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CalcMax

Z-Wert-Rechner

Ergebnis

1,00Innerhalb einer Standardabweichung

Z-Wert

Abstand vom Mittelwert
10,00

Der Z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert über oder unter dem Mittelwert liegt, und bringt damit Messgrößen verschiedener Skalen auf dasselbe Lineal: ein Prüfungsergebnis, ein Messwert, die Anzeige eines Geräts — umgerechnet auf diese Skala bleibt von jedem nur eine Zahl übrig. Wert, Mittelwert der zugehörigen Gruppe und deren Standardabweichung eingeben, und der Rechner führt eine Subtraktion und eine Division aus: Er gibt den Z-Wert aus und daneben den Abstand vom Mittelwert in der ursprünglichen Einheit. Das Panel ordnet den Z-Wert außerdem einer Stufe zu — von häufig über ungewöhnlich bis zum Ausreißer-Kandidaten.

Vier Stufen — und wie ein Z-Wert dieser Größe zu lesen ist

Bereich von |z|Was das bedeutet
|z| ≤ 1Häufig. In einer Normalverteilung liegen rund 68% der Werte so nah am Mittelwert.
1 < |z| ≤ 2Noch immer häufig — in einer Normalverteilung liegen etwa 95% innerhalb von zwei Standardabweichungen, die meisten übrigen Werte fallen also in diese Stufe.
2 < |z| ≤ 3Ungewöhnlich: In einer Normalverteilung liegen nur rund 5% so weit draußen, und jenseits davon bleiben etwa 0,3%. Ein Blick auf die Messung selbst lohnt sich hier.
|z| > 3In einer Normalverteilung selten und damit ein Ausreißer-Kandidat — erst die Messung prüfen, dann entscheiden, ob der Wert zu gebrauchen ist. Die Ausnahme bei kleinen Stichproben steht unten.

Diese vier Stufen sind die empirische Regel, die 68-95-99,7-Prozent-Regel, nur als Bereiche des Z-Werts statt als Flächenanteile unter der Kurve geschrieben. Zwei Hinweise gehören vor den Gebrauch. Erstens sind die Prozentzahlen eine Eigenschaft der Normalverteilung: Ein Z-Wert ist für jede Verteilungsform definiert, die Anteile oben beschreiben aber nur die Normalverteilung, und ein Datensatz mit langem Rand liefert deshalb große Z-Werte für Werte, die keineswegs selten sind. Zweitens sind die Grenzen abgeschlossen — ein Wert von genau drei Standardabweichungen Abstand zählt noch zur dritten Stufe, weil die Regel von mehr als drei Standardabweichungen spricht. Der Rechner benutzt dieselben Grenzen, weshalb das Zeichen am Ergebnis und diese Tabelle nicht auseinanderlaufen können.

Formel

Z = (x − μ) ÷ σ

x
Der Wert, der eingeordnet werden soll — der Messwert, das Prüfungsergebnis, die abgelesene Zahl, die auf das Lineal gestellt wird
μ
Der Mittelwert der Gruppe, zu der dieser Wert gehört. Diese Subtraktion verwandelt den absoluten Wert in die Entfernung von der Mitte
σ
Die Standardabweichung derselben Gruppe. Erst die Division durch sie macht das Ergebnis über Skalen hinweg vergleichbar: Ein Z-Wert von 1,5 bedeutet bei Prüfungsergebnissen dasselbe wie bei Millimetern. Sie muss größer als null sein
x − μ
Die Abweichung vom Mittelwert. Sie wird zusätzlich ausgegeben, und zwar als Betrag, sodass sich dieser Abstand zuerst in der ursprünglichen Einheit lesen lässt und erst danach das, was daraus geworden ist
Z
Der Z-Wert selbst: negativ, wenn der Wert unter dem Mittelwert liegt, positiv, wenn er darüber liegt. Das Vorzeichen trägt die Richtung, der Betrag trägt die Auffälligkeit

Diese Kennzahl ist dann sinnvoll, wenn Werte aus verschiedenen Skalen verglichen werden sollen, und das ist der ganze Grund für ihre Existenz: 85 Punkte in einer Prüfung mit einem Schnitt von 75 sind etwas anderes als 85 Punkte bei einem Schnitt von 90, und zwei Z-Werte machen den Unterschied sofort lesbar. Sie ist außerdem das übliche Verfahren, um einen einzelnen Messwert in einer Vergleichsgruppe zu verorten, und der erste Schritt fast jeder Ausreißerregel. Liegen nur die Rohdaten vor und weder Mittelwert noch Standardabweichung, sind diese beiden zuerst zu bestimmen — auf einer anderen Seite dieses Bereichs —, denn diese Seite schätzt sie nicht. Zu beachten ist, dass die Stufen hinter den Prozentzahlen der empirischen Regel folgen, in deutschen Lehrbüchern meist Sigma-Regel genannt und als 68-95-99,7-Prozent-Regel bekannt, und diese Regel beschreibt die Normalverteilung. Jeder Wert hat einen Z-Wert, aber die Aussage, dass rund 68% innerhalb einer Standardabweichung liegen, gilt nur in einer Normalverteilung.

Rechenbeispiele

  1. Eine Standardabweichung über dem Klassenschnitt

    1. Abweichung vom Mittelwert: 85 − 75 = 10 Punkte
    2. Division durch die Standardabweichung: 10 ÷ 10 = 1
    3. Der Z-Wert ist 1; weil 85 über 75 liegt, ist er positiv

    Ein Z-Wert von genau 1 fällt in die erste Stufe und nicht in die zweite: Die empirische Regel sagt, wie viel innerhalb einer Standardabweichung liegt, diese Grenze zählt also mit, und genau daran hängt die 68%. Die 10 Punkte Abstand und der Z-Wert 1 sind zwei Aussagen über dieselbe Sache, die eine in Prüfungspunkten, die andere in Streuungseinheiten — das ist es, was diese Division eintauscht.

  2. Genau drei Standardabweichungen

    1. Abweichung vom Mittelwert: 105 − 75 = 30
    2. Division durch die Standardabweichung: 30 ÷ 10 = 3
    3. Der Wert fällt in die Stufe bis einschließlich 3, denn die Regel spricht von mehr als drei Standardabweichungen

    Das ist die wichtigste und am leichtesten falsch gelesene Grenze. Genau drei Standardabweichungen vom Mittelwert und mehr als drei Standardabweichungen sind nicht dasselbe; die 0,3% gehören zum Fall mehr als drei. In der Praxis ist der Unterschied Haarspalterei — echte Messungen liegen selten genau auf einer Grenze —, aber er trennt zwei Stufen, und die Tabelle unter diesem Text schreibt jede Grenze aus.

  3. Unter dem Mittelwert, das Vorzeichen dreht sich um

    1. Abweichung vom Mittelwert: 65 − 75 = −10, der Wert liegt also 10 Punkte unter dem Mittelwert
    2. Division durch die Standardabweichung: −10 ÷ 10 = −1
    3. Der Z-Wert ist negativ; sein Betrag ist derselbe wie im ersten Beispiel, weil der Wert gleich weit vom Mittelwert entfernt liegt

    Das Vorzeichen gibt die Richtung, der Betrag die Größe. Zehn Punkte unter und zehn Punkte über dem Mittelwert ergeben die Z-Werte −1 und +1, und beide sind gleich ungewöhnlich — deshalb richten sich die Stufen nach dem Betrag des Z-Werts und wird der Abstand auf dem Panel als positive Zahl ausgegeben. Die beiden Zahlen gehören zusammen gelesen: das Vorzeichen sagt, auf welcher Seite, der Abstand sagt, wie weit.

Einschränkungen

Ein Z-Wert ist nur so verlässlich wie der Mittelwert und die Standardabweichung, die man ihm gibt: Diese Seite behandelt beide als bekannt und kann sie nicht prüfen, weshalb ein aus der falschen Spalte abgeschriebener Mittelwert jede Antwort falsch macht, ohne dass der Seite irgendetwas anzusehen wäre. Die Prozentzahlen hinter den Stufen beschreiben die Normalverteilung, und reale Daten sind oft nicht normalverteilt — bei schiefen Daten kann ein sehr großer Z-Wert schlicht bedeuten, dass die Verteilung einen langen Rand hat, und nicht, dass der Wert ein Ausreißer ist. Dazu kommt eine Falle bei kleinen Stichproben, die man kennen sollte: Nach der Quelle für die Ausreißererkennung überschreitet der größte Z-Wert in einer Stichprobe von n Werten niemals (n − 1) ÷ √n, bei weniger als etwa elf Werten ist die Grenze von drei Standardabweichungen also überhaupt nicht erreichbar, und eine Regel, die auf drei Standardabweichungen besteht, schlägt nie an. Schließlich muss die Standardabweichung größer als null sein: Sind in einer Gruppe alle Werte gleich, gibt es keine Streuung, und diese Seite meldet einen Fehler, statt eine Antwort zu geben.

Häufige Fragen

Wie lautet die Formel für den Z-Wert?
Z = (x − μ) ÷ σ: erst den Wert minus den Mittelwert, dann durch die Standardabweichung teilen. Für 85 Punkte bei einem Schnitt von 75 und einer Standardabweichung von 10 ergibt das (85 − 75) ÷ 10 = 1. Die Subtraktion setzt den Wert auf ein Lineal, dessen Mitte die Null ist, und die Division drückt ihn in Streuungseinheiten aus — erst dieser Schritt macht Werte aus verschiedenen Skalen vergleichbar.
Wie viele Standardabweichungen liegt mein Wert vom Mittelwert entfernt?
Genau das gibt der Z-Wert an: Sein Betrag ist die Anzahl der Standardabweichungen, und das Vorzeichen sagt, auf welcher Seite des Mittelwerts der Wert liegt. Ein Z-Wert von 2,5 heißt zweieinhalb Standardabweichungen über dem Mittelwert, ein Wert von −0,4 heißt vier Zehntel darunter. Das Panel gibt zusätzlich den Abstand in der ursprünglichen Einheit aus, sodass sich der Abstand in Originaleinheiten und der in Streuungseinheiten nebeneinander lesen lassen.
Ab wann ist ein Z-Wert hoch?
In einer Normalverteilung liegen rund 68% der Werte innerhalb einer Standardabweichung, etwa 95% innerhalb von zwei und ungefähr 99,7% innerhalb von drei — das ist die empirische Regel, in deutschen Lehrbüchern Sigma-Regel genannt. Ein Z-Wert über 2 ist damit ungewöhnlich, einer über 3 selten, und deshalb liegt die übliche Grenze für einen Ausreißer-Kandidaten bei drei Standardabweichungen. Diese Zahlen sind als Lesehilfe zu verstehen und nicht als Urteil: Sie beschreiben die Normalverteilung, und eine schiefe Verteilung liefert für ganz gewöhnliche Werte große Z-Werte.
Sind Z-Wert und Perzentil dasselbe?
Nein, aber sie hängen zusammen. Der Z-Wert ist ein Abstand, gemessen in Standardabweichungen, das Perzentil ist eine Position in der sortierten Reihe. Um zwischen beiden umzurechnen, muss die Form der Verteilung bekannt sein — in einer Normalverteilung gehört zum Z-Wert 1,645 das 95. Perzentil, und diese Entsprechung gilt nur dort. Der Z-Wert selbst braucht keine Annahme über die Verteilung, und deshalb gibt diese Seite ihn aus und kein Perzentil.
Was passiert, wenn die Standardabweichung 0 ist?
Dann fehlt der Divisor, und die Seite meldet einen Fehler statt einer Zahl. Eine Standardabweichung von 0 heißt, dass in dieser Gruppe jeder Wert derselbe ist; dann liegt kein Wert vom Mittelwert entfernt, und die Frage hat keine Antwort. Ein Infinity auszugeben oder den Fehler als Ergebnis zu behandeln wäre schlechter als die klare Auskunft: Diese Division durch null liefert keinen sinnvollen Wert, und die Seite sagt das lieber.
Lässt sich der Z-Wert auch bei nicht normalverteilten Daten verwenden?
Der Z-Wert selbst schon: Vom Mittelwert abziehen und durch die Standardabweichung teilen ergibt unabhängig von der Form der Daten ein gültiges Maß für die relative Lage. Vorsicht ist bei den Stufen angebracht. Die Prozentzahlen 68, 95 und 99,7 sind Eigenschaften der Normalverteilung, und eine Verteilung mit langem Rand liefert für keineswegs seltene Werte Z-Werte weit über 3. Die Stufen sind daher als Hinweis zu lesen, sich diesen Wert einmal anzusehen, und nicht als Urteil über ihn.

Quellen

Verwandte Rechner

Standardabweichungs-RechnerStandardabweichung, Varianz und Mittelwert im Vergleich.Normalverteilungs-RechnerWahrscheinlichkeiten und Z-Werte jeder Normalverteilung.Ausreißer-RechnerAusreißer nach der IQR-Regel, mit den Grenzwerten.Perzentil-RechnerWert an einem gewählten Perzentil, mit beiden Nachbarn.