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Prozentuale-Änderung-Rechner

Ergebnis

25,0000 %

Prozentuale Änderung (%)

Änderungsbetrag (neu − alt)
25,0000
Faktor (neu ÷ alt)
1,2500

Dieser Prozentrechner für die prozentuale Änderung nimmt einen alten und einen neuen Wert und gibt an, um wie viel Prozent sich der Wert geändert hat — als Prozentangabe mit Vorzeichen. Von 100 auf 150 sind es +50 Prozent, und das Vorzeichen ist der Sinn dieser Seite: Dieselbe Lesart deckt einen Anstieg und einen Rückgang ab, Sie müssen also nicht vorher wissen, welchen der beiden Sie gerade vor sich haben. Die Prozentangabe wird gegen den alten Wert gemessen, und genau das macht die beiden Richtungen unsymmetrisch. Von 100 auf 150 hinauf sind es +50 Prozent, von 150 auf 100 zurück hinunter aber -33,3333 Prozent — dieselbe Strecke, zwei verschiedene Prozentangaben, weil der Rückweg gegen 150 gemessen wird und nicht gegen 100. Das ist kein Rundungsartefakt und keine Eigenheit dieser Seite, sondern das, was die Frage bedeutet. Ein Anstieg und ein Rückgang derselben Prozentzahl heben sich deshalb nicht auf, und darum steht ein Preis, der um 50 Prozent steigt und danach um 50 Prozent fällt, unter seinem Ausgangswert. Zur Prozentangabe gehören zwei weitere Lesarten: der Betrag der Änderung als schlichte Zahl — der Zähler — und der Faktor, also der neue Wert geteilt durch den alten, wobei 1 bedeutet, dass sich nichts geändert hat, und 0, dass vom neuen Wert nichts übrig ist. Wer die Änderung in Prozent berechnen will, braucht dafür nur diese eine Zeile: neuen Wert minus alten Wert, geteilt durch den alten Wert, mal hundert. Der alte Wert darf negativ sein, und eine Änderung, die wie ein Anstieg aussieht, kann dann mit einer negativen Prozentzahl zurückkommen; die Seite erklärt diesen Fall, statt ihn zu verstecken. Drei Dinge lohnt es sich, vorher zu wissen. Die Prozentangabe hat eine Untergrenze bei -100 Prozent, denn mehr als alles kann nichts fallen. Der alte Wert darf nicht null sein, weil sonst durch null geteilt würde; der neue Wert darf null sein, und das ist ein vollständiger Rückgang und kein Fehler. Und der Faktor ist die Lesart, die sich verketten lässt: Zwei Faktoren hintereinander ergeben die richtige Gesamtänderung, zwei Prozentangaben addiert ergeben sie nicht, weil die zweite Prozentangabe gegen eine andere Basis gemessen wird. Was diese Seite nicht tut, ist zu beurteilen, ob eine Änderung groß oder klein ist — ob drei Prozent viel sind, hängt ganz davon ab, was da gemessen wird.

Zehn Änderungen, beide Richtungen nebeneinander

Alter WertNeuer WertProzentuale ÄnderungBetrag der ÄnderungFaktor
10015050501.5
150100-33.3333-500.6667
10075-25-250.75
7510033.3333251.3333
506020101.2
6050-16.6667-100.8333
100100001
1000-100-1000
1002001001002
405025101.25

Jede Zeile ist ein Wertepaar und die drei Lesarten, die diese Seite daraus erzeugt; die Spalten sind also alt, neu, die Prozentangabe mit Vorzeichen, die schlichte Differenz und der Faktor. Die ersten beiden Zeilen stehen absichtlich nebeneinander: 100 auf 150 und 150 zurück auf 100 sind dieselben zwei Zahlen in umgekehrter Reihenfolge, und die Prozentangaben sind +50 Prozent und -33,3333 Prozent. Diese beiden Zeilen zusammen zu lesen, ist der schnellste Weg zu sehen, dass eine prozentuale Änderung nicht symmetrisch ist, und deshalb stehen sie oben und nicht irgendwo in der Mitte. Die Zeilen drei und vier sind ein kleineres Paar in beiden Richtungen, 100 auf 75 und 75 auf 100, und zeigen dieselbe Unsymmetrie mit kleineren Zahlen. Die Zeilen fünf und sechs sind ein Paar, das sich in absoluten Zahlen um jeweils 10 bewegt, 50 auf 60 und 60 auf 50, mit +20 Prozent und -16,6667 Prozent. Zeile sieben bewegt sich überhaupt nicht, und alle drei Lesarten nehmen ihre leeren Werte an — 0 Prozent, 0 und 1. Zeile acht fällt bis auf null, das ist die Untergrenze bei -100 Prozent und ein Faktor von 0. Zeile neun ist eine Verdopplung, bei der Prozentangabe und Änderungsbetrag zufällig dieselbe Zahl sind, und Zeile zehn ist ein Anstieg um 10 auf einer kleinen Basis, also +25 Prozent — eine Erinnerung daran, dass die Prozentangabe und der Betrag zwei verschiedene Fragen sind. Der Dezimaltrenner ist in dieser Tabelle der Punkt (-33.3333 statt -33,3333), weil die Zellwerte unverändert durchgereicht werden und nicht durch eine Textvorlage laufen und Tausender nicht gruppiert sind (1000 statt 1.000).

Formel

Änderungsbetrag = neu − alt prozentuale Änderung = (neu − alt) ÷ alt × 100 Faktor = neu ÷ alt

Alter Wert
Der Wert, von dem Sie ausgehen: 100 im Standardfall. Er ist der Nenner der ganzen Rechnung, weshalb er nicht null sein darf — nichts ist ein Prozentwert von null. Er darf negativ sein; das ist zulässig, liest sich aber seltsam, und die Seite hat dazu weiter unten einen Abschnitt.
Neuer Wert
Der Wert, bei dem Sie angekommen sind: 125 im Standardfall. Er darf kleiner sein als der alte Wert, dann ist die Änderung negativ, und er darf null sein, was ein vollständiger Rückgang ist und kein Fehler.
Änderungsbetrag
Die schlichte Differenz, neu minus alt: 50 für 100 auf 150. Er trägt das Vorzeichen, sagt also sowohl wie viel als auch in welche Richtung. Er ist der Zähler der Prozentangabe und steht deshalb einzeln da, weil eine Prozentzahl ohne ihre absolute Größe schwer einzuordnen ist — 25 Prozent einer kleinen Menge und 25 Prozent einer großen sind dieselbe Angabe.
Prozentuale Änderung
Der Änderungsbetrag geteilt durch den alten Wert, mal hundert: +50 Prozent für 100 auf 150 und -33,3333 Prozent für 150 auf 100. Positiv heißt, der Wert ist gestiegen, negativ heißt, er ist gefallen, und null heißt, er hat sich nicht bewegt. Ausgegeben werden vier Nachkommastellen, was eine Anzeigebreite ist; bei Änderungen, die nicht aufgehen, wird die vierte Stelle gerundet.
Faktor
Der neue Wert geteilt durch den alten: 1,5 für 100 auf 150, 1 ohne Änderung, 0,5 bei einer Halbierung. Er sagt, womit man multipliziert, statt was man addiert, und das ist die Lesart, die sich richtig verkettet — zwei Faktoren hintereinander ergeben die richtige Gesamtänderung, zwei Prozentzahlungen addiert dagegen nicht.

Der erste Fall ist ein Vergleich, bei dem die Richtung vorher nicht feststeht: eine Kennzahl, die gestiegen oder gefallen sein kann, und Sie möchten eine einzige Lesart, die beides abdeckt. Der zweite ist die Prüfung einer Behauptung — ein Preis, eine Zugriffszahl oder ein Umsatz, von dem jemand sagt, er habe sich um soundso viel Prozent geändert; die Faktorzeile ist dabei oft die schnellste Bestätigung, denn 1,5 passt entweder zu den Zahlen oder nicht. Der dritte Fall ist eine Reihe von Änderungen, bei der sich der Faktor verketten und die Prozentangabe zitieren lässt. Der vierte ist ein Rückgang auf null, bei dem die prozentuale Änderung genau -100 Prozent beträgt und der Faktor 0 ist, und beide Werte sind aus verschiedenen Gründen nützlich. Der fünfte ist ein negativer Ausgangswert, etwa ein Verlust, der zu einem kleineren Verlust wird; dort braucht das Vorzeichen der Antwort Sorgfalt, und die Seite führt aus, warum es falsch aussehen kann. Wer stattdessen den Weg vom alten auf einen gewünschten neuen Wert sucht, ist auf einer anderen Seite dieser Sammlung richtig; hier steht nur, was sich tatsächlich geändert hat.

Rechenbeispiele

  1. 100 → 150

    1. Den Änderungsbetrag bestimmen: 150 − 100 = 50
    2. Durch den alten Wert teilen: 50 ÷ 100 = 0,5
    3. Mit 100 multiplizieren: 0,5 × 100 = 50, die Änderung beträgt also +50 Prozent
    4. Der Faktor ist 150 ÷ 100 = 1,5, was dasselbe sagt: Der Wert ist um die Hälfte seiner selbst größer geworden

    Der Anstieg des Paares und derjenige, der unten neben seine eigene Umkehrung gestellt wird. Der Nenner ist der alte Wert, 100, deshalb ist die Antwort runde 50 Prozent. Hier stimmt alles mit sich selbst überein: Der Betrag ist 50, die Prozentangabe sind 50 Prozent von 100, und der Faktor ist 1,5. Nehmen Sie diese Zeile als Kontrolle, wenn Sie einen Rückgang prüfen, denn die beiden Richtungen sind das Paar, von dem alle erwarten, dass es übereinstimmt, und das es nicht tut.

  2. 150 → 100

    1. Den Änderungsbetrag bestimmen: 100 − 150 = -50
    2. Durch den alten Wert teilen, der jetzt 150 ist: -50 ÷ 150 = -0,333333…
    3. Mit 100 multiplizieren: -33,3333 Prozent nach Rundung auf vier Stellen
    4. Der Faktor ist 100 ÷ 150 = 0,6667

    Dieselbe Strecke rückwärts und die Lesart, die überrascht: Hinunter geht es um -33,3333 Prozent und nicht um -50 Prozent. Der absolute Betrag ist derselbe 50, und der Faktor ist 0,6667 statt 1,5 — aber der Nenner hat sich von 100 auf 150 geändert, die Prozentangabe kann also nicht dieselbe sein. Stellen Sie dieses Beispiel neben das darüber: 100 auf 150 und 150 auf 100 sind dieselben zwei Zahlen, und die Prozentangaben sind keine Spiegelbilder. Deshalb bringt ein Anstieg und ein Rückgang derselben Prozentzahl einen Wert nicht an seinen Ausgangspunkt zurück.

  3. 100 → 125

    1. Den Änderungsbetrag bestimmen: 125 − 100 = 25
    2. Durch den alten Wert teilen: 25 ÷ 100 = 0,25
    3. Mit 100 multiplizieren: +25 Prozent
    4. Der Faktor ist 125 ÷ 100 = 1,25

    Das Standardpaar der Seite, gewählt, weil hier alle drei Lesarten deutlich verschieden sind: Der Betrag ist 25, die Prozentangabe sind 25 Prozent, und der Faktor ist 1,25. Sie für austauschbar zu halten, ist der häufigste Fehler bei dieser Rechnung — ein Anstieg um 25 Prozent ist kein Zuwachs um 25 von irgendetwas Bestimmtem, sondern ein Viertel dessen, was der alte Wert war.

  4. 100 → 0

    1. Den Änderungsbetrag bestimmen: 0 − 100 = -100
    2. Durch den alten Wert teilen: -100 ÷ 100 = -1
    3. Mit 100 multiplizieren: -100 Prozent
    4. Der Faktor ist 0 ÷ 100 = 0

    Ein Rückgang bis auf nichts, den die Seite annimmt: Gemessen wird gegen den alten Wert, und der ist 100, die Rechnung ist also wohldefiniert. Das ist der eine Fall, in dem die Prozentangabe bei -100 Prozent eine Untergrenze hat — mehr als alles kann nichts fallen. Der Faktor 0 ist die Lesart, die sich richtig verkettet, denn mit 0 multipliziert ergibt 0, was auch als Nächstes kommt.

  5. -50 → -25

    1. Den Änderungsbetrag bestimmen: -25 − (-50) = 25, der Wert ist also nach oben gegangen
    2. Durch den alten Wert teilen: 25 ÷ (-50) = -0,5
    3. Mit 100 multiplizieren: -50 Prozent — laut Formel ein Rückgang, obwohl die Zahl größer geworden ist
    4. Der Faktor ist -25 ÷ -50 = 0,5

    Der Fall, der nach einem Fehler aussieht und keiner ist. Der Wert ist von -50 auf -25 gegangen, also nach oben, und der Änderungsbetrag ist +25, also positiv; die Prozentangabe ist -50 Prozent, weil der Zähler positiv und der Nenner negativ ist. Eine prozentuale Änderung an einer Größe zu lesen, die die Null überschreitet, ist tatsächlich heikel, und das Redliche ist, die Rechnung zu zeigen, statt die Antwort für anschaulich auszugeben. Der Faktor zeigt in dieselbe Richtung und ist genauso seltsam: Er liegt unter 1 für einen Wert, der größer geworden ist. Beides sind korrekte Anwendungen der Definitionen oben, und beides sind Gründe, neben der Prozentangabe auch den Änderungsbetrag zu lesen.

Einschränkungen

Der alte Wert darf nicht null sein. Ein Prozentwert von null hat keinen Wert — von nichts auf fünfzig zu kommen, ist ein Anstieg um unendlich viel und ein Anstieg um 100 Prozent, und keine der beiden Antworten ist brauchbar, die Seite lehnt die Eingabe also ab, statt sich eine auszudenken. Der neue Wert darf null sein: Das ist ein Rückgang um genau -100 Prozent, ein echtes Ergebnis und die Untergrenze dieser Rechnung. Beide Werte dürfen negativ sein, und eine Änderung zwischen zwei negativen Werten ist die Stelle, an der die Prozentangabe am ehesten gegen die Anschauung läuft: -50 auf -25 ergibt -50 Prozent für einen Wert, der größer geworden ist, weil der Nenner negativ ist. Die Seite gibt das so aus und erklärt es, statt es als Fehler zu kennzeichnen. Die Prozentangabe wird auf vier Nachkommastellen gerundet, eine Änderung, die nicht aufgeht, ist also in der letzten Stelle ungenau — 150 zurück auf 100 sind -33,3333 Prozent, also nicht genau ein Drittel. Nichts hier ist ein Urteil über die Größe: Die Seite sagt nicht, ob eine Änderung von drei Prozent viel oder wenig ist, denn das hängt ganz davon ab, was gemessen wird, und drei Prozent beim Körpergewicht sind ein anderes Ereignis als drei Prozent bei einem Aktienkurs. Die Seite verarbeitet außerdem genau zwei Werte und keinen mehr: Sie ist kein Rechner für zusammengesetztes Wachstum und verkettet keine Reihe von Änderungen zu einer Gesamtgröße, auch wenn die Faktorzeile die Lesart ist, mit der sich das von Hand erledigen lässt.

Häufige Fragen

Wie berechne ich die prozentuale Änderung zwischen zwei Werten?
Sie ziehen den alten Wert vom neuen ab, teilen das Ergebnis durch den alten Wert und multiplizieren mit hundert. Von 100 auf 150 ist der Änderungsbetrag 50, und 50 ÷ 100 = 0,5, das sind +50 Prozent. Das Vorzeichen sagt die Richtung: positiv für einen Anstieg, negativ für einen Rückgang.
Warum bringt ein Anstieg um 50 Prozent und ein anschließender Rückgang um 50 Prozent nicht an den Ausgangspunkt zurück?
Weil die beiden Prozentangaben gegen verschiedene Basen gemessen werden. Von 100 auf 150 hinauf sind es +50 Prozent, von 150 auf 100 hinunter aber -33,3333 Prozent — der Rückweg wird gegen 150 gemessen. Ein Rückgang um 50 Prozent von 150 aus würde bei 75 landen, also unter dem Ausgangspunkt. Das ist die Unsymmetrie der prozentualen Änderung, und deshalb lohnt sich die Faktorzeile, wenn Änderungen verkettet werden.
Kann die prozentuale Änderung negativ sein?
Ja, und negativ heißt schlicht, dass der Wert gefallen ist. Ein Rückgang von 150 auf 100 sind -33,3333 Prozent, und ein Rückgang bis auf nichts sind genau -100 Prozent, weiter geht es nicht. Eine negative Antwort ist kein Fehler, solange sie nicht dem Änderungsbetrag widerspricht, und das passiert nur, wenn einer der beiden Werte selbst negativ ist.
Wofür ist die Faktorzeile gut?
Der Faktor ist der neue Wert geteilt durch den alten, also 1,5 für 100 auf 150 und 0,6667 für 150 auf 100. Er sagt, womit man multipliziert, statt was man addiert, und damit ist er die Lesart, die sich richtig verkettet: Zwei Faktoren hintereinander ergeben die richtige Gesamtänderung, zwei addierte Prozentangaben nicht.
Was ist, wenn der alte Wert null ist?
Dann gibt es keine Prozentangabe, und die Seite sagt das, statt eine Zahl zurückzugeben. Eine Änderung von null aus ist in Prozent nicht definiert — man könnte sie einen unendlichen Anstieg nennen oder einen Anstieg um 100 Prozent, und falsch wäre keines von beidem. Ein neuer Wert von null ist etwas anderes und wird angenommen: Das ist ein Rückgang um -100 Prozent. Umgekehrt gilt die Grenze nur für den Ausgangspunkt — ein alter Wert von null wird abgelehnt, der neue darf es sein.
Kann ich negative Werte eingeben, etwa einen Verlust, der zu einem kleineren Verlust wird?
Ja, und die Antwort wird manchmal verkehrt aussehen. Von -50 auf -25 ist der Wert größer geworden und der Änderungsbetrag +25, die prozentuale Änderung aber -50 Prozent, weil der Nenner negativ ist. Die Seite zeigt in diesem Fall die Rechnung, statt sie zu verbergen; der Faktor liegt aus demselben Grund unter 1.

Quellen

Verwandte Rechner

Prozentuale-Zunahme-RechnerProzentuale Zunahme zwischen zwei Werten samt Rechenweg.Prozentuale-Abnahme-RechnerProzentuale Abnahme zwischen zwei Werten samt Rechenweg.Prozentdifferenz-RechnerProzentdifferenz zweier Werte, in beide Richtungen.Prozent-RechnerRechnet einen Anteil oder vergleicht zwei Werte in Prozent.