Prozentuale-Abnahme-Rechner
Ergebnis
Prozentuale Abnahme (%)
- Betrag des Rückgangs (alt − neu)
- 20,0000
- Verbleibend (%)
- 80,0000 %
Der Prozentrechner für die prozentuale Abnahme vergleicht zwei Werte und gibt an, wie weit der zweite gegenüber dem ersten gefallen ist, gemessen in Prozent des ersten. Von 100 auf 80 ist ein Rückgang um 20 Prozent, und diese Zahl ist die Größe des Falls: Es ist dieselbe Arithmetik wie bei einer Zunahme, nur in die andere Richtung gerechnet. Die Basis ist immer der Ausgangswert, ein Rückgang von 100 auf 80 und ein Anstieg von 80 auf 100 sind also 20 Prozent und 25 Prozent und nicht eine Zahl mit zwei Vorzeichen. Der Nenner entscheidet, woran die Bewegung gemessen wird, und er bleibt dort stehen, wo die Änderung begonnen hat. Weil die Frage auf dieser Seite ausdrücklich lautet, wie viel aufgegeben wurde, wird der Rückgang als Prozentzahl berichtet und nicht als Vorzeichenänderung: Die Seite beantwortet, wie groß der Fall war, und nicht, in welche Richtung er ging. Wer ihr ein Paar vorlegt, bei dem der Wert gestiegen ist, bekommt eine negative Antwort, und das ist die ehrliche Lesart und kein Fehler; die Schwesterseite, die zu jeder Bewegung das Vorzeichen nennt, ist eine andere Frage zu denselben zwei Zahlen. Die Anzeige gibt denselben Fall in drei Formen zurück. Die Prozentangabe ist die Schlagzeile und die Zahl, hinter der die meisten Leser her sind. Der Betrag des Rückgangs ist derselbe Fall in den ursprünglichen Einheiten, also das, was ein Haushalt, ein Lagerbestand oder ein Messwert tatsächlich verliert. Und ein verbleibender Anteil ist das, was vom Ausgangswert nach dem Abzug übrig ist: 100 auf 80 lässt 80 Prozent stehen, und er ergänzt die Prozentangabe daneben immer auf hundert, weil die beiden zusammen den Ausgangswert in den Teil zerlegen, der gegangen ist, und den, der geblieben ist. Zwei Eigenschaften der Basis sollte man kennen, bevor man die Anzeige liest. Ein Ausgangswert von null hat überhaupt keine prozentuale Abnahme: Die Division durch null ist undefiniert, die Seite meldet also, dass der Rückgang nicht zu berechnen ist, statt eine Zahl zu drucken. Und eine negative Basis wird angenommen, liest sich aber verkehrt herum, weil die Division ihr eigenes Vorzeichen mitbringt; ein Wert, der nach oben gegangen ist, kann dann mit einem ausgewiesenen Rückgang zurückkommen.
Gängige Rückgänge und Anstiege
| Ausgangswert | Neuer Wert | Prozentuale Abnahme (%) | Verbleibend (%) |
|---|---|---|---|
| 100 | 100 | 0 | 100 |
| 100 | 90 | 10 | 90 |
| 100 | 80 | 20 | 80 |
| 100 | 75 | 25 | 75 |
| 100 | 50 | 50 | 50 |
| 100 | 25 | 75 | 25 |
| 100 | 0 | 100 | 0 |
| 80 | 60 | 25 | 75 |
| 200 | 150 | 25 | 75 |
| 100 | 120 | -20 | 120 |
Die ersten sieben Zeilen beginnen alle bei hundert, wodurch die Prozentangabe direkt am Endwert ablesbar ist: Ein Fall von 100 aus ist hundert minus der neue Wert. Liest man sie von oben nach unten, läuft die Leiter von 0 Prozent (unverändert) über 50 Prozent (halbiert) bis 100 Prozent (nichts mehr übrig), und die Spalte mit dem verbleibenden Anteil ist ihr Spiegelbild und läuft von 100 Prozent bis auf 0 Prozent hinunter. Die nächsten beiden Zeilen beginnen woanders und stehen dort, um zu zeigen, dass die Basis das ist, woran die Prozentangabe gemessen wird: 80 auf 60 und 200 auf 150 sind beide eine Abnahme um 25 Prozent, obwohl die eine um 20 und die andere um 50 fällt. Die letzte Zeile ist diejenige, die steigt, und sie steht in der Tabelle, weil sie am deutlichsten zeigt, wie eine negative Abnahme aussieht: 100 auf 120 ist -20 Prozent bei 120 Prozent verbleibend. Jede Zeile hier kommt aus derselben Formel, und keine Zeile ist ein Sonderfall davon.
Formel
prozentuale Abnahme = (Ausgangswert − neu) ÷ Ausgangswert × 100 (100 → 80) = 20 ÷ 100 × 100 = 20 Prozent
- Ausgangswert
- Der Wert vor dem Fall. Er ist die Basis, gegen die jede Lesart der Anzeige gemessen wird, und die eine Eingabe, die nicht null sein darf.
- Neuer Wert
- Der Wert nach dem Fall. Er darf größer sein als der Ausgangswert, und genau das macht die Antwort zu einer negativen Abnahme statt zu einem Fehler.
- Betrag des Rückgangs
- Der Ausgangswert minus der neue Wert, in denselben Einheiten wie die beiden Eingaben: 20 bei den Standardzahlen. Er ist die absolute Hälfte des Vergleichs, und die Prozentangabe ist seine Größe relativ zum Ausgangswert.
- Verbleibend
- Der neue Wert als Prozentwert des Ausgangswerts: 80 Prozent bei den Standardzahlen, das heißt, vier Fünftel des Werts sind noch da. Das ist die Lesart für die Frage, was überlebt hat und nicht was verloren ging, und zusammen mit der prozentualen Abnahme ergibt sie immer hundert.
- Prozentuale Abnahme
- Der Betrag des Falls geteilt durch den Ausgangswert, dann mit hundert multipliziert. Positiv bei einem Rückgang, negativ bei einem Anstieg und null, wenn der Wert sich überhaupt nicht bewegt hat.
Eine prozentuale Abnahme ist das, was hier berichtet wird, und der Bericht ist an drei Stellen nützlich. Die erste ist ein Preis, eine Rechnung oder ein Messwert, der heruntergekommen ist; die Frage lautet dann, wie groß der Fall im Verhältnis zum Ausgangspunkt war: Ein Rückgang von 100 auf 80 ist eine Abnahme um 20 Prozent, und eine solche Zahl lässt sich über Dinge ganz verschiedener Größe hinweg vergleichen, was mit dem rohen Betrag nicht geht. Die zweite ist die Prüfung einer Behauptung: Eine Anzeige, die sagt, etwas habe ein Fünftel seines Werts verloren, sollte hier als 20 Prozent zurückkommen, und kommt sie als 25 Prozent zurück, sind die beiden Zahlen in die falschen Felder geraten. Die dritte ist die Beobachtung von etwas, das zur Neige geht, wobei der verbleibende Anteil die brauchbarere der drei Lesarten ist, denn ein Akku bei 80 Prozent und ein Haushalt mit 80 Prozent Rest sind beide Aussagen darüber, was noch verfügbar ist, und nicht darüber, was weg ist. Eine prozentuale Abnahme ist außerdem die natürliche Art, eine Unterdeckung gegenüber einem Ziel oder einen Rückgang gegenüber der Vorperiode zu benennen, und das ist dieselbe Rechnung mit der früheren Zahl als Ausgangswert.
Rechenbeispiele
100 → 80
- Betrag des Falls: 100 − 80 = 20
- Durch den Ausgangswert teilen: 20 ÷ 100 = 0,2
- Mit hundert multiplizieren: 0,2 × 100 = 20 Prozent
- Verbleibend: 80 ÷ 100 × 100 = 80 Prozent
Der Standardfall. Alle drei Lesarten beschreiben einen einzigen Fall: ein Fünftel des Werts ist weg, der Betrag ist 20, und vier Fünftel sind noch da. Die letzten beiden ergeben zusammen hundert, was ein schneller Weg ist, die Anzeige zu prüfen.
100 → 120
- Betrag des Falls: 100 − 120 = -20
- Durch den Ausgangswert teilen: -20 ÷ 100 = -0,2
- Mit hundert multiplizieren: -0,2 × 100 = -20 Prozent
- Verbleibend: 120 ÷ 100 × 100 = 120 Prozent
Ein Anstieg wird als negative Abnahme berichtet und nicht als Fehler, eine Lesart deckt also beide Richtungen ab. Der verbleibende Anteil geht aus demselben Grund über hundert: Es ist mehr vom Wert da, als der Ausgangswert hatte.
3 → 2
- Betrag des Falls: 3 − 2 = 1
- Durch den Ausgangswert teilen: 1 ÷ 3 = 0,333333…
- Mit hundert multiplizieren: 33,3333 Prozent auf vier Nachkommastellen
- Verbleibend: 2 ÷ 3 × 100 = 66,6667 Prozent
Ein Drittel geht nicht auf, hier werden also die vier Nachkommastellen der Anzeige sichtbar. Die beiden Prozentangaben werden getrennt gerundet und ergeben trotzdem zusammen hundert, was nicht bei jedem Zahlenpaar gilt, sobald die Rundung im Spiel ist.
Eine negative Basis, -50 → -25
- Betrag des Falls: -50 − (-25) = -25
- Durch den Ausgangswert teilen: -25 ÷ (-50) = 0,5
- Mit hundert multiplizieren: 50 Prozent
- Verbleibend: -25 ÷ -50 × 100 = 50 Prozent
Der Wert ist gestiegen, und die Seite berichtet eine Abnahme von 50 Prozent, weil die Basis, gegen die gemessen wird, unter null liegt. Die Rechnung stimmt, und die Lesart ist die, mit der man vorsichtig sein muss: Eine negative Basis ist der Fall, in dem eine prozentuale Abnahme nicht mehr zu der Anschauung passt, für die sie gebaut wurde.
Einschränkungen
Die Basis ist der Ausgangswert und nie der neue Wert. Das macht einen Fall und seine Umkehrung unsymmetrisch: 100 auf 80 ist eine Abnahme um 20 Prozent, 80 auf 100 dagegen eine Zunahme um 25 Prozent und nicht um 20 Prozent. Eine Änderung und ihr Gegenteil heben sich deshalb nicht auf, und eine Größe, die um ein Fünftel fällt und danach um ein Fünftel steigt, landet nicht dort, wo sie begonnen hat. Ein Ausgangswert von null hat überhaupt keine prozentuale Abnahme, und die Seite meldet einen Fehler statt einer Zahl: Die Division durch null ist nicht unendlich, sondern undefiniert, und zu sagen, etwas sei von nichts aus um irgendeinen Prozentsatz gefallen, wäre die Antwort auf eine Frage, die keine hat. Eine negative Basis wird angenommen und hat eine Antwort, doch das Vorzeichen dieser Antwort beschreibt die Division und nicht die Bewegung, ein Wert, der von -50 auf -25 gestiegen ist, kommt also als Abnahme um 50 Prozent zurück. Die Anzeige druckt vier Nachkommastellen, eine Prozentzahl, die nicht aufgeht, wird dort gerundet: Ein Fall von 3 auf 2 zeigt 33,3333 Prozent, und der genaue Wert ist ein periodischer Dezimalbruch, den nur ein Bruch aufschreiben kann. Der verbleibende Anteil wird genauso gerundet, die beiden nebeneinander gezeigten Zahlen können also in der letzten Stelle um eins an hundert vorbeiliegen. Diese Seite vergleicht zwei schlichte Zahlen und weiß nicht, ob sie bereits Prozentangaben sind: Eine Bewegung von 3 auf 2 Prozent ist sowohl ein Rückgang um einen Prozentpunkt als auch ein Rückgang um 33,3333 Prozent, und die Anzeige berichtet das Zweite, also das Relative. Sie berichtet außerdem nicht die Vorzeichenänderung, die eine Seite für prozentuale Zunahme zu demselben Paar ausgibt; das ist eine andere Frage zu denselben zwei Zahlen und der Grund, warum es beide Seiten gibt.
Häufige Fragen
- Wie berechne ich eine prozentuale Abnahme?
- Sie ziehen den neuen Wert vom Ausgangswert ab, teilen diese Differenz durch den Ausgangswert und multiplizieren mit hundert. Von 100 auf 80 sind das 20 ÷ 100 × 100, also 20 Prozent. Es ist dieselbe Formel wie bei der prozentualen Zunahme, nur werden die beiden Werte andersherum subtrahiert.
- Ist die Antwort positiv, wenn der Wert sinkt?
- Ja. Diese Seite berichtet die Größe des Falls, ein Rückgang kommt also als positive Prozentzahl zurück und ein Anstieg als negative. Das Vorzeichen beschreibt hier nicht, in welche Richtung sich der Wert bewegt hat, sondern ob die Frage beantwortet oder ihr widersprochen wurde.
- Was bedeutet der verbleibende Anteil?
- Er ist der neue Wert als Prozentwert des Ausgangswerts, sagt also, wie viel noch da ist: 100 auf 80 lässt 80 Prozent stehen, ein verbleibender Anteil von vier Fünfteln. Er ist die Begleitlesart zur Abnahme, und die beiden ergeben immer zusammen hundert, weil sie den Ausgangswert gemeinsam in das zerlegen, was gegangen ist, und das, was geblieben ist.
- Worin unterscheidet sich diese Seite vom Rechner für die prozentuale Zunahme?
- Die Arithmetik hat dieselbe Gestalt und die Basis ist derselbe Ausgangswert, aber die beiden Seiten beantworten verschiedene Fragen. Jene Seite berichtet die Änderung mit Vorzeichen, ein Fall von 100 auf 90 ist dort also -10 Prozent; diese Seite berichtet die Größe des Rückgangs und das, was übrig bleibt, dasselbe Paar ist hier also eine Abnahme um 10 Prozent bei 90 Prozent verbleibend.
- Warum wird der Ausgangswert als Basis genommen und nicht der neue Wert?
- Weil der Fall gegen seinen Startpunkt gemessen wird. Durch den neuen Wert zu teilen, würde eine andere Frage zu demselben Zahlenpaar beantworten: 100 auf 80 käme als 25 Prozent zurück, und das ist der Anteil des neuen Werts, der verloren ging, nicht die Größe, um die der Ausgangswert gefallen ist.
- Warum zeigt die Seite einen Fehler, wenn der Ausgangswert null ist?
- Weil die prozentuale Abnahme von null aus nicht definiert ist: Die Formel teilt durch den Ausgangswert, und die Division durch null hat kein Ergebnis. Von null aus ist nichts um irgendeinen endlichen Prozentsatz gefallen, es gibt also keine Zahl zu drucken.
- Kann eine prozentuale Abnahme über 100 Prozent liegen?
- Nicht, solange der Ausgangswert positiv ist: Der größtmögliche Fall ist alles, 100 auf 0 ist also genau eine Abnahme um 100 Prozent, und das ist die Obergrenze. Ein neuer Wert unter null geht darüber hinaus, weil der Wert weiter als bis auf nichts gefallen ist: 100 auf -50 ist eine Abnahme um 150 Prozent.
Quellen
- Percentage Change — the change from a nonzero initial value to a final value, where a negative result is a percentage decrease; the entry states that the change is undefined for a zero initial value and that it is not symmetric, which are the two properties this page is built around — Wolfram MathWorld (United States)
- Percent — a ratio or fraction converted to a percentage by multiplying by a hundred, illustrated with an investment: the new value as a percentage of the old one, and what is left after a fall, are the two relative readings this page prints — Wolfram MathWorld (United States)
- Relative Error — the relative form of a difference divides by the reference value rather than by the measured one, and the percentage form is a hundred times that relative figure, which is the shape of the headline reading here and of the remaining percentage beside it — Wolfram MathWorld (United States)
- Grundwert — die Basis, auf die sich ein Prozentsatz bezieht, und damit genau die Größe, durch die diese Seite teilt, wenn sie den Rückgang in Prozent ausdrückt — Mathebibel (Deutschland)