Gewichteter-Durchschnitt-Rechner

Gewichteter Durchschnitt = Σ wᵢxᵢ ÷ Σ wᵢ

xᵢ

Ein Wert aus der Liste — eine Note, ein Preis, eine Messung. Jeder Wert muss weiterhin angegeben werden, auch die, deren Gewicht sich als null herausstellt; ein weggelassener Wert ist nicht dasselbe wie ein Wert mit dem Gewicht null

wᵢ

Das Gewicht dieses Wertes, an derselben Stelle im zweiten Feld geschrieben. Es darf ein Prozentsatz sein, eine Zahl von Kreditpunkten, eine Anzahl von Personen oder ein anderer Anteil — nur das Verhältnis der Gewichte zueinander zählt, und die Seite verlangt weder ganze Zahlen noch eine Summe von 100

Σ wᵢxᵢ

Die gewichtete Summe: jeder Wert mit seinem eigenen Gewicht multipliziert und dann addiert. Das ist der Zähler, und er ist es, der die Antwort zu den Einträgen mit den größeren Gewichten hin bewegt

Σ wᵢ

Das Gesamtgewicht, ausgegeben im Ergebnisbereich. Durch es zu teilen macht aus der gewichteten Summe wieder einen Durchschnitt — und es ist zugleich die Kontrolle: Steht hier nicht, was Sie erwartet haben, wurde ein Gewicht vertippt, und die Antwort ist auf eine Weise falsch, die keine andere Zeile aufdeckt

Nehmen Sie einen gewichteten Durchschnitt immer dann, wenn die Einträge unterschiedlich viel zählen sollen, und einen schlichten Durchschnitt, wenn sie es nicht sollen. Die Schule ist der Alltagsfall: Eine Abschlussprüfung mit 30 Prozent Gewicht und ein Kurztest mit 10 Prozent sind keine zwei Noten, die man als gleich behandelt, und dieselbe Rechnung trägt einen Notendurchschnitt, den durchschnittlichen Einkaufspreis eines Depots und eine Kundenzufriedenheitszahl, bei der jede Filiale eine andere Zahl von Antworten hat. Sie ist außerdem das richtige Werkzeug für eine Zahl, die selbst schon ein Durchschnitt ist: Meldet Filiale A einen Mittelwert von 40 aus 10 Verkäufen und Filiale B einen von 90 aus 2, ergibt das Mitteln von 40 und 90 die Zahl 65, die kein Kunde je gezahlt hat, während die Gewichtung mit den Anzahlen genau den Wert ergibt, den das Unternehmen tatsächlich eingenommen hat. Verwenden Sie die Gewichtung dagegen nicht, um einem Wert mehr Einfluss zu geben, weil er verlässlicher oder aus irgendeinem anderen Grund wichtiger ist — das Gewicht ist ein Anteil am Ganzen, und die Antwort ist genau das, was ein schlichter Durchschnitt ergäbe, wenn man jeden Wert so oft hintereinander schriebe, wie sein Gewicht beträgt.

1. Fünf Testergebnisse mit prozentualen Gewichten

   1. Multiplizieren Sie jede Note mit ihrem Gewicht: 85 × 20 = 1.700, 90 × 20 = 1.800, 78 × 10 = 780, 92 × 20 = 1.840, 88 × 30 = 2.640
   2. Addieren Sie die Produkte: 1.700 + 1.800 + 780 + 1.840 + 2.640 = 8.760
   3. Addieren Sie die Gewichte: 20 + 20 + 10 + 20 + 30 = 100
   4. Teilen Sie: 8.760 ÷ 100 = 87,6

   Der schlichte Durchschnitt dieser fünf Noten ist 86,6, die Gewichtung ist hier also 1,0 Notenpunkte wert. Sie kommt daher, wo das Gewicht sitzt: 78 ist die niedrigste Note und trägt nur 10, während 88 den größten Anteil trägt, nämlich 30. Der gewichtete Durchschnitt wird dadurch nach oben gezogen — nicht weil die Gewichtung ungerecht wäre, sondern weil genau das von ihr verlangt war. Dieselben Zahlen andersherum gelesen runden das Bild ab: Hätte die 30 auf der 78 gelegen statt auf der 88, käme 85,6 heraus, ein Punkt unter dem schlichten Durchschnitt. Ein gewichteter Durchschnitt ist nur so aussagekräftig wie seine Gewichte, und deshalb steht das Gesamtgewicht daneben.

2. Ein Notendurchschnitt über fünf Fächer

   1. Multiplizieren Sie jede Note mit den Kreditpunkten des Fachs: 4 × 3 = 12, 3,7 × 4 = 14,8, 3,3 × 3 = 9,9, 3 × 2 = 6, 4 × 3 = 12
   2. Addieren Sie die Produkte: 12 + 14,8 + 9,9 + 6 + 12 = 54,7
   3. Addieren Sie die Kreditpunkte: 3 + 4 + 3 + 2 + 3 = 15
   4. Teilen Sie: 54,7 ÷ 15 = 3,6467

   Das ist die Rechnung hinter einem Notendurchschnitt, und sie ist der Grund, warum die Seite das Gesamtgewicht ausgibt: 15 Kreditpunkte sind der Nenner des Bruchs, und ein Notendurchschnitt aus 15 Kreditpunkten ist keine gleichwertige Aussage wie einer aus 60. Der schlichte Durchschnitt der fünf Noten ist 3,6, die Kreditpunkte verschieben die Antwort also um 0,0467 — eine kleinere Verschiebung als im vorigen Beispiel, weil die Kreditpunkte nur von 2 bis 4 reichen, während die Gewichte dort von 10 bis 30 reichten. Auch die ungewichtete Zahl ist es wert, gekannt zu werden: Zählte jedes Fach gleich viel, stünde in dieser Leistungsübersicht 3,6 statt 3,65.

3. Gewichte, die sich nicht zu 100 addieren

   1. Multiplizieren Sie jeden Wert mit seinem Gewicht: 10 × 1 = 10, 20 × 2 = 40, 30 × 3 = 90
   2. Addieren Sie die Produkte: 10 + 40 + 90 = 140
   3. Addieren Sie die Gewichte: 1 + 2 + 3 = 6
   4. Teilen Sie: 140 ÷ 6 = 23,3333

   Diese Gewichte summieren sich zu 6, und das ist völlig in Ordnung — die Antwort wäre dieselbe, wenn sie als 10, 20 und 30 oder als 0,1, 0,2 und 0,3 geschrieben würden. Nur das Verhältnis zählt, ein Satz Gewichte liest sich also am besten als Rezept und nicht als Prozentsätze: Was die Gewichte auch ergeben, die Werte werden in diesen Anteilen gemischt. Das Einzige, was sich ändert, ist das Gesamtgewicht neben der Antwort, und das folgt den Gewichten, die Sie getippt haben. Beachten Sie außerdem, dass die Antwort viel näher am größten Wert 30 liegt als der schlichte Durchschnitt von 20: Das schwerste Gewicht sitzt auf dem größten Eintrag, und der gewichtete Durchschnitt ist ein Schwerpunkt, er rutscht also zu dem hin, was am meisten Gewicht trägt.

Die Gewichte müssen null oder positiv sein, und mindestens eines von ihnen muss größer als null sein: Eine Liste, deren Gewichte alle null sind, hat keinen gewichteten Durchschnitt, und die Seite weist sie zurück, statt durch nichts zu teilen. Ein einzelnes Gewicht von null ist erlaubt und bedeutet, dass dieser Eintrag nicht in die Antwort eingeht — er zählt weiter in der Anzahl und steht weiter unter den Werten, trägt aber nichts bei, was gut zu wissen ist, bevor man eine Null als bloß kleines Gewicht liest. Nichts wird für Sie normalisiert, Gewichte, die sich zu 150 addieren, sind also ebenso in Ordnung wie solche, die sich zu 0,4 addieren; nur ihr Verhältnis zueinander wirkt auf das Ergebnis. Die beiden Felder sind positionsgebunden, die Gewichte müssen also in derselben Reihenfolge wie die Werte geschrieben werden und es muss gleich viele von ihnen geben — die Seite weist eine Abweichung zurück, statt zu raten, welches Gewicht zu welchem Wert gehört, und diese Weigerung ist die Absicherung gegen den schlimmsten Fehlerfall hier, nämlich eine richtig aussehende Antwort aus falsch zugeordneten Paaren. Es ist kein gewichteter Durchschnitt einer Häufigkeitstabelle, in der ein Wert für viele Messungen steht; tragen Sie für diesen Fall den Wert einmal mit der Anzahl als Gewicht ein, dann kommt dasselbe heraus, eine roh hineinkopierte Tabelle funktioniert aber nicht. Die Listen sind auf 200 Paare begrenzt, und ein Zeichen mit genau drei Ziffern dahinter wird abgewiesen statt geraten: 1.500 und 1,500 sind beide ungültig, weil ein Komma in weiten Teilen der Welt das Dezimaltrennzeichen ist. Schreiben Sie 1500 oder 1,5.

Wie berechnet man einen gewichteten Durchschnitt?

Multiplizieren Sie jeden Wert mit seinem Gewicht, addieren Sie diese Produkte und teilen Sie dann durch die Summe der Gewichte. Für die fünf Noten dieser Seite sind die Produkte 1.700, 1.800, 780, 1.840 und 2.640, die sich zu 8.760 addieren, und die Gewichte addieren sich zu 100, der gewichtete Durchschnitt ist also 8.760 ÷ 100 = 87,6. Beide Operanden dieser Division stehen im Ergebnisbereich, die Rechnung lässt sich also nachprüfen, ohne die Multiplikation von Hand zu wiederholen.

Was ist der Unterschied zwischen einem gewichteten Durchschnitt und einem gewichteten Mittelwert?

Es ist dieselbe Zahl, und beide Namen werden gleichbedeutend verwendet. Gewichteter Mittelwert ist der förmlichere der beiden und steht in Statistikbüchern, während gewichteter Durchschnitt das ist, wonach die meisten suchen. Der Gedanke dahinter ist beide Male derselbe: Jeder Wert bekommt ein Gewicht, und die Antwort ist ein Schwerpunkt, der näher bei den Werten mit dem größeren Gewicht liegt. Ein schlichter Durchschnitt ist das, was daraus wird, wenn alle Gewichte gleich sind.

Müssen sich die Gewichte zu 100 addieren?

Nein, und nichts auf dieser Seite teilt durch 100. Die Gewichte sind ein Anteil, es zählt also nur ihr Verhältnis zueinander: 1, 2 und 3 ergeben dieselbe Antwort wie 10, 20 und 30 und dieselbe wie Prozentsätze. Sätze, die sich nicht zu 100 addieren, sind völlig normal, sobald die Gewichte gar keine Prozentsätze sind — Kreditpunkte, Anzahlen von Antworten, Anteile eines Depots. Die eine Zahl, die dem folgt, was Sie getippt haben, ist das Gesamtgewicht, und das steht neben der Antwort.

Was geschieht, wenn ein Gewicht null ist?

Dieser Wert fällt vollständig aus dem Durchschnitt heraus, als wäre er nie in der Liste gewesen — er zählt aber weiter in der Anzahl und muss weiter in beiden Feldern stehen, weil die beiden Felder Stelle für Stelle einander zugeordnet sind. Eine Null ist kein kleines Gewicht, sie ist gar kein Gewicht, und das sind zwei verschiedene Aussagen. Was die Seite nicht annimmt, ist der Fall, dass alle Gewichte null sind: Dann ist das Gesamtgewicht null und die Division hat keine Antwort, die Eingabe wird also zurückgewiesen, statt eine Unendlichkeit auszugeben.

Kann ich ihn für Testergebnisse oder einen Notendurchschnitt verwenden?

Ja, und beides sind die üblichen Verwendungen. Gewichtete Testergebnisse sind dieselbe Rechnung wie im ersten Beispiel: die Noten ins erste Feld und das Gewicht jeder Leistung ins zweite. Ein Notendurchschnitt funktioniert genauso, mit den Noten als Werten und den Kreditpunkten als Gewichten — das ist das zweite Beispiel, die Antwort ist die Zahl, die ein Prüfungsamt berechnen würde, und das daneben ausgegebene Gesamtgewicht ist die Summe der Kreditpunkte.

Warum wird das Gesamtgewicht angezeigt, wenn die Antwort nicht davon abhängt?

Weil es der Nenner ist, mit dem Sie die Division nachprüfen würden, und weil sich dort ein Tippfehler zuerst zeigt. Steht dort 97 statt 100, obwohl Prozentsätze gemeint waren, wurde ein Gewicht vertippt — und der gewichtete Durchschnitt, der dabei herauskommt, ist auf eine Weise falsch, die keine andere Zeile des Ergebnisses verrät, weil die Werte und die Anzahl beide richtig aussehen. Sind die Gewichte eine Anzahl von etwas Wirklichem, Kreditpunkte oder Antworten oder Personen, dann ist das Gesamtgewicht eine Zahl, die für sich genommen nützlich ist.

• Weighted Mean — from Wolfram MathWorld (English original; die Definition über die Summe der gewichteten Werte geteilt durch die Summe der Gewichte und der Sonderfall gleicher Gewichte) — Wolfram MathWorld
• Arithmetisches Mittel — Mathebibel: die deutschsprachige Darstellung des Mittelwerts als Summe geteilt durch die Anzahl, also des Falls, in dem alle Gewichte gleich sind und aus dem die Gewichtung durch ungleiche Gewichte hervorgeht — Mathebibel (Deutschland)