Mittelbereich-Rechner

Mittenwert = (Minimum + Maximum) / 2

Minimum

Der kleinste Wert der Reihe. Nur er und das Maximum gehen in die Formel ein, die Werte dazwischen können sich also ändern, wie sie wollen

Maximum

Der größte Wert der Reihe. Vor dem Rechnen lohnt ein Blick auf diese beiden Extremwerte, denn eine falsch abgeschriebene Ziffer landet unmittelbar im Ergebnis

Mittenwert

Die Mitte der beiden Extremwerte, in derselben Einheit wie die Daten. Er liegt immer zwischen Minimum und Maximum und fällt mit dem einzigen Wert zusammen, wenn die Reihe nur einen Wert enthält

Mittelwert

Das arithmetische Mittel, das zum Vergleich daneben steht. Der Abstand zwischen beiden sagt, wie weit die Daten von der Mitte der beiden Enden entfernt liegen

Wenn die beiden Enden selbst das Thema sind, ist der Mittenwert die passende Zusammenfassung: die Mitte zwischen Tageshöchst- und Tagestiefsttemperatur, zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Wasserstand eines Flusses im Jahr, zwischen bestem und schlechtestem Ergebnis eines Wettkampfs, zwischen einem Angebot und einer Nachfrage. In diesen Fällen sind die beiden Endpunkte die Daten selbst — man zieht keine Stichprobe aus einer größeren Grundgesamtheit, sondern beschreibt ein Intervall mit zwei Enden. Sobald es auf das Innere der Daten ankommt, taugt er nicht, weil er alles außer zwei Punkten wegwirft und deshalb bei jeder echten Stichprobe eine größere Varianz hat als Mittelwert und Median. Er ist auch nicht der Median: Für 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 ist der Median 4,5 und der Mittenwert 5,5, und beide fallen nur zusammen, wenn die Daten symmetrisch um ihre Mitte liegen. Hat man nur eine Tabelle mit dem höchsten und dem niedrigsten Wert zur Hand und braucht eine ungefähre mittlere Lage, ist er die bequemste Wahl — es ist keine weitere Rechnung nötig.

1. Acht Werte: Mittenwert 5,5, Mittelwert 5

   1. Das Minimum ist 2, das Maximum ist 9
   2. Mittenwert = (2 + 9) / 2 = 5,5
   3. Der Mittelwert derselben Reihe ist 40 / 8 = 5 — eine halbe Einheit tiefer, weil sechs der acht Werte auf oder unter ihm liegen

   Die beiden Zahlen stimmen nicht überein, und genau darin liegt ihr Nutzen. Der Mittenwert sieht nur, dass die Reihe bei 2 beginnt und bei 9 endet; der Mittelwert sieht zusätzlich, dass die Daten sich zum kleineren Ende hin drängen. Beide haben recht, sie beantworten verschiedene Fragen, und nebeneinander gestellt zeigen sie mit einem Blick, ob die Werte zwischen den Enden gleichmäßig verteilt sind oder zu einer Seite neigen.

2. Eine Zahl geändert: der Mittenwert steigt auf mehr als das Doppelte

   1. Nur das Maximum wurde von 9 auf 90 geändert, die übrigen sieben Werte sind mit dem ersten Beispiel identisch
   2. Mittenwert = (2 + 90) / 2 = 46
   3. Der Mittelwert derselben Reihe ist 121 / 8 = 15,125 und vorher 5

   Der Mittenwert hat sich um über vierzig Einheiten bewegt, der Mittelwert nur um zehn. Jede Änderung eines Extremwerts schlägt hier zur Hälfte durch, und nichts verteilt sie ab; der Mittelwert verteilt dieselbe Änderung auf jeden einzelnen Wert. Ist ein Messwert in Ihrer Reihe unzuverlässig, liegt der Mittenwert um die Hälfte dieses Fehlers daneben — und genau deshalb gehört er nur in Zusammenhänge, in denen die beiden Enden die Hauptsache sind.

3. Temperaturen über den Gefrierpunkt hinweg

   1. Der kälteste Messwert ist −10, der wärmste 40
   2. Mittenwert = (−10 + 40) / 2 = 30 / 2 = 15
   3. Negative Werte brauchen keine Sonderbehandlung: Sie werden zum Maximum addiert, Daten über die 0 hinweg werden also genauso gerechnet wie andere

   Die Tagesmitteltemperatur, die der Wetterdienst meldet, ist genau diese Zahl: die Mitte zwischen der Tiefst- und der Höchsttemperatur des Tages und nicht der Mittelwert der stündlichen Messwerte. Diese Vereinbarung lohnt zu kennen, denn sobald die Temperatur länger an einem Ende des Bereichs verharrt, fallen die beiden Zahlen auseinander.

Der Mittenwert ist nicht robust, und das liegt an seiner Bauart und nicht am Grad der Ausprägung: Er wird aus den beiden am weitesten entfernten Punkten berechnet, gegen eine falsch abgeschriebene Ziffer, ein Zucken des Messgeräts oder eine tatsächlich außergewöhnliche Beobachtung hat er deshalb nichts entgegenzusetzen. Verwendet wird er üblicherweise nur dort, wo das Verhalten der beiden Enden selbst im Mittelpunkt steht. Er ist auch nicht der Median — der Median ist der nach dem Sortieren in der Mitte stehende Wert, der Mittenwert die Mitte der beiden Enden, und beide fallen nur bei symmetrischen Daten zusammen. Enthält eine Reihe nur einen einzigen Wert, sind Mittenwert, Mittelwert, Minimum und Maximum alle dieser eine Wert. Die Liste fasst höchstens 200 Zahlen, und eine Schreibweise wie 1,500 wird abgewiesen statt geraten: Ein Komma oder Punkt zwischen Ziffern ist in manchen Ländern ein Dezimaltrenner und in anderen ein Tausendertrenner. Ausreißer markiert diese Seite nicht: Die beiden Extremwerte, die den Mittenwert definieren, sind genau die Werte, die eine solche Regel prüfen soll.

Wie wird der Mittenwert berechnet?

Den kleinsten und den größten Wert addieren und die Summe durch zwei teilen: Mittenwert = (Minimum + Maximum) / 2. Für 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 ergibt das (2 + 9) / 2 = 5,5. Kein anderer Wert geht ein, man muss also nicht sortieren, sondern nur die beiden Enden finden — bei wenigen Daten genügt ein Blick. Der Rechner oben gibt das verwendete Maximum und Minimum mit aus, damit sich die Addition nachprüfen lässt.

Ist der Mittenwert ein Lageparameter oder ein Streuungsmaß?

Er ist ein Lageparameter — wie Mittelwert und Median sagt er, wo die Daten ungefähr liegen. Er wird leicht für ein Streuungsmaß gehalten, weil dieselben beiden Extremwerte auch die Spannweite definieren und sich die beiden Formeln nur um eine Operation unterscheiden: Die Spannweite ist Maximum minus Minimum, der Mittenwert ist (Maximum plus Minimum) geteilt durch zwei. Sie beantworten verschiedene Fragen: Die Spannweite sagt, wie breit die Reihe ist, der Mittenwert, wo ihre Mitte liegt. Die maßgeblichen Quellen führen ihn in der Liste der Lageparameter und nicht in der der Streuungsmaße.

Warum gilt der Mittenwert als nicht robust?

Weil er aus den beiden am weitesten entfernten Werten der Stichprobe berechnet wird und nichts anderes heranzieht; ein Fehler in einem der beiden geht deshalb unmittelbar ins Ergebnis ein und wird nur zur Hälfte abgeschwächt. Ersetzt man im Beispiel die 9 durch eine 90, springt der Mittenwert von 5,5 auf 46, während der Mittelwert nur von 5 auf 15,125 steigt. Diese Empfindlichkeit ist ein Vorteil, wenn die beiden Enden das sind, was man messen will — etwa Tageshöchst- und Tagestiefsttemperatur —, und sonst eine Last.

Sind Mittenwert und Median dasselbe?

Nein. Der Median ist der nach dem Sortieren in der Mitte stehende Wert; bei acht Werten ist das das Mittel des vierten und des fünften: (4 + 5) / 2 = 4,5. Der Mittenwert ist die Mitte der beiden Enden: (2 + 9) / 2 = 5,5. Die beiden stimmen nur überein, wenn die Daten symmetrisch um ihre Mitte liegen, und ihr Abstand ist selbst eine Information — hier liegt der Mittenwert über dem Median, die obere Hälfte der Daten reicht also weiter von der Mitte weg als die untere.

In welchen Fällen wird der Mittenwert tatsächlich verwendet?

Wenn die beiden Endpunkte die Daten selbst sind und keine Stichprobe aus einer größeren Grundgesamtheit. In der Meteorologie beschreibt die Zusammenfassung aus Tageshöchst- und Tagestiefsttemperatur genau diese Zahl, und in der Fertigung ebenso die Toleranzprüfung: Die Vorgabe nennt eine Unter- und eine Obergrenze, gesucht ist deren Mitte. Auch wenn nur die Extremwerte notiert sind, ist er nützlich: Stehen auf einem Blatt nur das günstigste und das teuerste Angebot, ist der Mittenwert die Mitte dieses Bereichs, ohne dass man die Preise dazwischen kennen müsste.

Was passiert, wenn alle Werte gleich sind oder nur ein Wert vorliegt?

Beide Fälle lassen sich rechnen und liefern den jeweils gleichen Wert. Bei einem einzigen Wert 42 sind Minimum und Maximum beide 42, also sind Mittenwert, Mittelwert, Minimum und Maximum alle 42 — die Formel braucht keinen zweiten Messwert. Für 3, 3, 3, 3 gilt dasselbe: Die beiden Enden sind gleich, der Mittenwert ist 3. Es gibt hier keine Untergrenze für die Anzahl der Werte, anders als bei Varianz und Standardabweichung, die teilen und deshalb mehr als eine Beobachtung brauchen.

• Measures of Location — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.1 — der Mittenwert als (smallest + largest)/2 unter den alternativen Lageparametern, mit dem Hinweis, dass er von den beiden äußersten Punkten abhängt und deshalb nur gebraucht wird, wenn die Ränder selbst von Interesse sind — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 — die Liste der Streuungsmaße desselben Handbuchs, in der der Mittenwert nicht vorkommt: der Beleg dafür, dass er ein Lageparameter ist — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 — Mittelwert und Median als Lagemaße und die Abgrenzung zu Maßen der Streuung — OpenStax (Rice University)