nutzt von der ganzen Reihe nur zwei Werte, deshalb kann ein einziger extremer Messwert sie vollständig bestimmen: ein Tippfehler, ein Zucken des Messgeräts oder ein tatsächlich außergewöhnlicher Tag verschiebt sie um den vollen Betrag des Fehlers. Über den mittleren Teil der Daten weiß sie nichts, und dort liegen die meisten Werte — zwei Reihen mit demselben Minimum und demselben Maximum können gleichmäßig verteilt oder dicht zusammengedrängt sein, die Spannweite unterscheidet das nicht. Der Vergleich von Spannweiten über verschiedene Datensätze hinweg ist nur sinnvoll, wenn die Einheiten vergleichbar und die Stichprobenumfänge ungefähr gleich sind, denn je größer die Stichprobe, desto wahrscheinlicher trifft sie einen extremen Wert. Die Liste fasst höchstens 200 Zahlen, und eine Schreibweise wie 1,500 wird abgewiesen statt geraten: Ein Komma oder Punkt zwischen Ziffern ist in manchen Ländern ein Dezimaltrenner und in anderen ein Tausendertrenner. Ausreißer markiert diese Seite nicht — die Spannweite ist gerade das ungeeignetste Maß dafür, weil ihre Definition auf genau den extremen Werten aufbaut, die man prüfen möchte.

Wie wird die Spannweite berechnet?

Den größten und den kleinsten Wert der Reihe heraussuchen und beide subtrahieren: Spannweite = Maximum − Minimum. Für 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 ergibt das 9 − 2 = 7. Kein anderer Wert geht ein, man muss also weder sortieren noch die Anzahl bestimmen — bei vielen Daten ist ein Sortieren allerdings der sicherste Weg, die beiden Enden zu finden. Der Rechner oben arbeitet direkt auf den eingefügten Zahlen und gibt Maximum und Minimum mit aus, damit sich die Subtraktion nachprüfen lässt.

Warum kann eine einzige Zahl die Spannweite verzerren?

Weil ihre Definition nur die beiden am weitesten entfernten Punkte verwendet und alles dazwischen ignoriert. Ersetzt man im obigen Beispiel die 9 durch eine 90, steigt die Spannweite von 7 auf 88 — um 81, also genau um die Strecke, die dieser Wert zurückgelegt hat. Die Standardabweichung der Stichprobe derselben Reihe steigt nur von 2,1381 auf 30,2864, weil sich die Änderung auf acht Werte verteilt. Das ist kein Mangel der Formel, sondern genau die Bedeutung von „wie breit ist diese Reihe aufgespannt“. Es bedeutet aber, dass man beim Berichten einer Spannweite immer auch angeben sollte, wie viele Werte vorliegen.

Sind Spannweite und Interquartilsabstand dasselbe?

Nein, die beiden beantworten verschiedene Fragen. Die Spannweite ist die gesamte Breite der Daten, vom Minimum bis zum Maximum. Der Interquartilsabstand ist die Breite der mittleren Hälfte, vom ersten bis zum dritten Quartil. Der Interquartilsabstand ist absichtlich unempfindlich gegen die Ränder, die Spannweite absichtlich empfindlich — berichtet man beide, hat der Leser mit zwei Zahlen sowohl die Gesamtbreite als auch die Breite des dicht besetzten mittleren Bereichs. Wenn nur eines möglich ist, hilft die Frage: Ist der extreme Messwert in dieser Reihe inhaltlich bedeutsam oder ein Fehler?

Spielt es für die Spannweite eine Rolle, ob es eine Stichprobe oder eine Grundgesamtheit ist?

Nein, und genau deshalb fehlt hier der Umschalter. Diese Wahl betrifft nur Größen, bei denen geteilt wird — Varianz und Standardabweichung —, weil ihr Divisor sich zwischen Stichprobe und Grundgesamtheit unterscheidet. Die Spannweite ist eine Subtraktion, es gibt keinen Nenner, über den man sich uneinig sein könnte. Der Umschalter steht auf den Seiten für Varianz und Standardabweichung und würde hier nichts verändern, sondern nur den Eindruck erwecken, dass er es täte.

Kann die Spannweite negativ oder 0 werden?

Negativ niemals: Das Maximum ist per Definition nicht kleiner als das Minimum, die Differenz ist also 0 oder positiv. Sie ist genau dann 0, wenn jeder Wert derselbe ist, und das schließt den Fall eines einzigen Wertes ein — dann sind Maximum und Minimum derselbe Wert und die Spannweite 0. Diese 0 ist ein echtes berechnetes Ergebnis und kein Fehlersignal; sie sagt, dass die Reihe überhaupt nicht streut. Ein einziger Wert lässt sich also berechnen, und das ohne ein zweites Maximum.

Zeigt diese Seite, welche Werte Ausreißer sind?

Nein. Die gängige Regel zur Prüfung verdächtiger Werte baut auf dem Interquartilsabstand auf — ein Wert liegt mehr als 1,5 × IQR unter dem ersten oder über dem dritten Quartil —, und das ist ein eigener Rechner. Die Spannweite dafür zu verwenden, wäre ein Zirkelschluss: Sie wird gerade von den extremen Werten definiert, die man prüfen möchte; das Minimum und das Maximum einer jeden Reihe sind per Definition ihre beiden extremsten Punkte. Diese Seite beschreibt nur, wie breit die Reihe ist, das Urteil überlässt sie dem dafür gebauten Werkzeug.

• Spannweite — Bedeutung, Definition und Beispiel in der Statistik: der Unterschied zwischen dem größten und dem kleinsten Wert einer Reihe — Duden (Bibliographisches Institut)
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 — die Spannweite als Maximum minus Minimum und der Hinweis, dass die Streuung nahe der Mitte der Daten von ihr in keiner Weise erfasst wird — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.7 — die Spannweite als einfachstes Streuungsmaß und ihre Anfälligkeit für einzelne extreme Werte — OpenStax (Rice University)