Modus-Rechner

Modus = der am häufigsten vorkommende Wert; dazu die Häufigkeit des Modus und die Anzahl der Modi

xᵢ

Ein Wert der Liste. Seine Größe spielt überhaupt keine Rolle, gezählt wird nur, wie oft er sich wiederholt — das ist der Grund, warum der Modus auch auf Kategorien passt, die sich weder addieren noch mitteln lassen

f

Die Häufigkeit des Modus: wie oft der genannte Wert vorkommt. Eine Häufigkeit von 1 heißt, dass kein Wert sich wiederholt hat; dann liegen alle Werte der Liste gleichauf

Modus

Der am häufigsten vorkommende Wert. Haben mehrere Werte die gleiche höchste Häufigkeit, wird der kleinste von ihnen genannt und die Anzahl der Modi in einer eigenen Zeile — eine einzige Zahl kann „2 und 5 sind gleich häufig“ nicht ausdrücken

Anzahl der Modi

Wie viele Werte die höchste Häufigkeit teilen. Zwei nennt man zweigipflig, drei und mehr mehrgipflig, und entspricht sie der Anzahl der Werte, dann liegt kein Modus vor

n

Die Anzahl der Werte, auf dieser Seite höchstens 200. Sie ist die Obergrenze der Häufigkeit, und erst zusammen mit der Anzahl der Modi erkennt man den Fall „kein Modus vorhanden“

Der Modus ist die richtige Wahl, wenn die vorliegenden Werte Kategorien sind und keine Messwerte: Größen, Farben, Typen, Fehlercodes, die meistgewählte Antwort. Mittelwert und Median brauchen entweder eine Addition oder eine Sortierung, und „blau“ lässt sich nun einmal nicht mitteln — aber es gibt ein häufigstes Blau, und das beantwortet eine sehr praktische Frage, etwa welche Größe man bevorratet oder welchen Fehler man zuerst behebt. Auch bei numerischen Daten lohnt der Blick: Liegt der Modus weit vom Mittelwert und vom Median entfernt, sitzt dort eine Gruppe von Werten, die eine genauere Untersuchung verdient. Was er nicht leistet, ist die Zusammenfassung einer kontinuierlichen Messung — misst man fein genug, kommt jeder Wert nur einmal vor, und dann hat der Modus nichts zu sagen; genau das bedeutet „Anzahl der Modi gleich Anzahl der Werte“. Und er wirft alles außer dem Sieger weg, sagt über den Rest der Daten also nichts.

1. Ein einziger Modus: die 4 kommt dreimal vor

   1. Zählen, wie oft jeder Wert vorkommt: 2 einmal, 4 dreimal, 5 zweimal, 7 einmal, 9 einmal
   2. Die höchste Häufigkeit ist 3, und nur die 4 erreicht sie
   3. Modus: 4, Häufigkeit 3, Anzahl der Modi 1 — die Liste ist also eingipflig

   Die Häufigkeit muss zusammen mit der Anzahl der Modi gelesen werden, sonst bleibt die Antwort mehrdeutig: Häufigkeit 3 bei Anzahl 1 ist ein sauberer einzelner Modus, Häufigkeit 3 bei Anzahl 3 bedeutet dagegen, dass drei verschiedene Werte je dreimal vorkommen. Diese beiden Listen haben dieselbe Häufigkeit und eine völlig verschiedene Gestalt.

2. Zwei Modi: 2 und 5 sind gleich häufig

   1. Zählen: die 2 kommt zweimal vor, die 5 zweimal, die 9 einmal
   2. Die höchste Häufigkeit ist 2, und zwei verschiedene Werte erreichen sie
   3. Modus: genannt wird die 2, der kleinere der beiden — Häufigkeit 2, Anzahl der Modi 2

   Eine solche Liste heißt zweigipflig, und oft stecken dahinter zwei Gruppen, die unbemerkt in einen Datensatz geraten sind — hier ein Haufen um die 2 und einer um die 5, als Histogramm zwei Buckel. Dass das Werkzeug den kleineren Wert nennt, dient nur dazu, dass die Zeile nicht leer bleibt; die ehrliche Lesart lautet „2 und 5, je zweimal“, und genau das sagt die Zeile mit der Anzahl der Modi.

3. Kein Modus, weil jeder Wert verschieden ist

   1. Jeder Wert kommt genau einmal vor
   2. Die höchste Häufigkeit ist also 1
   3. Drei Werte teilen sich diese Häufigkeit — nämlich alle
   4. Das Panel nennt die Häufigkeit 1 und die Anzahl der Modi 3; so drückt diese Seite „kein Modus vorhanden“ aus

   Eine Häufigkeit von 1 zusammen mit einer Anzahl der Modi, die der Anzahl der Werte entspricht, ist das Kennzeichen dafür, dass sich kein Wert wiederholt. Bei kontinuierlichen Messungen ist das der Normalfall und keine Störung. Der angezeigte Wert ist nur der kleinste der Liste — die Zeile braucht irgendeine Zahl, und die beiden Zählwerte daneben sind das, was davor warnt, ihn für den Sieger zu halten.

Der Modus nutzt nur den siegreichen Wert und lässt alles übrige unbeachtet, deshalb ist er von den drei Zentren das mit Abstand informationsärmste: Zwei Listen können denselben Modus haben und sonst nichts gemeinsam. Auf kontinuierliche Daten angewandt sagt er fast nichts — misst man fein genug, wiederholt sich kein Wert und er schweigt; rundet man grob, entsteht ein Modus, der in Wahrheit nur eine Rundungsgrenze ist. Er ist außerdem instabil: Eine einzige geänderte Zahl kann einen anderen Sieger hervorbringen, deshalb sollte man einem Modus aus einer kleinen Stichprobe nicht zu viel Gewicht geben. Eine Liste kann mehrere Modi haben oder gar keinen, und genau deshalb gibt diese Seite die Häufigkeit des Modus und die Anzahl der Modi mit aus — und genau deshalb steht in den Ergebnissen keine Häufigkeitstabelle: Eine solche Tabelle müsste aus Ihren Daten berechnet werden, und vor Ihrer Eingabe sieht diese Seite Ihre Daten nicht. Die Liste fasst höchstens 200 Zahlen, und die Werte werden so gezählt, wie sie eingegeben wurden — 2,5 und 2,50 sind derselbe Wert, aber es wird nicht gerundet, um ähnliche Messwerte zusammenzufassen.

Wie wird der Modus berechnet?

Man zählt, wie oft jeder Wert vorkommt, und nimmt den mit der höchsten Häufigkeit. In 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 kommen die Werte 1-, 3-, 2-, 1- und 1-mal vor, der Modus ist also die 4 mit der Häufigkeit 3. Es wird dabei weder summiert noch sortiert, deshalb lässt sich der Modus auch für Größen und Farben bestimmen — dort wäre ein Mittelwert sinnlos. Dass das Panel die Häufigkeit des Modus und die Anzahl der Modi mit ausgibt, dient dazu, den Fall mit einem einzigen Modus von dem mit mehreren gleichauf liegenden zu unterscheiden.

Kann eine Liste mehrere Modi haben?

Ja, und das ist häufig. Teilen sich zwei Werte die höchste Häufigkeit, heißt die Verteilung zweigipflig, bei drei und mehr mehrgipflig. Die Liste 2, 2, 5, 5, 9 hat zwei Modi, weil die 2 und die 5 je zweimal vorkommen; eine zweigipflige Form deutet meist darauf hin, dass zwei Gruppen in einem Datensatz stecken, jede mit einem eigenen Haufen um ihren Modus. Das Panel nennt den kleineren der gleichauf liegenden Werte und gibt die Anzahl der Modi daneben an, weil die Nennung nur eines Wertes irreführend wäre.

Was bedeutet es, wenn kein Modus vorliegt?

Es bedeutet, dass jeder Wert gleich oft vorkommt und keiner häufiger ist als ein anderer. Diese Seite lässt die Zeile nicht leer, sondern nennt die Häufigkeit 1 und eine Anzahl der Modi, die der Anzahl der Werte entspricht — für 1, 2, 3 also drei. Bei einer kurzen Liste ohne Wiederholungen ist das die zu erwartende Antwort, bei kontinuierlichen Messungen sogar der Normalfall: Misst man fein genug, sind zwei Messwerte nie exakt gleich.

Warum steht in der Moduszeile trotzdem ein Wert, wenn es keinen Modus gibt?

Weil eine Zahl mit zwei erklärenden Zählwerten daneben besser zu lesen ist als eine leere Zeile. Wenn alle Werte gleichauf liegen, wird der kleinste Wert der Liste genannt, die Häufigkeit beträgt 1, und die Anzahl der Modi entspricht der Anzahl der Werte. Alle drei Zahlen zusammen ergeben die Aussage „kein Wert wiederholt sich“; nur der eine Wert allein gelesen legt nahe, die 1 hätte gewonnen — dafür stehen die beiden Zählwerte daneben.

Ist der Modus für kontinuierliche Messungen brauchbar?

Selten. Misst man genau genug, ist jeder Messwert verschieden und es gibt keine Wiederholung zu melden — Häufigkeit 1, Anzahl der Modi gleich Anzahl der Werte, kein Modus. Rundet man dieselben Messwerte grob, entsteht ein Modus, der in Wahrheit nur eine Rundungsgrenze abbildet. Seine Stärke liegt bei kategorialen Daten und bei Zahlen, die sich tatsächlich wiederholen, etwa wie oft jede von fünf Antwortoptionen gewählt wurde.

Gibt es beim Modus einen Unterschied zwischen Stichprobe und Grundgesamtheit?

Nein, und deshalb fehlt hier auch der Umschalter. Der Modus zählt Wiederholungen, es gibt keinen Divisor, an dem sich etwas ändern könnte; die Korrektur mit n − 1 gehört zur Streuung und greift dort, wo die Summe der Abweichungsquadrate durch eine Anzahl geteilt wird. Ob eine Liste eine Stichprobe oder ein vollständiger Bestand ist, ändert am Modus nichts.

• Modalwert — eLearning Modul 14 der Statistischen Ämter des Bundes und der Länder: der häufigste Wert als Lageparameter und seine Eignung für kategoriale Merkmale — Statistisches Bundesamt (Destatis)
• Measures of Location — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.1 — die Definition des Modus und der ausdrückliche Hinweis, dass er nicht eindeutig sein muss — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 — der Modus an Beispielen kategorialer Daten sowie die Fälle „kein Modus“ und „mehrere Modi“ — OpenStax (Rice University)