Quartil-Rechner

Q1 = der Wert an Position (n − 1) × 0,25, Q2 an 0,5, Q3 an 0,75 (liegt die Position zwischen zwei Beobachtungen, wird interpoliert); Interquartilsabstand (IQR) = Q3 − Q1

xᵢ

Ein Wert des Datensatzes. Quartile arbeiten mit der Position in der sortierten Reihe und nicht mit der Größe, deshalb verschiebt ein extremer Messwert nur die äußeren beiden Marken ein wenig, die mittlere Hälfte dagegen kaum

n

Die Anzahl der Werte, auf dieser Seite höchstens 200. Die Position wird ab 0 gezählt, die letzte Position ist n − 1, und in diesem Bereich liegen die drei Quartilspositionen

Q1

Das erste Quartil: etwa 25% der Daten liegen auf oder unter ihm. Es markiert, wo das untere Viertel der sortierten Reihe endet, und ist nicht unbedingt ein Wert, der in den Daten vorkommt

Q2

Das zweite Quartil, also der Median: die Hälfte der Daten liegt auf oder unter ihm. Es steht hier zum Vergleich, und die eigene Seite für den Median berechnet denselben Wert nach derselben Regel

Q3

Das dritte Quartil: etwa 75% der Daten liegen auf oder unter ihm. Zusammen mit Q1 umschließt es die mittlere Hälfte der Daten — genau dieses Stück wird im Boxplot als Box gezeichnet

IQR

Der Interquartilsabstand, also Q3 − Q1, die Spannweite der mittleren Hälfte. Er hat dieselbe Einheit wie die Daten und ist anders als die Standardabweichung: Die beiden äußeren Viertel berührt er überhaupt nicht, deshalb sind ihm Ausreißer fast egal

Quartile sind die passende Zusammenfassung, wenn die Daten schief verteilt sind, Ausreißer enthalten oder auf einer Skala liegen, deren Summe keinen Sinn ergibt — Einkommen, Immobilienpreise, Antwortzeiten, Prüfungsergebnisse. Mittelwert und Standardabweichung beschreiben eine symmetrische Glockenverteilung, die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung nimmt keine Form an: Der Median sagt, wo die Mitte liegt, Q1 und Q3 sagen, wie breit die mittlere Hälfte aufgespannt ist, Minimum und Maximum rahmen das Ganze. Der Interquartilsabstand ist der natürliche Partner des Medians, aus demselben Grund, aus dem die Standardabweichung zum Mittelwert gehört, und wenn ein Streuungsmaß gesucht wird, das ein einzelner abwegiger Messwert nicht nach oben treibt, wird er berichtet. Er ist zugleich die Grundlage des Boxplots und der 1,5 × IQR-Regel — die Schwellen liefert diese Seite, das Urteil über Ausreißer ist eine andere Aufgabe. Wo ein Histogramm möglich ist, sollte man beides zusammen ansehen: An vier Schnittstellen ist nicht zu erkennen, ob die Daten zwei Buckel haben, und eine zweigipflige Verteilung kann eine völlig unscheinbare Fünf-Zahlen-Zusammenfassung liefern.

1. Acht Werte: Q1 = 4, Q3 = 5,5, Interquartilsabstand 1,5

   1. Sortiert: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — acht Werte, also n − 1 = 7
   2. Q1: Position 7 × 0,25 = 1,75, zwischen dem Wert 4 an Position 1 und der 4 an Position 2, also Q1 = 4
   3. Q2: Position 7 × 0,50 = 3,5, zwischen 4 und 5, also Q2 = 4,5 — derselbe Wert, den die Medianseite nennt
   4. Q3: Position 7 × 0,75 = 5,25, zwischen dem Wert 5 an Position 5 und der 7 an Position 6: 5 + 0,25 × 2 = 5,5
   5. Interquartilsabstand: 5,5 − 4 = 1,5, die mittlere Hälfte der Daten ist also 1,5 breit

   Die mittlere Hälfte sind hier die vier Werte von 4 bis 5,5, und der Interquartilsabstand ist genau diese Bandbreite. Beachten Sie, dass Q1 genau auf einen Datenpunkt fällt und Q3 nicht: Ob ein Quartil mit einer Beobachtung zusammenfällt, hängt allein von der Anzahl der Werte ab; die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung beschreibt Positionen und nicht eine Teilmenge der Daten.

2. Vier Werte: alle drei Quartile entstehen durch Interpolation

   1. Sortiert: 1, 2, 3, 4 — vier Werte, also n − 1 = 3
   2. Q1: Position 3 × 0,25 = 0,75, drei Viertel des Weges von 1 nach 2, also Q1 = 1,75
   3. Q2: Position 3 × 0,50 = 1,5, genau zwischen 2 und 3, also Q2 = 2,5
   4. Q3: Position 3 × 0,75 = 2,25, ein Viertel des Weges von 3 nach 4, also Q3 = 3,25
   5. Interquartilsabstand: 3,25 − 1,75 = 1,5

   An dieser Reihe scheiden sich die beiden Konventionen, deshalb lohnt zu wissen, was die andere ergibt. Die Halbierungsmethode, die OpenStax und viele Lehrbücher verwenden, schneidet die Daten am Median entzwei und nimmt je die Mitte jeder Hälfte: Die untere Hälfte ist 1 und 2, also Q1 = 1,5; die obere Hälfte ist 3 und 4, also Q3 = 3,5, und der Interquartilsabstand wird 2. Diese Seite interpoliert zwischen benachbarten Beobachtungen, also nach der Voreinstellung von R und NumPy, und gibt Q1 und Q3 aus — welches Verfahren verwendet wurde, ist damit auf einen Blick zu sehen.

3. Die 14 Werte des Lehrbuchs, nach der anderen Konvention gerechnet

   1. Sortiert: 1, 1, 2, 2, 4, 6, 6,8, 7,2, 8, 8,3, 9, 10, 10, 11,5 — vierzehn Werte, also n − 1 = 13
   2. Q2: Position 13 × 0,50 = 6,5, genau zwischen 6,8 und 7,2, also Q2 = 7 — genau der Median, den das Lehrbuch nennt
   3. Q1: Position 13 × 0,25 = 3,25, ein Viertel des Weges vom Wert 2 an Position 3 zur 4 an Position 4, also Q1 = 2,5
   4. Q3: Position 13 × 0,75 = 9,75, drei Viertel des Weges von 8,3 nach 9, also Q3 = 8,825
   5. Interquartilsabstand: 8,825 − 2,5 = 6,325

   Dieselben vierzehn Werte stehen im OpenStax-Kapitel über die Lage der Daten, wo die Halbierungsmethode verwendet wird und Q1 = 2, Q3 = 9 und ein Interquartilsabstand von 7 herauskommen. Beide Antworten folgen einer belegbaren, erklärbaren Regel, sie unterscheiden sich allein darin, wie zwischen denselben Beobachtungen interpoliert wird. Der Median stimmt auf die Nachkommastelle überein — was beruhigt: Die Mitte einer Reihe ist die Mitte dieser Reihe, unabhängig von der Konvention.

Vier Schnittstellen beschreiben für sich genommen nicht die Form einer Verteilung. Zwei Datensätze können in jedem Quartil übereinstimmen und völlig verschieden aussehen — der eine dicht gedrängt, der andere mit zwei Buckeln —, deshalb gehört zur Fünf-Zahlen-Zusammenfassung ein Histogramm, sobald die Form eine Rolle spielt. Quartile sind außerdem eine Konvention und keine Tatsache: Diese Seite interpoliert nach Hyndman–Fan type 7 zwischen benachbarten Beobachtungen, während viele Lehrbücher mit der Halbierungsmethode arbeiten und abweichende Zahlen liefern, sobald die Anzahl der Werte kein Vielfaches von 4 ist. Die Anzahl wirkt noch auf andere Weise: Bei weniger als vier Werten ist jedes Quartil interpoliert, und bei einem einzigen Wert sind alle fünf Zahlen dieser Wert und der Interquartilsabstand 0, weil es keine messbare Streuung gibt. Die Liste fasst höchstens 200 Zahlen, und eine Schreibweise wie 1,500 wird abgewiesen statt geraten, weil ein Trennzeichen zwischen Ziffern in manchen Ländern ein Dezimaltrenner und in anderen ein Tausendertrenner ist. Ausreißer bestimmt diese Seite nicht: Die 1,5 × IQR-Regel ist die gängige Schwelle, ihre Anwendung ist die Aufgabe eines anderen Werkzeugs.

Wie werden Quartile berechnet?

Zuerst sortieren, dann drei Positionen ablesen: (n − 1) × 0,25 ist Q1, (n − 1) × 0,50 ist Q2, (n − 1) × 0,75 ist Q3; liegt eine Position zwischen zwei Werten, wird interpoliert. Für acht Werte sind die drei Positionen 1,75, 3,5 und 5,25 und ergeben Q1 = 4, Q2 = 4,5, Q3 = 5,5. Der Interquartilsabstand ist Q3 − Q1, hier also 1,5. Alle drei Quartile stehen zusammen mit Minimum und Maximum auf dem Panel, die ganze Zusammenfassung passt damit auf einen Blick.

Warum weicht mein Q1 von dem eines anderen Rechners ab?

Weil Quartile eine Konvention sind und keine Tatsache, und die beiden gängigen Konventionen abweichen, sobald die Anzahl der Werte kein Vielfaches von 4 ist. Diese Seite interpoliert zwischen benachbarten Beobachtungen nach Hyndman–Fan type 7, der Voreinstellung von R und NumPy. Viele Lehrbücher wie OpenStax schneiden die Daten zuerst am Median entzwei und nehmen die Mitte jeder Hälfte: Für die vierzehn Werte des Lehrbuchs ergibt das Q1 = 2 und Q3 = 9, während diese Seite 2,5 und 8,825 liefert. Beide Regeln haben eine Quelle. Q2, also der Median, ist bei beiden Verfahren identisch.

Was sagt der Interquartilsabstand aus?

Er ist die Breite der mittleren Hälfte der Daten, also die Strecke, über die jene 50% der Werte verteilt sind, die zwischen Q1 und Q3 liegen. Er trägt dieselbe Einheit wie die Daten: Ein Interquartilsabstand von 1,5 heißt, dass die mittlere Hälfte 1,5 der gemessenen Einheit umspannt. Weil er das höchste und das niedrigste Viertel wegwirft, kann ein einzelner extremer Messwert ihn kaum bewegen, und deshalb wird er gern zusammen mit dem Median berichtet. Ein Interquartilsabstand von 0 bedeutet, dass die mittlere Hälfte aus einem einzigen wiederholten Wert besteht — mehr als die Hälfte der Daten ist identisch —, und ist kein Fehlersignal.

Welche fünf Zahlen umfasst die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung?

Minimum, Q1, Median, Q3 und Maximum, üblicherweise in dieser Reihenfolge geschrieben — also genau die fünf Werte, die diese Seite ausgibt. Sie beschreibt einen Datensatz, ohne eine Verteilungsform anzunehmen, und der Boxplot zeichnet sie: eine Box von Q1 bis Q3, darin die Medianlinie, und von den Boxrändern zwei Antennen bis zu den Extremwerten. Der Interquartilsabstand ganz oben gehört nicht zu diesen fünf Zahlen; er ist Q3 − Q1, also die Breite der Box.

Können Quartile Werte sein, die in meinen Daten gar nicht vorkommen?

Ja, und bei wenigen Werten ist das sogar der Normalfall. Ein Quartil ist eine Position auf der Messskala, deshalb ist das erste Quartil der vier Zahlen 1, 2, 3, 4 die 1,75 — obwohl die Liste keine 1,75 enthält. Nur wenn die Position genau eine ganze Zahl ist, fällt das Quartil mit einer Beobachtung zusammen. In beiden Fällen steht die Anzahl der Werte daneben, sodass sofort zu erkennen ist, welcher Fall vorliegt.

Bestimmt diese Seite Ausreißer?

Nein. Sie liefert den Interquartilsabstand, und der ist die Eingabe der gängigen Regel: Ein Wert gilt als verdächtiger Ausreißer, wenn er mehr als 1,5 × IQR unter Q1 oder mehr als 1,5 × IQR über Q3 liegt. Diese Schwelle einem eigenen Werkzeug zu überlassen, hat den Zweck, dass diese Seite die Daten schlicht beschreibt, statt für den Leser zu entscheiden, welche Punkte wegfallen sollen. Für die acht Werte oben ist 1,5 × IQR gleich 2,25, die Schwellen liegen also bei 1,75 und 7,75.

• Measures of the Location of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.3 — die Definition von Quartilen und des Interquartilsabstands als Breite der „mittleren Hälfte“, mit vollständiger Rechnung für die vierzehn Werte; der Abschnitt verwendet die Halbierungsmethode und weicht damit von der Konvention dieser Seite ab — OpenStax (Rice University)
• quantile — Referenzdokumentation des stats-Pakets von R: neun Quantiltypen, type 7 als Voreinstellung und damit als die Konvention, die alle drei Quartile dieser Seite teilen — The R Project for Statistical Computing
• numpy.quantile — NumPy-Referenz: method mit der Voreinstellung linear, dieselbe Interpolation wie auf dieser Seite — NumPy