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CalcMax

Prozentdifferenz-Rechner

Ergebnis

40,0000 %

Prozentualer Unterschied (%)

Absolute Differenz
50,0000
Durchschnitt
125,0000

Ein Prozentdifferenz-Rechner gibt an, wie weit zwei Werte auseinanderliegen, wenn keiner von beiden der Ausgangspunkt ist. Der Unterschied zwischen 100 und 150 beträgt 50, und als Anteil am Mittelwert der beiden — 125 — sind das 40 %. Die Basis ist der ganze Charakter dieser Seite, denn dasselbe Zahlenpaar lässt sich auf drei Arten lesen, und die Frage ist, welche davon Sie stellen. Gibt es einen alten und einen neuen Wert, wollen Sie die prozentuale Änderung, deren Basis der alte Wert ist: 100 auf 150 sind dort +50 %. Gibt es einen Näherungswert und einen exakten, wollen Sie den prozentualen Fehler, dessen Basis der exakte Wert ist. Hier sind die beiden Werte gleich wichtig und keiner ist der Bezug, die einzige neutrale Basis ist also die Mitte zwischen ihnen. Daraus folgen zwei Dinge. Erstens spielt die Reihenfolge keine Rolle: 100 und 150 ergeben 40 %, und 150 und 100 ebenfalls, mit vollkommen identischen Werten — während die prozentuale Änderung dieselbe Vertauschung damit beantwortet, dass sie in jede Richtung eine andere Zahl liefert. Zweitens ist die Null hier ein gewöhnlicher Wert und kein verbotener, denn der Mittelwert aus 0 und 50 ist 25, und der ist vollkommen wohldefiniert. Neben dem Prozentwert zeigt die Anzeige die beiden Zahlen, aus denen der Bruch gebaut ist: die absolute Differenz ohne Vorzeichen und den Mittelwert, der als Basis gedient hat.

Zehn Paare und die drei Werte, die jedes ergibt

Erster WertZweiter WertAbsolute DifferenzMittelwertProzentualer Unterschied
1001505012540
1501005012540
2515102050
6937.540
462540
10010001000
0505025200
1020101566.6667
2002404022018.1818
-20-1010-1566.6667

Jede Zeile ist ein Paar von Werten mit den drei Angaben, die diese Seite daraus erzeugt; die Spalten sind also die beiden Eingaben, die Differenz ohne Vorzeichen, der als Basis verwendete Mittelwert und der Prozentwert. Lesen Sie die ersten beiden Zeilen zusammen, bevor Sie irgendetwas anderes lesen: 100 und 150, dann 150 und 100, dieselben zwei Zahlen in beiden Reihenfolgen, und alle fünf Spalten sind zwischen ihnen identisch. Das ist die bestimmende Eigenschaft dieser Seite, und deshalb steht das Paar oben statt irgendwo in der Mitte. Die Zeilen drei, vier und fünf sind die Beispiele, mit denen das Verfahren üblicherweise gelehrt wird: die Verkaufszahlen zweier Personen mit 25 und 15, zwei Arbeitsstunden mit 6 und 9 und dieselbe Ware mit 4 und 6 in zwei Geschäften — die Zeilen vier und fünf landen von ganz verschiedenen Zahlen aus bei denselben 40 %. Zeile sechs weist gar keine Differenz auf, Differenz und Prozentwert sind also null, während der Mittelwert schlicht der Wert selbst ist. Zeile sieben hat einen Wert bei null und wird angenommen, das ist der schärfste Gegensatz zur Seite der prozentualen Änderung. Die Zeilen acht und neun sind ein kleines und ein großes Paar: 10 und 20 ergeben 66,6667 %, während 200 und 240 auf 18,1818 % kommen, obwohl beide absolut 10 beziehungsweise 40 auseinanderliegen — der Prozentwert ist die Lücke, gemessen an der Mitte. Zeile zehn ist ein Paar negativer Werte, bei dem der Mittelwert als -15 ausgegeben wird und der Prozentwert trotzdem positiv ist. Der Dezimaltrenner ist in dieser Tabelle der Punkt (18.1818 statt 18,1818), weil die Zellwerte unverändert durchgereicht werden und nicht durch eine Textvorlage laufen und Tausender nicht gruppiert sind (1000 statt 1.000).

Formel

Differenz = |erster Wert − zweiter Wert| Mittelwert = (erster Wert + zweiter Wert) ÷ 2 Prozentualer Unterschied = |erster Wert − zweiter Wert| ÷ Mittelwert × 100

Erster Wert
Der Wert, den Sie vergleichen: 100 im Standardpaar. Er hat keinen Sonderstatus — er ist nur deshalb der erste der beiden, weil ein Formular sie in irgendeiner Reihenfolge abfragen muss. Er darf null oder negativ sein, beides sind hier gewöhnliche Werte.
Zweiter Wert
Der andere Wert: 150 im Standardpaar. Die beiden zu vertauschen ändert überhaupt nichts, und das ist das deutlichste Zeichen dafür, dass keiner von ihnen die Basis ist. Er ist einer der beiden verglichenen Werte und kein Bezug, gegen den verglichen wird.
Absolute Differenz
Der eine Wert vom anderen abgezogen, ohne Vorzeichen: 50 für 100 und 150, und 3 für 6 und 9, wo die Subtraktion allein -3 ergäbe. Das Vorzeichen wird nicht weggelassen, um aufzuräumen, sondern weil es keine Tatsache darüber gibt, welcher Wert größer ist — keiner ist wichtiger, die Seite kann also nicht sagen, die Differenz gehe nach oben oder nach unten. Er ist der Zähler des Bruchs oben.
Mittelwert
Die beiden Werte addiert und halbiert: 125 für 100 und 150, -15 für -20 und -10. Das ist die Basis, und sie ist gewählt, weil sie der einzige Wert ist, der zwischen den beiden neutral ist — nimmt man einen von ihnen, hängt das Ergebnis davon ab, welchen man zufällig als Bezug behandelt hat. Er wird mit Vorzeichen ausgegeben, damit die Zahl in der Anzeige die Zahl ist, mit der tatsächlich geteilt wurde: -20 und -10 teilen durch -15 und nicht durch 15.
Prozentualer Unterschied
Die Differenz als Anteil am Mittelwert, mal hundert: 40 % für 100 und 150, 200 % für 0 und 50. Er ist nie negativ, weil der Betrag den ganzen Bruch erfasst und nicht nur den Zähler. Er ist auf vier Nachkommastellen gerundet, was eine Anzeigebreite ist und keine Genauigkeitsbehauptung.

Der erste Fall ist ein Vergleich zweier Messungen derselben Art, bei dem keine die Ausgangsgröße ist: die Körpergrößen zweier Personen, die Anzeigen zweier Messgeräte, der Preis derselben Ware in zwei Geschäften. Der zweite ist die Kontrolle eines fremd genannten prozentualen Unterschieds — die Mittelwertzeile ist die, die man bestätigt, denn sie ist die Basis, von der die übrige Rechnung abhängt. Der dritte ist ein Paar, bei dem ein Wert null ist, was diese Seite annimmt und die Seiten zur prozentualen Änderung nicht, weil deren Basis der Wert wäre, der null ist. Der vierte ist ein Paar negativer Werte, etwa zweier Verluste oder zweier Temperaturen unter null, wo der Mittelwert negativ ist und der Betrag in der Formel echte Arbeit leistet. Der fünfte ist eine Plausibilitätsprobe an der Reihenfolge: Sind Sie unsicher, ob Sie einen prozentualen Unterschied oder eine prozentuale Änderung vor sich haben, vertauschen Sie die beiden Werte und rechnen Sie neu — der prozentuale Unterschied liefert dieselbe Antwort, die prozentuale Änderung nicht.

Rechenbeispiele

  1. 100 und 150

    1. Differenz bilden: 150 − 100 = 50
    2. Mittelwert bilden: (100 + 150) ÷ 2 = 125
    3. Teilen: 50 ÷ 125 = 0,4
    4. Mit 100 multiplizieren: 40 %

    Das Standardpaar und das, an dem die Bedeutung der Basis sichtbar wird. Es sind dieselben zwei Zahlen, die die Seite zur prozentualen Änderung als ihr eigenes Standardpaar verwendet, und dort stehen +50 %, weil deren Basis der Ausgangswert 100 ist und nicht die Mitte 125. Zwei Seiten, dasselbe Paar, zwei verschiedene Zahlen, und keine ist falsch — die gestellte Frage ist eine andere. Hier sind die beiden Werte links und rechts des Prozentwerts der Zähler und der Nenner jenes Bruchs, die ganze Rechnung ist also auf einen Blick prüfbar: 50 durch 125.

  2. 150 und 100

    1. Differenz bilden: 100 − 150 = -50, das Vorzeichen entfällt, also 50
    2. Mittelwert bilden: (150 + 100) ÷ 2 = 125
    3. Teilen: 50 ÷ 125 = 0,4
    4. Mit 100 multiplizieren: 40 %

    Das Paar von oben mit vertauschten Werten, und jeder einzelne Wert ist identisch — 40 %, 50, 125. Das ist die Eigenschaft, die den prozentualen Unterschied von der prozentualen Änderung trennt, die bei derselben Vertauschung -33,3333 % liefert statt derselben Antwort. Der Rechenweg ist nicht identisch: Die Subtraktion landet bei -50, wo sie vorher bei 50 lag, und das Minuszeichen ist genau das, was der Betrag entfernt. Differenz und Mittelwert fallen hier beide positiv aus, weil beide Werte positiv sind; bei zwei negativen Werten behält der Mittelwert sein Vorzeichen, und das ist der Fall drei Beispiele weiter unten.

  3. 25 und 15

    1. Differenz bilden: 25 − 15 = 10
    2. Mittelwert bilden: (25 + 15) ÷ 2 = 20
    3. Teilen: 10 ÷ 20 = 0,5
    4. Mit 100 multiplizieren: 50 %

    Das durchgerechnete Beispiel, mit dem dieses Verfahren üblicherweise gelehrt wird: die Verkaufszahlen zweier Personen. Es ist zugleich das Paar, das zeigt, warum der Mittelwert die Basis ist und nicht einer der Werte — durch 15 geteilt ergäbe 66,6667 % und durch 25 geteilt 40 %, und nichts in der Frage sagt, welche dieser beiden Zahlen der Bezug sein soll. Die Mitte zu wählen beseitigt diese Entscheidung, statt sie stillschweigend zu treffen, und das ist das ganze Argument dafür, dass diese Seite neben der prozentualen Änderung existiert.

  4. 0 und 50

    1. Differenz bilden: 50 − 0 = 50
    2. Mittelwert bilden: (0 + 50) ÷ 2 = 25
    3. Teilen: 50 ÷ 25 = 2
    4. Mit 100 multiplizieren: 200 %

    Einer der beiden Werte ist gar nichts, und die Seite nimmt das an: Die Basis ist die Mitte 25, eine vollkommen gewöhnliche Zahl, es gibt also keine Division durch null zu beachten. Das ist der schärfste Gegensatz zur Seite der prozentualen Änderung, wo dasselbe Paar 0 und 50 abgelehnt werden muss — deren Basis ist der Ausgangswert, und ein Prozentwert von null hat keinen Wert. Umgekehrt gilt dasselbe: Ein Unterschied von 200 % bedeutet nicht, dass der größere Wert doppelt so groß ist wie der kleinere, sondern dass die Lücke doppelt so groß ist wie die Mitte. Prozentwerte über 100 % sind hier gewöhnlich und bedeuten genau das, was die Formel sagt.

  5. -20 und -10

    1. Differenz bilden: -10 − (-20) = 10
    2. Mittelwert bilden: (-20 + -10) ÷ 2 = -15
    3. Teilen, und der Betrag erfasst den ganzen Bruch: |10 ÷ (-15)| = 0,6667
    4. Mit 100 multiplizieren: 66,6667 %

    Beide Werte sind negativ, etwa zwei Temperaturen unter null oder ein Verlust in zwei Jahren. Der Mittelwert fällt mit -15 aus und wird so ausgegeben, denn die Zahl in der Anzeige muss die Zahl sein, mit der geteilt wurde — 15 auszugeben und zugleich durch -15 zu teilen ließe den Leser ohne Prüfgröße zurück. Der Prozentwert ist trotzdem positiv, weil der Betrag außerhalb des ganzen Bruchs steht und nicht nur um den Zähler: Ohne ihn meldete dieses Paar -66,6667 % für zwei Werte, die schlicht 10 auseinanderliegen.

Einschränkungen

Die Basis ist hier der Mittelwert der beiden Werte, und das ist eine Wahl und keine Tatsache. Sie ist getroffen worden, weil keiner der Werte der Bezug ist: Teilt man stattdessen durch einen von ihnen, kommt für dasselbe Paar etwas anderes heraus — bei 25 und 15 ergibt die Division durch 15 den Wert 66,6667 % und die durch 25 den Wert 40 %. Der Mittelwert ist die einzige Basis, die beide gleich behandelt, aber er ist nicht richtiger als die anderen, er beantwortet nur eine andere Frage. Haben Sie einen alten und einen neuen Wert, lautet Ihre Frage prozentuale Änderung und nicht prozentualer Unterschied, und deren Basis ist der alte Wert; haben Sie einen Näherungswert und einen exakten, ist es der prozentuale Fehler mit dem exakten Wert als Basis. Dasselbe Paar 100 und 150 ergibt hier 40 % und auf der Seite der prozentualen Änderung +50 %, und beide Zahlen stimmen. Eine Eingabe wird abgelehnt: Sind die beiden Werte exakte Gegenzahlen, etwa 50 und -50, ist der Mittelwert null, und die Division hat keine Antwort; die Seite sagt das, statt eine Zahl zurückzugeben. Zwei Werte von null werden aus demselben Grund abgelehnt. Die Null allein ist in Ordnung, und zwei negative Werte ebenfalls — 0 und 50 ergibt 200 %, und -20 und -10 ergibt 66,6667 %. Werte, die sich beinahe aufheben, werden ebenfalls angenommen, und der Wert wird sehr groß, je näher der Mittelwert an null rückt; ein Paar wie 0,00001 und -0,000009 ergibt einen Prozentwert im Tausenderbereich, während der Mittelwert mit vier Stellen als 0,0000 ausgegeben wird. Das ist die Formel, die sich so verhält, wie sie geschrieben ist, und kein Defekt, und es wurde keine zweite Absicherung eingebaut, denn eine Regel, die Werte nahe null ablehnte, wäre eine Schwelle, und eine Schwelle ist eine Produktentscheidung und keine arithmetische Tatsache. Diese Seite fällt kein Urteil über die Größe: Sie sagt nicht, ob 5 % viel ist, denn das hängt vollständig davon ab, was gemessen wird — ein Unterschied von 5 % zwischen den Körpergrößen zweier Personen ist unspektakulär, und ein Unterschied von 5 % zwischen zwei Messgerätanzeigen kann sehr viel sein. Alle drei Werte sind auf vier Nachkommastellen gerundet, und darüber hinaus rundet diese Seite nicht für Sie: Eine Quelle, die für 160 und 116 den Wert 31,9 % ausgibt, rundet auf eine Stelle, während diese Seite für dasselbe Paar 31,8841 % ausgibt. Keiner der drei Werte trägt eine Einheit, da die beiden Eingaben Höhen, Temperaturen, Verkaufszahlen oder Personenzahlen sein können und alle drei Ausgaben ein Verhältnis oder ein Mittelwert davon sind.

Häufige Fragen

Wie berechnet man den prozentualen Unterschied?
Bilden Sie die Differenz der beiden Werte, teilen Sie sie durch deren Mittelwert und multiplizieren Sie mit 100. Für 100 und 150 ist die Differenz 50 und der Mittelwert 125, der prozentuale Unterschied beträgt also 40 %. Lassen Sie ein Minuszeichen an der Differenz vor dem Teilen weg — die Formel lautet 50 durch 125 und nicht -50 durch 125. Jedes andere Paar lässt sich genauso berechnen.
Warum durch den Mittelwert teilen und nicht durch einen der beiden Werte?
Weil keiner der beiden Werte der Bezug ist. Die 10 durch 15 geteilt ergibt 66,6667 % und durch 25 geteilt 40 %, und die Frage sagt nicht, welcher der beiden die Basis sein soll. Die Mitte zu nehmen beseitigt diese Wahl: Sie ist die einzige Basis, die beide Werte als gleich wichtig behandelt, die Antwort hängt also nicht davon ab, welchen Sie zufällig zuerst eingetragen haben.
Was ist der Unterschied zwischen prozentualem Unterschied und prozentualer Änderung?
Die Basis. Der prozentuale Unterschied teilt durch den Mittelwert der beiden Werte, weil keiner ein Bezug ist; die prozentuale Änderung teilt durch den alten Wert, weil es einen gibt. Dasselbe Paar 100 und 150 ergibt hier 40 % und dort +50 %, und beide Angaben sind richtig — sie beantworten verschiedene Fragen. Haben Sie einen alten und einen neuen Wert, nehmen Sie die prozentuale Änderung.
Spielt die Reihenfolge der beiden Werte eine Rolle?
Nein. 100 und 150 ergeben 40 %, und 150 und 100 ergeben ebenfalls 40 %, auch Differenz und Mittelwert sind identisch. Das Vertauschen ändert nur das Vorzeichen der Subtraktion darunter, und genau das ist es, was der Betrag entfernt. Die prozentuale Änderung verhält sich umgekehrt: Vertauscht man dort die beiden Werte, ändert sich die Antwort.
Darf ich null oder negative Werte eingeben?
Beides ja. 0 und 50 ergibt 200 %, denn der Mittelwert ist 25 und die Division ist vollkommen gewöhnlich — hier trennt sich der prozentuale Unterschied von der prozentualen Änderung, die einen Ausgangswert von null ablehnt. -20 und -10 ergibt 66,6667 %, mit einem Mittelwert von -15. Das einzige Paar ohne Antwort sind zwei Werte, die sich exakt aufheben, etwa 50 und -50, weil der Mittelwert dann null ist.
Ist ein großer prozentualer Unterschied ein Problem?
Diese Seite hat dazu keine Meinung, und das mit Absicht. Was als großer Unterschied gilt, hängt davon ab, was gemessen wird — 5 % zwischen den Körpergrößen zweier Personen sind nichts, und 5 % zwischen zwei Messgerätanzeigen können sehr viel sein. Die Seite gibt die Zahl aus und hört dort auf; es gibt keine Schwelle, kein Band und kein Urteil daran.

Quellen

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