Normalverteilungs-Rechner

z = (Wert − Mittelwert) / Standardabweichung → unterhalb = Φ(z), oberhalb = 1 − Φ(z), innerhalb = 2Φ(|z|) − 1

Wert

der Messwert, nach dem gefragt wird – eine einzelne Beobachtung und nicht der Mittelwert mehrerer Messungen. Er wird gegen den Mittelwert und die Streuung der Verteilung gestellt, zu der er gehört

Mittelwert

die Mitte der Normalverteilung, geschrieben μ. Jede Wahrscheinlichkeit im Panel bezieht sich auf sie; bei einem Mittelwert von 0 und einer Standardabweichung von 1 ist der eingegebene Wert selbst der Z-Wert

Standardabweichung

die Streuung der Verteilung, geschrieben σ, und sie muss größer als 0 sein. Sie ist die Einheit, in der hier gemessen wird, und genau deshalb kann eine einzige Z-Tabelle für Verteilungen jeder Größe dienen

z

wie viele Standardabweichungen dieser Wert vom Mittelwert entfernt liegt. Oberhalb des Mittelwerts positiv, unterhalb negativ und genau 0, wenn der Wert gleich dem Mittelwert ist

Φ

die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung: der Anteil der Kurve links von einem z. Sie hat keine elementare geschlossene Form, wird hier also berechnet und nicht aus einer Tabelle abgeschrieben

Der Rechner gehört dorthin, wo die Lage und nicht die rohe Zahl gefragt ist: ob eine Messung für das Verfahren, das sie hervorgebracht hat, als selten gelten muss, welcher Anteil einer Grundgesamtheit über einer Schwelle liegt, oder wie viel vom Spezifikationsfenster ein mittig eingestelltes Verfahren abdeckt. Er ist zugleich der übliche Einstieg in die Arbeit mit einer Normalverteilungstabelle – erst in einen Z-Wert umrechnen, dann gilt eine einzige Tabelle für alle Verteilungen. Wer nur den Z-Wert braucht und die drei Wahrscheinlichkeiten nicht, nimmt den Z-Wert-Rechner daneben; wer die Flächen braucht, nimmt diese Seite, denn der Z-Wert allein sagt nur, wie weit der Wert entfernt liegt, und nicht, wie viel der Kurve in dieser Entfernung steckt.

1. Eine Standardabweichung über dem Mittelwert

   1. Zuerst den Mittelwert abziehen: 115 − 100 = 15
   2. Dann durch die Standardabweichung teilen: 15 / 15 = 1, der Z-Wert ist also 1
   3. Die Standardnormalverteilung liegt links von z = 1 zu etwa 84,13 %, rechts bleiben also 15,87 %
   4. Innerhalb einer Standardabweichung nach beiden Seiten liegen etwa 68,27 %; die beiden einseitigen Zahlen sind der Rest an den beiden Enden

   Die drei Zahlen sind drei Aussagen über dieselbe Sache, und die mittlere wird am leichtesten falsch gelesen: 84,13 % unterhalb heißt, dass eine Standardabweichung über dem Mittelwert schon etwa fünf Sechstel der Verteilung abdeckt – und darüber liegen trotzdem noch 15,87 %. Beachten Sie außerdem, dass „innerhalb“ nicht die Summe der beiden einseitigen Wahrscheinlichkeiten ist: Gezählt wird nur der mittlere Abschnitt, deshalb ist diese Zahl am kleinsten, wenn der Wert nahe am Mittelwert liegt, und nähert sich 100 %, je weiter er in den Schwanz wandert.

2. Der Wert liegt genau auf dem Mittelwert

   1. Zuerst den Mittelwert abziehen: 100 − 100 = 0
   2. Geteilt durch eine beliebige positive Standardabweichung bleibt das 0, der Z-Wert ist also 0
   3. Die Normalverteilung ist symmetrisch, genau die Hälfte liegt links und die Hälfte rechts vom Mittelwert
   4. Ein Intervall der Breite 0 enthält keinen Anteil, „innerhalb“ ist also 0 %

   Die 0 % bei „innerhalb“ sind hier kein weggerundeter kleiner Wert, sondern exakt: Das ist der einzige Fall, in dem die Breite des Intervalls wirklich null ist. Diese Zeile ist damit die sauberste Prüfung der Richtung des Intervalls – „innerhalb“ misst, wie weit es nach beiden Seiten hinausgeht, und am Mittelwert geht es keinen Schritt. Zugleich zeigt sie die Symmetrie, auf der der übrige Teil des Panels beruht, weil die beiden einseitigen Wahrscheinlichkeiten sich genau halbieren.

3. Ein Wert weit oben im Schwanz

   1. Zuerst den Mittelwert abziehen: 200 − 100 = 100
   2. Dann durch die Standardabweichung teilen: 100 / 15 ≈ 6,67, also 6,67 Standardabweichungen über dem Mittelwert
   3. Der Anteil oberhalb von z = 6,67 beträgt etwa 1,3 × 10⁻¹¹, also rund 13 von einer Billion
   4. Auf zwei Dezimalstellen gerundet sind das 0,00 %, und unterhalb davon liegen 100,00 %

   Die 0,00 % oben sind die einzige Zahl dieser Seite, die wie ein Fehler aussieht und keiner ist: Der wahre Wert liegt bei rund 13 Billionstel, und das lässt sich als Prozentzahl mit zwei Dezimalstellen nicht drucken. Daraus folgen zwei Dinge. Erstens ist 0,00 % als „kleiner als diese Anzeigegenauigkeit“ zu lesen und nicht als „unmöglich“. Zweitens weiß das Panel mehr, als die gedruckten Stellen hergeben – der Schwanz wird getrennt berechnet, genau damit diese Zeile eine saubere 0 ergibt und nicht die 0,01 oder 0,02, die beim Subtrahieren des unteren Schwanzes übrig blieben. Nebenbei steht „innerhalb“ hier bereits auf 100 %: Ein Intervall von 6,67 Standardabweichungen nach beiden Seiten deckt praktisch die ganze Kurve ab.

4. Eine Standardabweichung unter dem Mittelwert

   1. Zuerst den Mittelwert abziehen: 85 − 100 = −15
   2. Dann durch die Standardabweichung teilen: −15 / 15 = −1, der Z-Wert ist negativ
   3. Unterhalb von z = −1 liegen etwa 15,87 %, oberhalb davon etwa 84,13 %
   4. Der Bereich innerhalb einer Standardabweichung bleibt 68,27 % und ist damit derselbe wie bei z = +1, weil das Intervall symmetrisch ist

   Der Vergleich mit der ersten Zeile ist der schnellste Weg zu sehen, was das Vorzeichen bewirkt und was nicht: Die beiden einseitigen Wahrscheinlichkeiten tauschen die Plätze, während „innerhalb“ sich nicht rührt. Der Grund ist, dass „innerhalb“ den Abstand zu beiden Seiten des Mittelwerts misst und nicht erkennen kann, auf welcher Seite der Wert liegt – genau das will man, wenn man fragt, wie viel der Verteilung nahe am Zentrum liegt, und genau deshalb gibt das Panel neben dem Intervall auch die beiden einseitigen Zahlen aus.

Jede Zahl hier ist eine Eigenschaft der Normalverteilung und nicht eine Eigenschaft Ihrer Daten. Einen Z-Wert kann man aus jeder Zahlenreihe berechnen, die Wahrscheinlichkeiten darüber gelten aber nur, wenn die Verteilung tatsächlich normal ist – bei langschwänzigen oder schiefen Verteilungen sind weit entfernte Werte häufiger, als die Normalverteilung sagt, und die Schätzung des Schwanzes ist die erste Stelle, die das nicht mehr trägt. Mittelwert und Standardabweichung zu haben heißt nicht, dass die Verteilung normal ist, und diese beiden Größen liefern auch kein Kriterium dafür. Zwei weitere Hinweise: Sehr kleine Wahrscheinlichkeiten lassen sich mit zwei Dezimalstellen nicht drucken, ein weit im Schwanz liegender Wert zeigt deshalb 0,00 %, während der wahre Wert eine kleine positive Zahl ist. Und der eingegebene Wert wird hier als einzelne Beobachtung gegen einen bekannten Mittelwert und eine bekannte Streuung gestellt, die Unsicherheit dieser beiden Größen selbst geht also nicht ein – was dann ins Gewicht fällt, wenn sie aus einer kleinen Stichprobe geschätzt sind.

Wozu ist der Z-Wert gut, wenn es die Wahrscheinlichkeiten doch schon gibt?

Von den vier Zahlen ist er die einzige, die zwischen verschiedenen Verteilungen übertragbar ist. Die Wahrscheinlichkeiten hängen an der Kurve, die Sie eingegeben haben, während ein Z-Wert von 1 in jeder Normalverteilung dasselbe bedeutet – wie weit vom Zentrum entfernt. Das gilt für eine Klausur mit 15 Punkten Standardabweichung, für eine Bauteilgröße in Hundertstelmillimetern und für jede andere Einheit gleichermaßen. Genau deshalb kann dieselbe Z-Tabelle überall verwendet werden: erst in einen Z-Wert umrechnen, dann die Fläche von der Standardkurve ablesen.

Warum zeigt „oberhalb“ bei einem großen Wert 0,00 %?

Weil eine Prozentzahl mit zwei Dezimalstellen nicht ausdrücken kann, wie klein dieser Anteil ist. Bei einem Wert, der 6,67 Standardabweichungen über dem Mittelwert liegt, bleiben darüber nur noch etwa 1,3 × 10⁻¹¹, also rund 13 von einer Billion – eine echte positive Zahl, nur weit unterhalb der Anzeigegenauigkeit. 0,00 % ist deshalb als „kleiner als diese Anzeigegenauigkeit“ zu lesen und nicht als „unmöglich“. Das Panel berechnet diesen Schwanz getrennt und nicht durch Subtrahieren vom unteren Schwanz; deshalb steht dort eine saubere 0 und nicht der kleine Wert ungleich null, den die Subtraktion hinterlassen würde.

Ist das dasselbe wie die empirische Regel?

Ja, die Tabelle weiter unten auf dieser Seite ist die empirische Regel in der Schreibweise als Abstand. Die empirische Regel besagt, dass in einer Normalverteilung etwa 68 % innerhalb einer Standardabweichung liegen, etwa 95 % innerhalb zweier und etwa 99,7 % innerhalb dreier; setzt man statt der Kurve den Abstand vom Zentrum ein, ergeben sich genau diese drei Zeilen. Ein Unterschied ist erwähnenswert: Die empirische Regel nennt üblicherweise gerundete Werte, während die Anteile hier mit derselben Verteilungsfunktion berechnet werden wie das Panel – ein Wert, der genau auf einer Grenze liegt, bekommt im Panel und in der Tabelle also dieselbe Antwort.

Was passiert, wenn ich als Standardabweichung 0 eintrage?

Die Eingabe wird abgelehnt und nicht mit einem Ergebnis beantwortet. Durch 0 zu teilen ist hier nicht „die Wahrscheinlichkeit ist genau 1“, sondern beschreibt eine Verteilung ganz ohne Streuung: Jede Beobachtung ist gleich dem Mittelwert, und der Begriff „wie weit vom Zentrum entfernt“ hat dann überhaupt keine Bedeutung mehr. Das Panel gibt deshalb einen Fehlerhinweis aus und nicht ein plausibel aussehendes 0 % oder 100 %. Eine negative Standardabweichung wird ebenso abgelehnt: Eine Standardabweichung ist ein Abstand und kann nicht negativ sein, und stillschweigend den Betrag zu nehmen würde einen Fehler in den Daten verdecken.

Kann ich diese Seite benutzen, wenn meine Daten nicht normalverteilt sind?

Den Z-Wert können Sie berechnen: Jede Zahlenreihe hat einen Mittelwert und eine Standardabweichung. Was Sie zur Annahme machen müssen, sind die drei Wahrscheinlichkeiten – sie sind Flächen unter der Normalverteilung, und schiefe oder langschwänzige Verteilungen passen dazu nicht. Diese Abweichung zeigt sich zuerst im Schwanz: Die tatsächlichen Anteile weit außerhalb sind meist größer, als die Normalverteilung behauptet, „außerhalb dreier Standardabweichungen liegen nur 0,3 %“ ist also eine Eigenschaft des Normalmodells und kein Versprechen über Ihre Messreihe.

Warum wird der Wert hier als einzelne Beobachtung behandelt und nicht als Mittelwert einer Stichprobe?

Weil die drei Wahrscheinlichkeiten Größen für eine einzelne Beobachtung sind: der Anteil der Verteilung unterhalb, oberhalb und in einem bestimmten Abstand um diesen Wert. Einen Stichprobenmittelwert gegen denselben Mittelwert und dieselbe Streuung zu stellen ist eine andere Rechnung und verlangt den Standardfehler des Mittelwerts statt der Standardabweichung einer einzelnen Beobachtung – die beiden unterscheiden sich um die Wurzel des Stichprobenumfangs, und wenn man die eine für die andere einsetzt, bekommt man eine plausibel aussehende und trotzdem falsche Antwort. Ist der eingegebene Wert selbst bereits ein Mittelwert, tragen Sie bitte den Standardfehler in das Feld für die Standardabweichung ein.

• Normalverteilung — DWDS, Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache: der Terminus für die Verteilung, deren Eigenschaften diese Seite berechnet, und die einzige, für die die drei Wahrscheinlichkeiten gelten — Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften
• Standardabweichung — DWDS: die Größe σ, die hier als Maßeinheit für den Abstand vom Mittelwert dient — Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften
• 1.3.6.6.1. Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (English original; the shape of the normal density, the roles of mean and standard deviation, and the standard normal as the reference case) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 6.2 Using the Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (English original; reading probabilities off the normal curve, including the fact that the «below» and «above» shares add up to the whole) — OpenStax (Rice University)
• 6.1 The Standard Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (English original; the standard normal curve and the z-score as the conversion that makes one table serve every normal distribution) — OpenStax (Rice University)