Mittelwert-Rechner

Mittelwert = (x₁ + x₂ + … + xₙ) ÷ n = Σx ÷ n

xᵢ

Eine Zahl aus der Liste. Werte dürfen negativ sein — eine Temperatur, ein Saldo, eine Abweichung von einem Ziel —, und sie dürfen Dezimalzahlen sein; in die Formel gehen nur die Summe und die Anzahl ein, es muss also nichts vorher sortiert werden

Σx

Die Summe aller Werte, ausgegeben im Ergebnisbereich. Sie ist der Zähler und die Zahl, die die Einheit trägt: Eine Summe von Minuten wird in Minuten gemessen, und der Mittelwert, der daraus hervorgeht, ebenso

n

Wie viele Werte es sind, ebenfalls ausgegeben. Sie ist der Nenner, und hierher bezieht dieser Mittelwert seine Bedeutung — die Summe wird gleichmäßig unter den Werten aufgeteilt, die Antwort ist also das, was jeder einzelne wäre, wenn alle gleich viel hätten

Σx ÷ n

Die eine Division, mit den tatsächlichen Zahlen darin im Ergebnisbereich ausgeschrieben. Sie nachzurechnen ist der Zweck davon, Summe und Anzahl getrennt zu zeigen: Stimmt die Antwort nicht, sagt genau diese Zeile, ob die Summe oder die Anzahl falsch getippt wurde

Verwenden Sie den Mittelwert für Größen, die sich addieren und bei denen jeder Eintrag gleich viel zählen soll. Das deckt die meisten Alltagsfälle ab: die Durchschnittsnote einer Klasse, der Durchschnittspreis eines Warenkorbs, die mittlere Dauer einer Aufgabe, die Durchschnittstemperatur eines Monats. Der Mittelwert ist außerdem die Zahl, mit der die Summe aufgeht — die Summe der Abweichungen von ihm ist genau null —, weshalb er die natürliche Zusammenfassung eines Ganzen und in der Statistik der Eingang fast alles Weiteren ist. Er ist die Summe geteilt durch die Anzahl, und das ist seine ganze Definition. Nehmen Sie etwas anderes, wenn die Einträge nicht gleich wichtig sind, dann passt der gewichtete Durchschnitt; wenn sich die Werte multiplizieren statt zu addieren, etwa Wachstumsraten und Verhältnisse, dann das geometrische Mittel; wenn die Werte Raten sind, dann das harmonische Mittel; und wenn einige wenige Extremwerte die Antwort vom typischen Fall wegziehen würden, dann der Median. Der Mittelwert ist von Natur aus empfindlich gegen Ausreißer, denn jeder Wert zieht an ihm im Verhältnis zu seinem Abstand; diese Empfindlichkeit ist mal der Grund, ihn zu verwenden, und mal der Grund, es nicht zu tun.

1. Fünf Testergebnisse

   1. Addieren Sie die Werte: 85 + 90 + 78 + 92 + 88 = 433
   2. Zählen Sie sie: Es sind 5
   3. Teilen Sie: 433 ÷ 5 = 86,6

   Das Panel schreibt diese Division vollständig aus — (85 + 90 + 78 + 92 + 88) / 5 = 86.6000 —, gelesen also 86,6, sodass sich die Antwort nachprüfen lässt, ohne die Addition zu wiederholen, und sodass sichtbar wird, dass im Nenner tatsächlich die Anzahl steht und nicht etwas anderes. Die Summe 433 ist hier für sich einen Blick wert: Sie ist das Ganze, das die Klasse erreicht hat, und der Mittelwert ist die Note, die jeder hätte, wenn dieses Ganze gleichmäßig verteilt würde. Dieselbe Fünferliste ist auf allen vier Seiten dieser Gruppe der Standardwert; wer von einer Seite zur anderen wechselt, bekommt dieselben Daten unter einem anderen Mittelwert: 86,6 ist das arithmetische Mittel, und der gewichtete, der geometrische und der harmonische Mittelwert liegen bei dieser Liste alle darunter.

2. Eine Liste mit negativen Werten

   1. Addieren Sie die Werte: −5 + (−1) + 3 = −3
   2. Es sind 3 Werte
   3. Teilen Sie: −3 ÷ 3 = −1

   Negative Werte sind gewöhnliche Eingaben: Temperaturen unter null, Salden im Minus, Messwerte relativ zu einer Grundlinie. Das Panel schreibt die Summe als (-5 - 1 + 3) statt als (-5 + -1 + 3) — dasselbe, aber so notiert, wie ein Mensch es aussprechen würde. Beachten Sie, dass die Antwort −1 zwischen dem kleinsten und dem größten Wert der Liste liegt, wie es bei einem Mittelwert immer sein muss — ein Mittelwert außerhalb der Spanne der Daten ist ein Zeichen dafür, dass etwas falsch getippt wurde. Sie muss außerdem kein Wert aus der Liste sein, und für diese Liste ist sie es nicht.

3. Zwei Dezimalwerte

   1. Addieren Sie die Werte: 0,3 + 0,45 = 0,75
   2. Es sind 2 Werte
   3. Teilen Sie: 0,75 ÷ 2 = 0,375

   Dezimalzahlen tippt man hier mit dem Komma ein, und ein Wert darf beliebig viele Stellen haben — auf dem Weg hinein wird nichts gerundet. Die Anzeige gibt die Antwort mit vier Nachkommastellen aus, was bei diesem Paar eine nachgestellte Null hinzufügt: Das Panel schreibt (0.3 + 0.45) / 2 = 0.3750, gelesen also 0,3 plus 0,45 geteilt durch 2 gleich 0,375, mit vier Stellen 0,3750. Diese Auffüllung ist Absicht und keine Behauptung von Genauigkeit; sie ist das, was den Ergebnisbereich mit der darüber ausgeschriebenen Division zur Deckung bringt, und sie ist die Stellenzahl, die jede Ausgabe auf dieser Seite verwendet.

4. Acht Werte, als Σ geschrieben

   1. Addieren Sie die Werte: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40
   2. Es sind 8 Werte
   3. Teilen Sie: 40 ÷ 8 = 5

   Diese Liste ist länger als sechs Werte, deshalb wechselt die Schritt-für-Schritt-Zeile auf die Kurzform: Das Panel schreibt Σx / 8 = 5.0000 (deutsche Lesart 5,0000) statt alle acht Zahlen auszuschreiben. Das Σ ist dasselbe Zeichen, das der Formelblock verwendet, und es bedeutet genau das, was die ausgeschriebene Zeile bedeutete — alles zusammenzählen —, es geht also nichts verloren, und eine Liste mit zweihundert Werten erzeugt keine Zeile mit zweihundert Zahlen. Der Wechsel geschieht oberhalb von sechs Werten und nicht bei irgendeiner anderen Anzahl: Darunter ist die ausgeschriebene Zeile kurz genug, um die nützlichere von beiden zu sein, und bei sechs Werten ist sie es noch.

Die Liste muss mindestens einen Wert enthalten und darf höchstens zweihundert haben, und ein Zeichen, das keine Zahl ist, wird abgewiesen statt übersprungen — eine Liste aus 1, 2 und abc wird zurückgewiesen und nicht über die zwei lesbaren Zahlen gemittelt. Ein Trennzeichen mit genau drei Ziffern dahinter wird ebenfalls abgewiesen: 1.500 und 1,500 sind beide ungültig, weil ein Komma in weiten Teilen der Welt das Dezimaltrennzeichen ist und ein Raten, welche Lesart gemeint war, die Antwort still um den Faktor tausend verschieben würde; schreiben Sie 1500, 1.5 oder 1,5. Auf dem Weg hinein wird nichts gerundet: Die Werte werden genau so verwendet, wie sie getippt wurden, und nur die ausgegebene Antwort ist auf vier Nachkommastellen festgelegt, sodass eine lange Liste mit vielen Stellen ein korrektes Ergebnis liefert, das dieselbe Ausgabe erzeugen kann wie ein benachbarter Wert. Der Mittelwert hat keine obere oder untere Grenze, auf die man sich berufen könnte — er liefert eine Antwort für eine Liste von Temperaturen wie für eine Liste von Preisen, ohne zu wissen, welche er vor sich hat, und er kann nicht erkennen, dass die beiden nicht in dieselbe Liste gehören. Und schließlich ist dieser Mittelwert nicht robust: Ein einziger sehr großer Wert verschiebt ihn weit, und jeder Wert zieht an ihm im Verhältnis zu seinem Abstand von der Antwort.

Wie berechnet man den Mittelwert einer Liste von Zahlen?

Addieren Sie die Zahlen, zählen Sie, wie viele es sind, und teilen Sie die Summe durch die Anzahl. Bei den fünf Ergebnissen dieser Seite ist die Summe 433 und es sind 5 Werte, der Mittelwert ist also 433 ÷ 5 = 86,6. Summe und Anzahl stehen neben der Antwort im Ergebnisbereich, die Division lässt sich also nachprüfen, ohne die Addition selbst zu wiederholen.

Worin unterscheidet sich der Mittelwert vom Durchschnitt?

Im Alltag ist es dieselbe Zahl, und diese Seite verwendet beide Wörter gleichbedeutend. Genauer geschrieben ist Durchschnitt der Oberbegriff für jeden mittleren Wert — Mittelwert, Median und Modus sind alle Durchschnitte —, während Mittelwert den einen benennt, der durch Addieren und Teilen entsteht; zur Abgrenzung vom geometrischen und vom harmonischen Mittel heißt er auch arithmetisches Mittel.

Kann der Mittelwert eine Zahl sein, die nicht in der Liste steht?

Ja, und meistens ist er das. Nichts in der Rechnung verlangt, dass die Antwort einer der Werte ist: Der Mittelwert von 1 und 2 ist 1,5, was nicht in dieser Liste steht, und der Mittelwert der fünf Ergebnisse hier ist 86,6, ebenfalls keine der fünf Noten. Garantiert ist, dass die Antwort zwischen dem kleinsten und dem größten Wert liegt; sie trifft einen davon nur, wenn die Liste zufällig so aufgeht.

Wie bildet man den Mittelwert negativer Zahlen?

Genau wie bei positiven: addieren und durch die Anzahl teilen. Die Vorzeichen regeln sich in der Addition von selbst, −5, −1 und 3 addieren sich also zu −3, und geteilt durch 3 ergibt −1. Das Panel schreibt die Summe mit Minuszeichen zwischen den Termen statt mit Pluszeichen vor negativen Zahlen — dieselbe Rechnung, nur so notiert, wie man sie aussprechen würde.

Warum zeigt das Ergebnis vier Nachkommastellen?

Weil jede Ausgabe auf dieser Seite auf feste vier Stellen gedruckt wird und eine feste Stellenzahl den Ergebnisbereich von einem Aufruf zum nächsten vergleichbar macht. Es ist keine Behauptung, die Antwort sei auf vier Stellen genau; der zugrunde liegende Wert trägt die volle Genauigkeit der Rechnung, festgelegt ist nur seine Anzeige.

Wann ist der Mittelwert der falsche Durchschnitt?

Wenn die Einträge nicht gleich wichtig sind, wenn sie sich multiplizieren statt zu addieren, oder wenn einige wenige Extremwerte die Antwort vom typischen Fall wegziehen würden. Ungleiche Wichtigkeit verlangt einen gewichteten Durchschnitt, Wachstumsraten und Verhältnisse verlangen das geometrische Mittel, Raten wie Geschwindigkeiten über eine feste Strecke das harmonische Mittel, und eine schiefe Liste, bei der der typische Fall mehr zählt als das Ganze, den Median.

• Arithmetic Mean — from Wolfram MathWorld (English original; die Definition, die Eigenschaft, dass die Summe der Abweichungen null ergibt, und die Ungleichung gegenüber dem geometrischen und dem harmonischen Mittel) — Wolfram MathWorld
• Arithmetisches Mittel — Mathebibel: die deutschsprachige Darstellung des Mittelwerts, seiner Berechnung als Summe geteilt durch die Anzahl und der Schreibweise, die im deutschen Unterricht üblich ist — Mathebibel (Deutschland)