Rabatt-Rechner

Preis nach dem ersten Rabatt = Listenpreis × (1 − Rabatt eins ÷ 100)　｜　Zu zahlender Preis = dieser Preis × (1 − Rabatt zwei ÷ 100)

listPrice

Der Preis vor jedem Rabatt. Jede Zahl auf dem Panel wird daraus abgeleitet, und deshalb wird ein Listenpreis von null abgelehnt: Es käme ein Panel voller Nullen heraus statt einer Antwort

discountPercent

Der erste Rabatt, genommen vom vollen Listenpreis. Er ist von den beiden Sätzen der wirksamere, weil der zweite weniger übrig hat, worauf er arbeiten kann

additionalDiscountPercent

Der zweite Rabatt, genommen von dem Preis, den der erste übrig gelassen hat. Er schneidet weniger weg, als sein eigener Satz vermuten lässt, und genau davon handelt diese Seite

priceAfterFirstDiscount

Was der Preis kostet, wenn der erste Rabatt herunter ist. Er ist die Grundlage, auf der der zweite Rabatt arbeitet, und deshalb sind zweimal zehn Prozent nicht zwanzig

finalPrice

Was Sie bezahlen. Er ist die Hauptzahl auf dem Panel und der Wert, zu dem der zweite Rabatt hinführt

savings

Der Listenpreis minus dem, was Sie bezahlen — als Subtraktion der beiden angezeigten Zahlen gebildet und nicht dadurch, dass die zwei Rabattsätze zusammengezählt werden

effectiveDiscountPercent

Die beiden Sätze als ein einziger Gesamtrabatt ausgedrückt. Er ist immer kleiner als ihre Summe, und bei zwanzig und danach zehn sind es 28 und nicht 30

Diese Seite ist die richtige, wenn auf denselben Preis zwei Ermäßigungen nacheinander angewendet werden und Sie wissen wollen, was sie zusammen ausmachen: ein reduzierter Preis, auf den an der Kasse noch einmal etwas abgeht, ein Gutschein, der nach dem Saisonschlussverkauf greift, ein Kundenrabatt, der auf eine Aktion draufgelegt wird. Bei nur einem Satz nehmen Sie besser die Seite für den einzelnen Rabatt, denn die Zwischenzeile, die diese Seite zusätzlich ausgibt, hätte dort nichts zu zeigen. Wer den Endpreis aus zwei Sätzen berechnen will, ist hier richtig; wer nur ausrechnen will, wie viel ein einzelner Satz wegnimmt, ist dort besser aufgehoben.

1. Standardfall: 100 mit 20 Prozent und danach 10 Prozent

   1. Nach dem ersten Rabatt: 100 × (1 − 20 ÷ 100) = 80,00
   2. Nach dem zweiten: 80 × (1 − 10 ÷ 100) = 72,00
   3. Ersparnis: 100,00 − 72,00 = 28,00
   4. Gesamtrabatt: 28,00 ÷ 100 × 100 = 28,00 %

   Zwanzig und danach zehn ist das Paar, an dem man die ganze Seite abliest, denn die Antwort ist 28 und nicht die 30, die beide Sätze zusammengezählt ergeben; die zwei Punkte Unterschied sind der zweite Rabatt, der auf achtzig landet statt auf hundert. Prüfen Sie lieber die Addition als die Multiplikation: 100,00 minus 28,00 ist genau 72,00, und das ist die Beziehung, auf die die letzten beiden Zeilen hin gebaut sind.

2. Ein zweiter Rabatt von null: 250 mit 10 Prozent

   1. Nach dem ersten Rabatt: 250 × (1 − 10 ÷ 100) = 225,00
   2. Nach dem zweiten: 225 × (1 − 0 ÷ 100) = 225,00
   3. Ersparnis: 250,00 − 225,00 = 25,00
   4. Gesamtrabatt: 25,00 ÷ 250 × 100 = 10,00 %

   Ein zweiter Rabatt von null ist eine gültige Eingabe und kein leeres Feld, und die beiden Preiszeilen fallen dann aufeinander — was zugleich die Prüfung ist, dass die zweite Stufe wirklich eine Multiplikation ist und kein als Rabatt verkleideter Aufschlag. Genau das macht diese Seite zu einer Obermenge der Seite für den einzelnen Rabatt: Steht der zweite Satz auf null, stimmen beide Seite für Seite überein.

3. Ein Preis mit Nachkommastellen: 49,99 mit 15 Prozent und danach 5 Prozent

   1. Nach dem ersten Rabatt: 49,99 × 0,85 = 42,4915, gerundet auf zwei Stellen = 42,49
   2. Nach dem zweiten: 42,49 × 0,95 = 40,3655, gerundet auf zwei Stellen = 40,37
   3. Ersparnis: 49,99 − 40,37 = 9,62
   4. Gesamtrabatt: 9,62 ÷ 49,99 × 100 = 19,2448… = 19,24 %

   Hier wird sichtbar, dass nach jeder Stufe auf den Cent gerundet wird, und hier lohnt sich die Zwischenzeile am meisten. Der ungerundete erste Schritt ergibt 42,4915, der zweite Rabatt wird also auf 42,49 gerechnet und nicht auf dem Wert, den eine einzige Multiplikation weitergereicht hätte. Der Gesamtrabatt landet bei 19,24 und nicht bei den 20, die 15 und 5 zusammengezählt ergeben, und der zweite Rabatt ist der kleinere Teil der Differenz.

4. Zwei gleiche Sätze, bei denen die beiden Rundungsarten auseinandergehen

   1. Nach dem ersten Rabatt: 10 × (1 − 33,33 ÷ 100) = 6,667, gerundet auf zwei Stellen = 6,67
   2. Nach dem zweiten: 6,67 × (1 − 33,33 ÷ 100) = 4,446889, gerundet auf zwei Stellen = 4,45
   3. Ersparnis: 10,00 − 4,45 = 5,55
   4. Gesamtrabatt: 5,55 ÷ 10 × 100 = 55,50 %

   Ein Preis von zehn und zwei Sätze von einem Drittel ist der Fall, der die beiden Rechenwege trennt. Beide Sätze in einem Zug zu multiplizieren ergibt 10 × 0,6667 × 0,6667 = 4,444889, gerundet 4,44; nach jeder Stufe zu runden ergibt 4,45. Die Seite nimmt die Fassung mit der Rundung nach jeder Stufe, und der Unterschied ist ein Cent — aber ein Cent, den ein Leser mit dem Kassenbon in der Hand sehen kann. Deshalb sagt die Seite, welche der beiden sie verwendet, statt es den Leser herausfinden zu lassen.

5. Der kleinste Preis, den das Feld annimmt, mit zwei halben Sätzen

   1. Nach dem ersten Rabatt: 0,01 × 0,5 = 0,005, gerundet auf zwei Stellen = 0,01
   2. Nach dem zweiten: 0,01 × 0,5 = 0,005, gerundet auf zwei Stellen = 0,01
   3. Ersparnis: 0,01 − 0,01 = 0,00
   4. Gesamtrabatt: 0,00 ÷ 0,01 × 100 = 0,00 %

   Ein halber Cent ist kein Preis, und ihn aufzurunden ist das, was ein Preis tun muss. Jede Stufe lässt den Preis deshalb dort, wo er war, das Panel meldet nach zwei Rabatten von fünfzig Prozent keine Ersparnis, und der Gesamtrabatt liest sich als null. Das sieht nach einem Fehler aus und ist die Arithmetik des Cents: Die Seite kann keinen Preis unterhalb ihrer kleinsten Einheit ausgeben, also ist der tiefste Rabatt, den sie auf dem kleinsten Preis ausdrücken kann, gar keiner.

Zwei Konventionen der Rechnung sind zu kennen, bevor man die Zahlen allzu wörtlich nimmt. Die erste: Jede Stufe wird sofort auf den Cent gerundet, so wie es eine Kasse tut, statt beide Sätze miteinander zu multiplizieren und erst am Ende einmal zu runden. Bei den meisten Preisen stimmen beide Wege überein, bei manchen unterscheiden sie sich um einen Cent, und die Seite wählt die Rundung nach jeder Stufe, weil nur bei ihr die Zahlen auf dem Bildschirm zueinander passen — Listenpreis minus Ersparnis ergibt genau den zu zahlenden Preis, und zwar in den ausgegebenen Zahlen. Wenn Sie diese Seite gegen einen Kassenbon abgleichen und um einen Cent danebenliegen, ist das der wahrscheinliche Grund, und maßgeblich ist der Bon, wenn es darum geht, welche der beiden Ermäßigungen zuerst angewendet wurde. Die zweite: Ein Preis kann nicht unter seine kleinste Einheit fallen, also hört bei einem kleinen genug Preis und zwei tief genug greifenden Rabatten jede weitere Reduktion auf — zweimal fünfzig Prozent auf einen Cent lassen ihn bei einem Cent und melden keine Ersparnis. Das ist kein Fehler im Rabatt, das ist die Untergrenze. Nichts hier beurteilt, ob der Rabatt echt oder günstig ist. Der Listenpreis ist eine Zahl, die Sie eintragen, und diese Seite hat keine zweite Quelle, gegen die sie ihn halten könnte; sie kann Ihnen also sagen, was ein Nachlass von diesem Preis aus ergibt, und nicht, ob der Preis, von dem aus reduziert wird, jemals verlangt wurde. In den Vereinigten Staaten ist diese Frage Gegenstand der Leitlinien der Federal Trade Commission gegen irreführende Preisangaben; zwei Abschnitte davon sind unten angeführt. Sie betreffen das, was ein Verkäufer ankündigen darf, und nicht die Arithmetik, und diese Seite unternimmt keinen Versuch, eine Eingabe daran zu prüfen. Die deutsche Entsprechung dieser Frage steht in § 11 PAngV: Wer gegenüber Verbrauchern mit einer Preisermäßigung für eine Ware wirbt, muss den niedrigsten Gesamtpreis angeben, den er innerhalb der letzten 30 Tage vor der Ermäßigung verlangt hat — der Vergleichsmaßstab ist dort also gesetzlich festgelegt, während er auf dieser Seite schlicht der Listenpreis ist, den Sie eintragen. Die Seite rechnet davon nichts nach und hat dafür kein Feld. Alle Zahlen sind Bruttowerte vor Abgaben. Es hängt keine Währung daran, weil die Rechnung in jeder dieselbe ist, und es ist keine Steuer, kein Versand und keine Gebühr abgebildet: Fällt eine Umsatzsteuer an, trifft sie den Betrag, der nach den Rabatten übrig bleibt, und nicht den Listenpreis, und das ist die Rechnung einer anderen Seite. Die beiden Rabattsätze werden außerdem als voneinander unabhängig behandelt. Manche Aktionen sind das nicht: Ein Gutschein, dessen Bedingungen sagen, dass er nicht mit anderen Angeboten kombinierbar ist, ist ein einziger Rabatt, und ihn in das zweite Feld einzutragen erzeugt einen größeren Nachlass, als die Bedingungen zulassen, weil diese Seite nicht wissen kann, was in den Bedingungen steht.

Sind 20 Prozent und danach noch einmal 10 Prozent dasselbe wie 30 Prozent?

Nein, und genau diese Lücke ist der Grund für diese Seite. Die zweiten zehn Prozent werden von dem Preis genommen, den die ersten übrig gelassen haben, bei hundert also von achtzig; sie nehmen deshalb 8,00 weg statt 10,00, und beide zusammen ergeben 28 Prozent. Je weiter die beiden Sätze auseinanderliegen, desto weiter bleibt der Gesamtrabatt unter ihrer Summe: zweimal fünfzig Prozent ergeben 75 statt 100, und zweimal zehn Prozent ergeben 19 statt 20. Das Panel gibt den Gesamtrabatt in einer eigenen Zeile aus, damit der Satz, der Ihnen genannt wurde, und der Satz, den Sie bekommen haben, nebeneinander gelesen werden können.

Spielt die Reihenfolge der beiden Rabatte eine Rolle?

Für das Ergebnis nicht, jedenfalls bei der Art, wie diese Seite rundet. Dieselben zwei Sätze in der anderen Reihenfolge ergeben denselben Preis, denn die beiden Schritte sind dieselben zwei Multiplikationen in vertauschter Folge, und die Multiplikation ist vertauschbar, auch wenn dazwischen gerundet wird — jede Stufe rundet denselben Zwischenwert. Was sich mit der Reihenfolge ändert, ist die Zwischenzeile: Sie zeigt den Preis nach dem ersten Rabatt, also gehört der Rabatt, der erst an der Kasse greift, in das zweite Feld, wenn die Zeilen der Reihenfolge folgen sollen, in der Sie sie erlebt haben.

Warum ist die Ersparnis eine Subtraktion und nicht die Summe der beiden Rabatte?

Weil das Panel mit den Zahlen aufgehen muss, die es selbst ausgibt. Die beiden Rabatte einzeln auszurechnen und dann zu addieren würde den Teil des Listenpreises doppelt zählen, den der erste Rabatt bereits entfernt hat, und das Ergebnis passte nicht zur Preiszeile. Listenpreis minus zu zahlender Preis ergibt eine Zahl, die ein Leser mit einer einzigen Subtraktion nachprüfen kann, und um genau diese Subtraktion sind die letzten beiden Zeilen gebaut: Listenpreis minus Ersparnis ergibt genau den zu zahlenden Preis, in den Zahlen auf dem Bildschirm.

Warum rundet die Seite nach jedem Rabatt und nicht erst am Ende?

Weil zwei Rabatte nacheinander genau so ablaufen und weil es die Fassung ist, deren Zahlen auf dem Bildschirm zueinander passen. Eine Kasse zieht den ersten Rabatt ab, kommt auf einen Preis und zieht davon den zweiten ab. Bei den meisten Preisen stimmen die beiden Rundungsarten überein, bei manchen unterscheiden sie sich um einen Cent: Bei einem Preis von zehn und zwei Sätzen von 33,33 Prozent ergibt die Rundung nach jeder Stufe 4,45 und die Multiplikation beider Sätze in einem Zug 4,44. Die Seite verwendet die Rundung nach jeder Stufe, und es gibt ein Rechenbeispiel, das sie vorführt — die Konvention ist also sichtbar und nicht etwas, das man erst merkt, wenn das Ergebnis nicht passt.

Warum zeigt ein Preis von einem Cent nach zweimal fünfzig Prozent keine Ersparnis?

Weil ein halber Cent kein Preis ist und ein Preis auf seine kleinste Einheit aufgerundet wird. Ein Cent, um die Hälfte reduziert, ist ein halber Cent, und der rundet auf einen Cent zurück; der zweite Rabatt macht dasselbe noch einmal. Die Seite kann keinen Preis unterhalb ihrer kleinsten Einheit ausgeben, also kommt auf dem kleinsten Preis der tiefste Rabatt, den sie ausdrücken kann, auf null. Das ist die Untergrenze der Rechnung und kein Rechenfehler, und es ist dieselbe Untergrenze, die im Beispiel oben 4,45 statt 4,44 ergibt.

Kann ich diese Seite für einen Rabatt benutzen, der nicht kombinierbar ist?

Nur wenn die beiden Ermäßigungen tatsächlich beide greifen, und das ist eine Frage der Bedingungen und nicht der Arithmetik. Ein Gutschein, auf dem steht, dass er nicht mit anderen Angeboten kombinierbar ist, ist ein einziger Rabatt; wer ihn in das zweite Feld einträgt, bekommt einen größeren Nachlass, als die Bedingungen zulassen, weil diese Seite kein Feld für die Bedingungen hat und keine Möglichkeit, eine Eingabe daran zu prüfen. Die Seite rechnet die Arithmetik zweier aufeinanderfolgender Ermäßigungen und nimmt beide Sätze wörtlich; ob Ihnen beide tatsächlich zur Verfügung stehen, ist mit dem Verkäufer zu klären und nicht hier.

• § 11 PAngV — Zusätzliche Preisangabenpflicht bei Preisermäßigungen für Waren: Bei jeder Bekanntgabe einer Preisermäßigung ist der niedrigste Gesamtpreis anzugeben, den der Anbieter innerhalb der letzten 30 Tage vor der Ermäßigung gegenüber Verbrauchern angewendet hat — die deutsche Fassung der Frage, ob der Preis, von dem aus reduziert wird, echt war — Bundesministerium der Justiz und für Verbraucherschutz — Gesetze im Internet (Deutschland)
• 16 CFR §233.1 — Former price comparisons: a reduction is a genuine bargain only if the former price was the actual, bona fide price the article was offered at on a regular basis, and an artificial inflated price established to enable a later large reduction makes the advertised bargain a false one — Legal Information Institute, Cornell Law School (Vereinigte Staaten)
• 16 CFR §233.3 — Advertising retail prices which have been established or suggested by manufacturers: a reduction advertised from a list or suggested retail price may mislead to the extent that price does not correspond to the prices a substantial number of sales are actually made at, which is why the field on this page is named after the list price rather than after a saving — Legal Information Institute, Cornell Law School (Vereinigte Staaten)