Geometrisches-Mittel-Rechner

Geometrisches Mittel = ⁿ√(x₁ · x₂ · … · xₙ) = exp(Mittelwert(ln xᵢ))

xᵢ

Ein Wert aus der Liste, und jeder einzelne davon muss größer als null sein. Eine Null macht das Produkt zu null und die Antwort zu null, was der Rest der Liste auch sagt; ein negativer Wert führt auf eine gerade Wurzel aus einem negativen Produkt, und das ist gar keine Zahl

n

Wie viele Werte es sind, ausgegeben im Ergebnisbereich. Es ist der Exponent der Wurzel: zwei Werte verlangen eine Quadratwurzel, drei eine Kubikwurzel, fünf eine fünfte Wurzel. Diesen Exponenten falsch zu zählen ist der übliche Weg, auf dem eine Handrechnung danebengeht, deshalb wird er angezeigt, statt aus der Liste abgezählt werden zu müssen

x₁ · x₂ · … · xₙ

Das Produkt aller Werte. Nur das Produkt zählt, weshalb die Antwort nicht davon abhängt, in welcher Reihenfolge die Werte geschrieben wurden — und weshalb eine Liste aus zwei Werten die vertraute Quadratwurzel aus ihrem Produkt ist, also die mittlere Proportionale der beiden

Mittelwert(ln xᵢ)

Die andere Schreibweise derselben Sache, und die, die ein Rechner tatsächlich verwendet: den natürlichen Logarithmus jedes Wertes bilden, diese Logarithmen mitteln und den Logarithmus am Ende rückgängig machen. Das ergibt dieselbe Antwort wie das vorherige Multiplizieren, ohne den Überlauf, in den das Multiplizieren einer langen Liste großer Werte läuft

Nehmen Sie das geometrische Mittel für Raten und Verhältnisse — überall dort, wo sich die Zahlen multiplizieren statt zu addieren: Prozentsätze, die sich über Jahre verzinsen (Zinseszins), Verhältnisse, Indexstände, Wachstumsfaktoren. Ein Fonds, der 10 % gewinnt, 20 % gewinnt und 10 % verliert, steht nach den drei Jahren 18,8 % im Plus, und das ist 1,1 × 1,2 × 0,9; der mittlere jährliche Wachstumsfaktor ist die Kubikwurzel daraus, also 1,0591, und die ehrliche Jahreszahl lautet damit 5,91 % und nicht die 6,67 %, die ein schlichter Durchschnitt der drei Prozentsätze ergibt. Dieselbe Überlegung gilt für alles, was auf einer multiplikativen Skala gemessen wird: Bakterienzahlen, Erdbebenmagnituden, die Größen einer Reihe von Objekten, die mehrere Zehnerpotenzen umspannt, und eine Reihe von Verhältnissen wie Kurs-Gewinn-Zahlen, bei denen ein einzelner Extremwert sonst einen schlichten Durchschnitt beherrschen würde. Verwenden Sie es nicht für Werte, die sich addieren lassen — eine Liste von Temperaturen, Noten oder Preisen hat kein sinnvolles Produkt, und ihr geometrisches Mittel wäre eine Zahl ohne Deutung. Der eine Vergleich, den man sich merken sollte: Das geometrische Mittel ist immer das kleinere von beiden, und zwar umso mehr, je stärker die Werte streuen; der Abstand zwischen ihnen ist also ein grobes Maß dafür, wie ungleich die Liste ist.

1. Fünf Testergebnisse

   1. Multiplizieren Sie die Werte: 85 × 90 × 78 × 92 × 88 = 4.830.883.200
   2. Es sind 5 Werte, also ziehen Sie die fünfte Wurzel: ⁵√4.830.883.200 = 86,458
   3. Das arithmetische Mittel derselben Liste ist 86,6

   Die beiden Antworten unterscheiden sich um 0,142, was wenig ist, weil diese fünf Ergebnisse dicht beieinander liegen — das geometrische Mittel fällt umso weiter unter das arithmetische, je ungleicher die Liste ist. Diese Ungleichung ist kein Rundungsartefakt: Bei positiven Werten kann das geometrische Mittel das arithmetische nie überschreiten, und es erreicht es nur, wenn jeder Wert gleich ist. Noten sind eigentlich keine multiplikative Größe, dieses Beispiel steht also hier, um den Mechanismus zu zeigen, und nicht als natürlicher Anwendungsfall; wofür das Werkzeug gedacht ist, zeigt das Fondbeispiel danach.

2. Ein Fonds mit +10 %, +20 % und −10 %

   1. Multiplizieren Sie die Wachstumsfaktoren: 1,1 × 1,2 × 0,9 = 1,188
   2. Es sind 3 Faktoren, also ziehen Sie die Kubikwurzel: ³√1,188 = 1,0591
   3. Das arithmetische Mittel ist 1,0667 — höher, und für diese Frage falsch

   Die drei Jahre zusammen stehen 18,8 % im Plus, und 1,188 ist die einzige Zahl, die das aussagt. Der mittlere Jahresfaktor ist derjenige, der sich über drei Jahre auf 1,188 multipliziert, und das ist die Kubikwurzel 1,0591 — eine durchschnittliche jährliche Wachstumsrate von 5,91 %. Ein schlichter Durchschnitt der drei Prozentsätze ergibt 6,67 %, und der Grund, warum er zu hoch ist, ist dass sich Prozentsätze nicht addieren: Ein Minus von 10 % macht mehr wett als ein Plus von 10 %, weil es von einer größeren Basis abgezogen wird. Der Abstand beträgt hier 0,76 Prozentpunkte im Jahr, was über zwanzig Jahre den Unterschied zwischen einem verdreifachten Depot und einem auf das 3,6-Fache gewachsenen ausmacht.

3. Zwei Zahlen: die mittlere Proportionale

   1. Multiplizieren Sie die beiden Werte: 2 × 8 = 16
   2. Es sind 2 Werte, also ziehen Sie die Quadratwurzel: √16 = 4
   3. Das arithmetische Mittel desselben Paares ist 5

   Bei zwei Werten ist das geometrische Mittel die Quadratwurzel aus ihrem Produkt, und das ist die Zahl, die die antiken Geometer die mittlere Proportionale nannten: 2 verhält sich zu 4 wie 4 zu 8. Es ist außerdem die Seite des Quadrats mit derselben Fläche wie das Rechteck 2 × 8 — beide Male 16 —, während das arithmetische Mittel 5 die Seite des Quadrats mit demselben Umfang ist, eines Quadrats von 5 × 5 mit der Fläche 25. Das ist der deutlichste Fall, in dem die beiden Mittelwerte auseinandergehen, und er zeigt, warum das geometrische die richtige Antwort auf eine Frage nach Flächen, Maßstäben oder Wachstum ist und das arithmetische auf eine Frage nach Summen.

Jeder Wert muss größer als null sein, und die Seite weist eine Liste mit einer Null oder einem negativen Wert zurück, statt etwas Sinnloses auszugeben — eine einzige Null macht das Produkt zu null und die Antwort zu null, egal was der Rest der Liste enthält, und eine gerade Wurzel aus einem negativen Produkt ist keine reelle Zahl. Für eine Liste mit einer ungeraden Anzahl negativer Werte gäbe es im Prinzip eine reelle Antwort, aber das Vorzeichen eines aus Negativwerten gebildeten geometrischen Mittels trägt keine Deutung, deshalb werden solche Listen ebenfalls zurückgewiesen; die Lösung ist, mit den Wachstumsfaktoren statt mit den Prozentänderungen zu arbeiten. Dieser Mittelwert ist nur für Größen sinnvoll, die sich multiplizieren; für Noten, Temperaturen oder Preise ist er eine zulässige Rechnung ohne brauchbare Lesart, weshalb das arithmetische Mittel daneben ausgegeben und nicht ersetzt wird. Er versagt, sobald ein Wert null ist, was eine Reihe von Renditen mit einem Totalverlust ausschließt. Die Liste ist auf 200 Werte begrenzt, und ein Trennzeichen mit genau drei Ziffern dahinter wird abgewiesen statt geraten: 1.500 und 1,500 sind beide ungültig, weil ein Komma in weiten Teilen der Welt das Dezimaltrennzeichen ist. Schreiben Sie 1500 oder 1,5.

Wie berechnet man das geometrische Mittel?

Multiplizieren Sie alle Werte miteinander und ziehen Sie dann die Wurzel, deren Exponent die Anzahl der Werte ist. Für 2 und 8 ist das Produkt 16 und es sind zwei Werte, das geometrische Mittel ist also √16 = 4; bei fünf Werten zögen Sie die fünfte Wurzel. Ein Rechner macht dasselbe über Logarithmen, mittelt die Logarithmen und macht den Logarithmus am Ende rückgängig, was das riesige Zwischenprodukt vermeidet.

Warum ist das geometrische Mittel kleiner als das arithmetische?

Weil die Multiplikation einen Fall und einen Anstieg unsymmetrisch behandelt. Ein Wert, der 10 % fällt und danach 10 % steigt, steht unter seinem Ausgangswert, bei 1,1 × 0,9 = 0,99; jede Liste, die sich in beide Richtungen bewegt, hat also ein geometrisches Mittel unter ihrem arithmetischen. Die beiden stimmen nur überein, wenn jeder Wert gleich ist, und je weiter die Werte auseinanderliegen, desto breiter der Abstand — weshalb die Differenz der beiden Zahlen selbst ein grober Anhaltspunkt dafür ist, wie ungleich die Liste ist.

Wann verwendet man das geometrische Mittel statt des arithmetischen?

Wenn sich die Werte multiplizieren statt zu addieren. Wachstumsraten, Prozentsätze, die sich Jahr für Jahr verzinsen, Verhältnisse und Indexstände sind alle multiplikativ, und sie mit einem schlichten Mittel zu mitteln überzeichnet die Antwort. Beträge, die sich addieren — Noten, Temperaturen, Preise, Anzahlen von Dingen —, sind additiv, und für sie ist das arithmetische Mittel das richtige. Eine brauchbare Probe: Soll sich die Antwort verdoppeln, wenn sich jeder Wert verdoppelt? Wenn ja, ist die Größe multiplikativ.

Kann ich es auf eine Liste mit einer Null oder einer negativen Zahl anwenden?

Nein, und die Seite weist das zurück. Eine einzige Null treibt das Produkt auf null, die Antwort wäre also null, egal was der Rest der Liste sagt, und das ist kein Mittelwert von irgendetwas. Ein negativer Wert ergibt ein negatives Produkt, und eine gerade Wurzel daraus ist keine reelle Zahl. Praktisch behilft man sich bei einer Reihe von Prozentänderungen mit einem Totalverlust damit, mit den Wachstumsfaktoren zu arbeiten — 0,5 für einen Verlust von 50 % — und anzuerkennen, dass ein Faktor von null, also ein Totalverlust, überhaupt kein geometrisches Mittel hat.

Worin unterscheidet sich das von einer durchschnittlichen jährlichen Wachstumsrate?

Die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate ist das geometrische Mittel der jährlichen Wachstumsfaktoren, als Prozentsatz ausgedrückt. Wenn sich eine Anlage über drei Jahre mit 1,1, 1,2 und 0,9 multipliziert, ist das Produkt 1,188, die Kubikwurzel 1,0591, und das jährliche Wachstum beträgt 5,91 %. Alles im Rechner liegt bereits in dieser Form vor: Geben Sie die Faktoren statt der Prozentsätze ein, und die Zahl im Ergebnisbereich ist der Wachstumsfaktor, dessen Prozentsatz die Rate ist.

Spielt die Reihenfolge der Werte eine Rolle?

Nein. Das geometrische Mittel entsteht aus dem Produkt und der Anzahl, und die Multiplikation kümmert sich nicht um die Reihenfolge, 2, 8 und 4 ergibt also dieselbe Antwort wie 8, 4 und 2. Das ist gut zu wissen, weil das geometrische Mittel oft eine zeitliche Abfolge beschreibt — Jahre von Renditen — und seine Antwort absichtlich blind dafür ist, welches gute Jahr zuerst kam. Es beantwortet, wie das durchschnittliche Jahr aussah, nicht, was in einem bestimmten Jahr geschah.

• Geometric Mean — from Wolfram MathWorld (English original; die Definition, die mittlere Proportionale und die Ungleichung gegenüber dem arithmetischen Mittel) — Wolfram MathWorld
• Geometrisches Mittel — Mathebibel: die deutschsprachige Darstellung des geometrischen Mittels, seiner Berechnung über das Produkt und die n-te Wurzel und seines Gebrauchs bei Wachstumsraten — Mathebibel (Deutschland)