Harmonisches-Mittel-Rechner

Harmonisches Mittel = n ÷ (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ) = n ÷ Σ(1/xᵢ)

xᵢ

Ein Wert aus der Liste, und jeder einzelne muss größer als null sein. Eine Null macht 1/x unendlich, die Summe der Kehrwerte ist dann unendlich und die Antwort kommt als schlichte Null heraus, die wie ein Ergebnis aussieht; ein negativer Wert kann den Nenner zu null machen oder die Antwort aus der Spanne der Daten herausschieben

1/xᵢ

Der Kehrwert eines Wertes — seine Rate in eine Zeit verwandelt oder eine Zeit in eine Rate. Das ist der Schritt, der das harmonische Mittel so anders ausfallen lässt als die beiden anderen: Ein kleiner Wert hat einen großen Kehrwert und zieht am stärksten an der Antwort, und genau das soll geschehen, wenn der kleine Wert eine langsame Geschwindigkeit ist, die die Stunden frisst

Σ(1/xᵢ)

Die Summe dieser Kehrwerte und der Nenner des Bruchs. Sie ist das, was das Panel bei einer kurzen Liste Term für Term ausschreibt, denn diese Summe ist die ganze Rechnung: alles Weitere ist eine Division am Ende

n

Wie viele Werte es sind, ausgegeben im Ergebnisbereich. Es multipliziert wieder hoch, was die Kehrwerte heruntergeteilt haben — ohne es wäre die Antwort der Kehrwert eines Mittelwerts statt ein Mittelwert

Nehmen Sie das harmonische Mittel, wenn der Zähler festliegt und sich der Nenner ändert: eine feste Strecke, die mit verschiedenen Geschwindigkeiten gefahren wird, eine feste Arbeit, die mit verschiedenen Raten erledigt wird, eine feste Spannung über Widerständen verschiedener Größe. Der klassische Fall ist eine Fahrt in zwei Hälften — 30 hin und 60 zurück mittelt sich zu 40, weil die Rückfahrt halb so lange dauert wie die Hinfahrt, die langsame Geschwindigkeit also doppelt so viel Zeit hat, an der Antwort zu ziehen. Die beiden Geschwindigkeiten arithmetisch zu mitteln ergibt 45, und 45 wäre die richtige Antwort, wenn je die Hälfte der Zeit auf jede Geschwindigkeit entfiele; es lohnt sich, klar zu sagen, wonach die Frage jeweils fragt. Dieselbe Struktur deckt den Verbrauch über zwei Abschnitte einer Reise, den durchschnittlich gezahlten Preis, wenn ein festes Budget zu zwei verschiedenen Preisen ausgegeben wird, und den Parallelwiderstand, wo der Gesamtwert der Kehrwert der Summe der Kehrwerte ist — bei gleichen Widerständen schrumpft das auf den Widerstand geteilt durch ihre Anzahl, also auf das harmonische Mittel einer Liste gleicher Werte. Verwenden Sie es nicht für Größen, die sich addieren: Für Noten, Körpergrößen oder Beträge ist das harmonische Mittel eine kleinere Zahl ohne Lesart dahinter, und je weiter die Werte streuen, desto tiefer fällt es unter das arithmetische Mittel.

1. Fünf Testergebnisse

   1. Bilden Sie den Kehrwert jedes Wertes: 1/85 = 0,011765, 1/90 = 0,011111, 1/78 = 0,012821, 1/92 = 0,010870, 1/88 = 0,011364
   2. Addieren Sie sie: 0,011765 + 0,011111 + 0,012821 + 0,010870 + 0,011364 = 0,057931
   3. Teilen Sie die Anzahl durch die Summe der Kehrwerte — die gerundete 0,057931 oben teilt sich nicht zurück: 5 ÷ (1/85 + 1/90 + 1/78 + 1/92 + 1/88) = 86,3118

   Das Panel druckt diese mittlere Summe von 0,057931 bewusst nicht: Sie ist gerundet, und 5 ÷ 0,0579 = 86,3558, wer damit nachrechnete, bekäme also eine andere Antwort als die auf dem Bildschirm. Stattdessen wird der Ausdruck 5 / (1/85 + 1/90 + 1/78 + 1/92 + 1/88) gedruckt, der sagt, was gerechnet wurde, ohne zu einer Division einzuladen, die nicht aufgeht. Dieses Beispiel schließt zugleich die Kette auf dieser Seite: Für diese fünf Zahlen ist das harmonische Mittel 86,3118, das geometrische 86,458 und das arithmetische 86,6000, alle drei liegen also in der Reihenfolge, die die Ungleichung verspricht, und der Abstand zwischen ihnen ist ein Maß dafür, wie ungleich die Liste ist.

2. Hin mit 30, zurück mit 60 — die Durchschnittsgeschwindigkeit ist 40

   1. Bilden Sie die Kehrwerte: 1/30 = 0,033333 und 1/60 = 0,016667
   2. Addieren Sie sie: 0,033333 + 0,016667 = 0,05
   3. Teilen Sie die Anzahl durch die Summe: 2 ÷ 0,05 = 40

   Das ist das Beispiel, für das die ganze Seite existiert. Fahren Sie 60 Meilen mit 30 Meilen pro Stunde hin und 60 Meilen mit 60 zurück: Die Hinfahrt dauert zwei Stunden, die Rückfahrt eine, also drei Stunden für 120 Meilen, und das sind 40 Meilen pro Stunde. Das arithmetische Mittel von 30 und 60 ist 45, und 45 wäre richtig, wenn je eine Stunde mit jeder Geschwindigkeit gefahren worden wäre — das ist eine Frage nach der Zeit, und hier geht es um die Strecke. Umgekehrt ergibt 30 hin und 30 zurück beide Male 30, denn bei gleichen Werten gibt es nichts, worüber die beiden Verfahren streiten könnten.

3. Drei Werte: 1, 2 und 4

   1. Bilden Sie die Kehrwerte: 1/1 = 1, 1/2 = 0,5, 1/4 = 0,25
   2. Addieren Sie sie: 1 + 0,5 + 0,25 = 1,75
   3. Teilen Sie die Anzahl durch die Summe: 3 ÷ 1,75 = 1,7143

   Die Kehrwerte laufen den Werten entgegen, und das ist der ganze Charakter dieses Mittels: 1 ist der kleinste Wert der Liste und liefert den größten Term, nämlich 1, während 4 der größte Wert ist und den kleinsten Term beisteuert, 0,25. Die Antwort liegt deshalb deutlich unter dem arithmetischen Mittel 2,3333 und näher am kleinen Ende der Liste. Die Werte hier sind geometrisch — jeder ist das Doppelte des vorigen —, und bei so einer Liste trennen sich die drei Mittel am schärfsten: 1,7143, dann 2 als geometrisches Mittel, dann 2,3333.

4. Der Schnitt bei 1: die Kehrwerte drehen die Reihenfolge um

   1. Bilden Sie die Kehrwerte: 1/0,5 = 2 und 1/2 = 0,5
   2. Addieren Sie sie: 2 + 0,5 = 2,5
   3. Teilen Sie die Anzahl durch die Summe: 2 ÷ 2,5 = 0,8

   Werte unter 1 haben Kehrwerte über 1, der kleinere Wert dieses Paares erzeugt also den größeren Term und beherrscht den Nenner: 0,5 trägt 2 bei, während 2 nur 0,5 beisteuert. Das harmonische Mittel landet deshalb bei 0,8, nahe am kleinen Wert, während das arithmetische Mittel 1,25 zwischen den beiden liegt. Diese Ordnung zu vertauschen — die Summe durch die Anzahl zu teilen statt die Anzahl durch die Summe — ergibt 1,25, also genau das arithmetische Mittel, das im Ergebnisbereich völlig plausibel aussieht; die Richtung des Bruchs ist also entscheidend, und an diesem Paar zeigt sich ein Fehler darin am deutlichsten.

5. Acht Werte, mit einem Σ geschrieben

   1. Bilden Sie den Kehrwert jedes Wertes: 1, 0,5, 0,333333, 0,25, 0,2, 0,166667, 0,142857, 0,125
   2. Addieren Sie sie: 2,717857
   3. Teilen Sie die Anzahl durch diese Summe: 8 ÷ 2,717857 = 2,9435

   Oberhalb von sechs Werten wechselt die Schritt-für-Schritt-Zeile auf die Kurzform: Das Panel schreibt 8 / Σ(1/xᵢ) = 2.9435 (deutsche Schreibweise 2,9435), weil jeder Kehrwert mindestens vier Zeichen hat und eine Liste mit zweihundert Werten sonst eine Zeile von weit über tausend Zeichen erzeugte. Die Abkürzung behält das Einzige, was sich nicht erraten lässt, nämlich die Richtung des Bruchs. Der Abstand ist hier der größte auf dieser Seite: 2,9435 gegen ein arithmetisches Mittel von 4,5, weil diese acht Werte sich gleichmäßig über den Faktor acht verteilen und das harmonische Mittel das Mittel ist, auf das das kleine Ende einer Liste am stärksten wirkt.

Jeder Wert muss größer als null sein, und die Seite weist eine Liste mit einer Null oder einem negativen Wert zurück. Die Null ist die gefährliche, denn der Kehrwert von null ist unendlich und die Antwort, die aus der Formel kommt, ist eine schlichte Null — eine Zahl, die wie ein Ergebnis aussieht und nicht wie ein Fehler. Ein negativer Wert kann die Summe der Kehrwerte zu null machen, was eine Division durch null wäre, oder die Antwort aus der Spanne der Werte selbst herausschieben. Dieser Mittelwert ist nur dort sinnvoll, wo ein festes Ganzes aufgeteilt wird, etwa eine feste Strecke, die mit wechselnden Geschwindigkeiten gefahren wird, oder ein festes Budget, das zu wechselnden Preisen ausgegeben wird; auf Noten, Körpergrößen oder Beträge angewandt liefert er eine kleinere Zahl ohne Deutung, und je stärker die Werte streuen, desto tiefer landet er unter dem arithmetischen Mittel. Die mittlere Summe der Kehrwerte erscheint gerundet nur dann, wenn Sie sie selbst addieren — das Panel druckt stattdessen den Ausdruck, gerade weil ein gerundeter Zwischenwert sich nicht auf die gedruckte Antwort zurückteilen lässt. Die Liste ist auf 200 Werte begrenzt, und ein Trennzeichen mit genau drei Ziffern dahinter wird abgewiesen statt geraten: 1.500 und 1,500 sind beide ungültig, weil ein Komma in weiten Teilen der Welt das Dezimaltrennzeichen ist. Schreiben Sie 1500 oder 1,5.

Wie berechnet man das harmonische Mittel?

Bilden Sie den Kehrwert jedes Wertes, addieren Sie diese, und teilen Sie dann die Anzahl der Werte durch diese Summe. Für 30 und 60 sind die Kehrwerte 0,033333 und 0,016667, die sich zu 0,05 addieren, und 2 ÷ 0,05 = 40. Die Reihenfolge ist wichtig: Es ist die Anzahl geteilt durch die Summe und nicht die Summe geteilt durch die Anzahl — verkehrt herum kommt das arithmetische Mittel heraus.

Warum ist das harmonische Mittel kleiner als die beiden anderen?

Weil das Bilden des Kehrwerts die Reihenfolge der Werte umdreht und danach jeder Wert im Verhältnis zu seiner Kleinheit beiträgt. Ein kleiner Wert hat einen großen Kehrwert und zieht den Nenner nach oben, was die Antwort nach unten zieht, und der Effekt wächst mit dem Abstand der Werte. Bei gleichen Werten stimmen alle drei Mittel überein; je weiter die Liste streut, desto tiefer fällt das harmonische Mittel unter das geometrische, das wiederum unter das arithmetische.

Warum ist die Durchschnittsgeschwindigkeit 40 und nicht 45?

Weil die beiden Abschnitte unterschiedlich viel Zeit gekostet haben. Über dieselbe Strecke mit 30 und mit 60 dauert der langsamere Abschnitt doppelt so lange, er hat also doppelt so viel zu sagen: zwei Stunden mit 30 plus eine Stunde mit 60 sind 120 Meilen in drei Stunden, also 40 Meilen pro Stunde. Die 45 ist das arithmetische Mittel und beantwortet eine andere Frage — die Durchschnittsgeschwindigkeit, wenn je gleich viel Zeit auf jede Geschwindigkeit entfiele und nicht je gleich viel Strecke.

Wann sollte man es statt eines schlichten Durchschnitts verwenden?

Wenn das Ganze festliegt und sich die Rate ändert — eine feste Strecke, die mit wechselnden Geschwindigkeiten gefahren wird, eine feste Arbeit, die von Maschinen unterschiedlicher Leistung erledigt wird, ein festes Budget, das zu verschiedenen Preisen ausgegeben wird, eine feste Spannung über Widerständen verschiedener Größe. Wenn es dagegen Beträge sind, die sich addieren, oder eine Reihe von Werten, die alle gleich viel zählen sollen, ist das arithmetische Mittel das richtige, und das harmonische wäre eine kleinere Zahl ohne Inhalt.

Wie hängt es mit dem Parallelwiderstand zusammen?

Direkt: Der Gesamtwiderstand paralleler Widerstände ist der Kehrwert der Summe ihrer Kehrwerte, also diese Formel ohne die abschließende Multiplikation mit der Anzahl. Zwei Widerstände von je 10 Ohm parallel ergeben 5 Ohm, und das harmonische Mittel von 10 und 10 ist auf dieser Seite 10 — die Mittelung der Kehrwerte hebt sich auf, weil das harmonische Mittel einer Liste gleicher Werte dieser Wert ist, und das arithmetische und das geometrische ebenso. Interessant sind die ungleichen Fälle: Der Parallelwert liegt immer unter dem kleinsten Widerstand, genau wie das harmonische Mittel immer unter dem kleinsten Wert einer Liste liegt.

Dürfen die Werte kleiner als 1 sein?

Ja, solange sie alle größer als null sind. Werte unter 1 haben Kehrwerte über 1, tragen also die größten Terme bei, und die Antwort landet nahe bei ihnen: Für 0,5 und 2 ist das harmonische Mittel 0,8, deutlich unter dem arithmetischen Mittel von 1,25. Das ist dieselbe Regel wie überall auf dieser Seite, nur in die andere Richtung gelesen — der kleine Wert zieht, auf welcher Seite der 1 er auch liegt.

• Harmonic Mean — from Wolfram MathWorld (English original; die Definition, der Bezug zum arithmetischen und zum geometrischen Mittel und die klassische Konstruktion der mittleren Proportionalen) — Wolfram MathWorld
• Harmonisches Mittel — Mathebibel: die deutschsprachige Darstellung des harmonischen Mittels, seiner Berechnung über die Kehrwerte und der Fälle, in denen es statt des arithmetischen Mittels gilt — Mathebibel (Deutschland)