Binomialverteilungs-Rechner

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k), wobei C(n, k) = n! / (k! (n − k)!)

n

die Zahl der Versuche, höchstens 1000 – so oft wird dasselbe Ja-Nein-Ereignis unabhängig wiederholt. Diese Obergrenze ist eine Leistungsgrenze und keine mathematische: Die Binomialverteilung ist auch für weit größere n definiert, aber der Binomialkoeffizient, den diese Seite berechnet, wächst mit n, und eine hängende Seite ist schlimmer als eine, die klar ablehnt

k

die Erfolgszahl, nach der gefragt wird. Sie darf n nicht überschreiten – mehr Erfolge als Versuche sind kein seltenes Ergebnis, sondern eine unmögliche Anfrage

p

die Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchs, als Prozentzahl zwischen 0 und 100 einzugeben. Sie ist in jedem Versuch dieselbe, und genau das ist die Voraussetzung dafür, dass die Versuche austauschbar sind und die Erfolgszahl binomialverteilt ist

C(n, k)

der Binomialkoeffizient: Wie viele Anordnungen gibt es, k Erfolge auf n Versuche zu verteilen? Er ist der Grund, warum die mittleren Erfolgszahlen am häufigsten sind – nahe der Mitte gibt es weit mehr Anordnungen als an den Rändern

p^k · (1 − p)^(n − k)

die Wahrscheinlichkeit einer einzelnen dieser Anordnungen (k Erfolge, n − k Fehlschläge). Multipliziert mit der Zahl der Anordnungen wird daraus „irgendeine Anordnung“, also das, wonach gefragt war

np

der Mittelwert der Erfolgszahl. Die Varianz ist np(1 − p), die Standardabweichung ihre Wurzel – diese drei Zahlen stehen in den letzten drei Zeilen des Ergebnisbereichs

Geeignet ist der Rechner für alles, was Erfolge zählt statt Werte misst: wie viele von 20 Bauteilen die Prüfung bestehen, wie viele von 12 Freiwürfen sitzen, wie wahrscheinlich mindestens 8-mal Kopf in 10 Würfen ist. In der Praxis lohnt es sich, zuerst die beiden kumulierten Zeilen anzusehen, denn das Ziel ist fast immer eine Schwelle – „mindestens k“ für die Qualitätskontrolle, „höchstens k“ für das Budget –, und aus der Zeile „genau“ müsste man die einzelnen Erfolgszahlen selbst zusammenzählen. Die Grenze des Modells liegt bei drei Voraussetzungen: Die Versuchszahl steht vorher fest, die Erfolgswahrscheinlichkeit bleibt gleich, und die Versuche beeinflussen einander nicht; die letzte wird in der Praxis am häufigsten verletzt.

1. 10 Versuche, 3 Erfolge, Erfolgswahrscheinlichkeit 50 %

   1. Drei Erfolge auf zehn Versuche zu verteilen geht auf C(10, 3) = 120 Arten
   2. Eine einzelne dieser Anordnungen hat die Wahrscheinlichkeit 0,5³ × 0,5⁷ = 1/1024
   3. 120 / 1024 = 0,1171875, genau 3 Erfolge treten also mit 11,72 % ein
   4. Die Wahrscheinlichkeiten für 0 bis 3 Erfolge addiert ergeben höchstens 17,19 %; der Mittelwert ist np = 10 × 0,5 = 5

   Der Kern dieser Rechnung ist die Lücke zwischen den beiden kumulierten Zeilen: 17,19 % und 94,53 %, und die 11,72 % dazwischen sind genau „3 Erfolge“ – also die Zahl, die eingegeben wurde. In dieser Lücke zeigt sich auch der verbreitete Fehler, „mindestens“ als 100 % minus „höchstens“ zu rechnen; das ergäbe hier 82,81 %. Mittelwert 5 und Standardabweichung 1,58 sagen zugleich, dass 3 Erfolge in dieser Einstellung nichts Ungewöhnliches sind: Der Wert liegt nur gut eine Standardabweichung unter dem Mittel.

2. 20 Versuche, Erfolgswahrscheinlichkeit 25 %

   1. Der Mittelwert ist np = 20 × 0,25 = 5 Erfolge
   2. Die Varianz ist np(1 − p) = 20 × 0,25 × 0,75 = 3,75, die Wurzel daraus etwa 1,94
   3. Genau 4 Erfolge treten mit 18,97 % ein und sind damit die häufigste Einzelzahl
   4. Höchstens 4 Erfolge sind es mit 41,48 %, mindestens 4 Erfolge mit 77,48 %

   Dass 4 Erfolge sowohl nahe am Mittelwert liegt als auch die häufigste Einzelzahl ist, erklärt die Schieflage der beiden kumulierten Werte: 41,48 % der Verteilung liegen bei der häufigsten Erfolgszahl oder darunter. Diese Schieflage ist kein Sonderfall, sondern die Regel, und sie ist es wert, im Gedächtnis zu bleiben – bei kleinem p hängt die Verteilung eine lange obere Flanke aus, weshalb „höchstens so viele“ für jede Zahl unterhalb des Mittels wahrscheinlicher ist, als es sich anfühlt. Genau dafür sind die drei Kennzahlen da: Mittelwert 5 und Standardabweichung 1,94 zeigen ohne jede Einzeladdition, dass 4 Erfolge mitten im üblichen Bereich liegen.

3. 100 Versuche, kein einziger Erfolg, Erfolgswahrscheinlichkeit 2 %

   1. Bei k = 0 gibt es nur eine Anordnung – kein einziger Erfolg, also C(100, 0) = 1
   2. Ihre Wahrscheinlichkeit ist 0,98¹⁰⁰ ≈ 0,1326, ein einziger Fehlschlag über die ganze Serie sind also 13,26 %
   3. „Höchstens 0“ und „genau 0“ sind dasselbe Ereignis, deshalb ist diese Zeile mit ihr identisch
   4. „Mindestens 0“ umfasst jedes mögliche Ergebnis und ist damit 100 %

   Diese Rechnung hängt an der Zeile „mindestens“. Mindestens 0 Erfolge ist keine leere Randbedingung, sondern eine Gewissheit – jede Erfolgszahl ist ≥ 0 –, und deshalb ist 100 % die richtige Antwort und kein Platzhalter. Liest man die drei Zeilen zusammen, wird der Off-by-one sichtbar: 13,26 % und 100 % ergeben zusammen mehr als 100 %, weil „genau 0“ in beide Zeilen eingeht und die Überschneidung eben diese 13,26 % sind. Die andere Hälfte der Rechnung steckt im Mittelwert: Zweimal Erfolg bei hundert Versuchen klingt verlässlich, und trotzdem bleibt ein einziger Fehlschlag über die ganze Serie bei etwa einem Achtel.

4. 1000 Versuche, Erfolgswahrscheinlichkeit 50 %

   1. Der Mittelwert ist 1000 × 0,5 = 500 Erfolge, die Varianz 250, die Standardabweichung damit etwa 15,81
   2. Genau 500 Erfolge – die häufigste Einzelzahl – treten mit 2,52 % ein
   3. Höchstens 500 Erfolge sind es mit 51,26 %, mindestens 500 Erfolge ebenfalls mit 51,26 %, weil 500 genau in der Mitte liegt
   4. Dass beide kumulierten Werte gleich sind, passiert nur am Mittelwert

   Zwei Dinge sind hier mitzunehmen. Erstens ist „die häufigste Erfolgszahl“ nicht dasselbe wie „eine wahrscheinliche Erfolgszahl“: 500 ist der Gipfel der Verteilung, tritt aber nur in etwa jedem vierzigsten Fall ein, weil sich die Gesamtwahrscheinlichkeit auf tausend verschiedene Erfolgszahlen verteilt. Zweitens sind beide kumulierten Werte mit 51,26 % genau gleich, und das ist eine brauchbare Selbstkontrolle – am Mittelwert ist die Verteilung symmetrisch, weichen die beiden Werte voneinander ab, liegt die abgefragte Zahl nicht im Zentrum. Nebenbei zeigt sich hier, warum diese Seite eine Obergrenze für die Versuchszahl hat, statt alles durchzurechnen: Die 2,52 % stammen aus einem Binomialkoeffizienten mit dreistelligen Zahlen.

Das binomiale Modell steht auf drei Voraussetzungen, und wenn eine davon nicht hält, sehen die Zahlen weiterhin plausibel aus und sind trotzdem falsch. Die Zahl der Versuche muss vorher feststehen und nicht unterwegs entstehen; die Erfolgswahrscheinlichkeit muss in jedem Versuch dieselbe sein; die Versuche müssen einander nicht beeinflussen – die dritte hält in der Praxis am seltensten, weil Versuche aus derselben Charge, von derselben Person oder vom selben Tag gemeinsam schwanken. Sobald Erfolge sich häufen, ist die tatsächliche Streuung breiter als die, die diese Seite ausgibt. Zwei weitere Grenzen sind ausdrücklich zu nennen. Die Obergrenze von 1000 Versuchen ist eine Leistungsgrenze und keine mathematische: Das Modell gilt weit darüber hinaus, aber der Rechenaufwand wächst mit der Versuchszahl, und eine hängende Seite hilft niemandem. Und eine nach Erfolgszahl gegliederte Wahrscheinlichkeitstabelle gibt es hier nicht: Die Tabelle, die man sich wünscht, hat eine Zeile je möglicher Erfolgszahl, hängt also von den eingegebenen Werten für Versuchszahl und Erfolgswahrscheinlichkeit ab, während die Referenztabelle dieser Seite aus Konstanten berechnet wird und diese Eingaben nicht sehen kann – die drei Zeilen im Ergebnisbereich sind die Gestalt dieser Tabelle bei der abgefragten Erfolgszahl.

Warum ist „mindestens k“ nicht 100 % minus „höchstens k“?

Weil die beiden Ereignisse einander nicht ausschließen. „Höchstens k“ umfasst 0 bis k Erfolge, „mindestens k“ umfasst k bis n Erfolge, und „genau k“ zählt in beide hinein – beim Subtrahieren fällt genau dieser Anteil weg, und er ist ausgerechnet die Wahrscheinlichkeit, nach der gefragt wurde. Das Gegenereignis von „mindestens k“ ist „höchstens k − 1“; liest man die drei Zeilen zusammen, ist „genau k“ immer die Lücke zwischen den beiden anderen, und diese Lücke ist zugleich die Probe auf die drei Zahlen.

Darf die Erfolgswahrscheinlichkeit 0 % oder 100 % sein?

Ja, und beides sind sinnvolle Fälle und keine Randnotizen. 0 % heißt, dass das Ereignis nicht eintritt, die Erfolgszahl ist dann zwangsläufig 0; 100 % heißt, dass es in jedem Versuch eintritt, die Erfolgszahl ist dann n. Der Ergebnisbereich gibt entsprechend 0 % und 100 % aus. Wenn eine Erfolgszahl, die man für klein aber möglich hält, als glatte 0 % erscheint, lohnt zuerst ein Blick auf das Feld für die Erfolgswahrscheinlichkeit – wer 10 eintragen wollte und 0 eingetragen hat, bekommt genau dieses Ergebnis.

Warum gibt es keine Tabelle mit einer Zeile je Erfolgszahl?

Weil diese Tabelle von der eingegebenen Versuchszahl und Erfolgswahrscheinlichkeit abhängt, die Referenztabelle dieser Seite aber aus Konstanten berechnet wird und diese Eingaben nicht sehen kann – sie fest einzutragen hieße, unter der eigenen Überschrift fremde Einstellungen abzudrucken. An ihre Stelle treten die drei Zeilen im Ergebnisbereich, die die Gestalt dieser Tabelle an der abgefragten Stelle zeigen: genau so viele, alle darunter, alle darüber. Wer die volle Verteilung sehen möchte, ändert die Erfolgszahl und liest erneut die Zeile „genau“ – die Werte hintereinander ergeben die Tabelle.

Was liefert der Mittelwert, was eine Wahrscheinlichkeit nicht liefert?

Er liefert die Lage der ganzen Verteilung, und die Lage ist der Bezugspunkt, ohne den sich nicht sagen lässt, ob eine Erfolgszahl viel ist. Bei Mittelwert 5 und Standardabweichung 1,58 sind 3 Erfolge alltäglich; dieselben 3 Erfolge in einer Verteilung mit Mittelwert 12 liegen weit draußen. Der Mittelwert ist np, die Varianz np(1 − p), die Standardabweichung deren Wurzel – diese drei Zeilen beschreiben die Verteilung über Lage und Streuung, statt jeweils nur eine einzelne Wahrscheinlichkeit zu nennen.

Was geschieht, wenn die Erfolgszahl größer ist als die Versuchszahl?

Die Eingabe wird abgelehnt und nicht etwa als 0 % beantwortet. Mehr Erfolge als Versuche sind kein seltenes Ergebnis, sondern überhaupt kein Ergebnis, und eine 0 % würde nahelegen, das Modell habe diesen Fall geprüft und ausgeschlossen. Der Ergebnisbereich zeigt deshalb einen Fehler; dasselbe gilt für mehr als 1000 Versuche, und dort ist die Ablehnung eine Leistungsentscheidung und kein Hinweis darauf, dass die Mathematik versagt.

Müssen die Versuche wirklich unabhängig sein?

Ja, und dies ist die Voraussetzung, die von echten Daten am häufigsten verletzt wird. Sobald Erfolge sich häufen – dieselbe Bauteilcharge, dieselbe Person an denselben Freiwürfen, dieselbe Praxis –, tragen die Versuche Information übereinander, und die tatsächliche Streuung der Erfolgszahl ist breiter als die der Binomialverteilung. Der Mittelwert hält bei solchen Häufungen noch einigermaßen, die Standardabweichung und die Randwahrscheinlichkeiten nicht, und deshalb sind von den drei Kennzahlen diese beiden zuerst anzuzweifeln. Wo Häufungen zu erwarten sind, gehören Verfahren zum Einsatz, die die zusätzliche Streuung ausdrücklich in das Modell aufnehmen.

• Wahrscheinlichkeit — DWDS, Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache: der Terminus, den diese Seite durchgehend benutzt, in der Bedeutung, die er im statistischen Kontext hat — Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften
• Mittelwert — DWDS: das Wort, mit dem diese Seite den Output mean bezeichnet, statt den englischen Terminus zu übernehmen — Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften
• BSI TR-02102-1, Kryptographische Verfahren: Empfehlungen und Schlüssellängen, Kapitel 8 — Zufallszahlengeneratoren. German-language institutional source for the distinction between physical and deterministic generators that the worked examples on this page depend on when the same trial is repeated — Bundesamt für Sicherheit in der Informationstechnik (BSI)
• 1.3.6.6.18. Binomial Distribution — e-Handbook of Statistical Methods: the binomial probability function, the mean np and the variance np(1 − p), and the assumptions the model rests on — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 4.3 Binomial Distribution — Introductory Statistics 2e: the three conditions (fixed number of trials, independence, constant probability of success) and the cumulative forms behind «at most» and «at least» — OpenStax (Rice University)
• BinomialDistribution — MathWorld: the coefficient C(n, k) written out and the shape of the distribution that the two cumulative rows describe — Wolfram MathWorld