Poissonverteilungs-Rechner

P(X = k) = e^(−λ) · λ^k / k! mit λ = Ereignisrate × Intervalllänge, und Mittelwert = Varianz = λ

λ

die im Intervall erwartete Ereigniszahl – die Rate multipliziert mit der Länge des Fensters und zugleich der einzige Parameter dieser Verteilung. Jede Zahl auf dieser Seite ist eine Funktion von λ, deshalb werden Rate und Intervalllänge getrennt abgefragt und nicht zu einer einzigen Zahl zusammengezogen

k

die Ereigniszahl, nach der gefragt wird. Sie ist eine ganze Zahl ab 0, und die 0 ist hier eine echte Antwort und keine leere Eingabe: Unterhalb von etwa λ = 0,7 ist „kein einziges Mal“ das wahrscheinlichste Ergebnis

e^(−λ)

das Gewicht des Falles „gar nichts ist passiert“, bevor die Anzahl ins Spiel kommt. Genau dieser Faktor lässt die ganze Verteilung mit wachsendem λ zusammenschrumpfen: Je mehr Ereignisse im Mittel zu erwarten sind, desto unwahrscheinlicher wird es, kein einziges zu sehen

λ^k / k!

der Teil, der mit k erst steigt und dann wieder fällt: die mittlere Anzahl hoch k, geteilt durch die Fakultät von k. Sein Höhepunkt liegt bei k = λ, und dort liegt auch der Schwerpunkt der Verteilung

Mittelwert = Varianz = λ

die Eigenschaft, an der man diese Verteilung erkennt, und der Grund, warum die beiden Zeilen hier nebeneinander stehen. Mittelwert und Varianz einer Poisson-Zählung sind ein und dieselbe Zahl, die Standardabweichung ist deshalb die Quadratwurzel des Mittelwerts – ein Mittelwert von 4 Ereignissen ergibt √4 = 2, ein Mittelwert von 1000 ergibt √1000 ≈ 31,6

Gebraucht wird die Rechnung, wenn man in einem Intervall zählt, wie oft etwas eintrifft, und die einzelnen Eintreffen voneinander unabhängig sind: wie viele Anrufe in einer Stunde eingehen, wie viele Fehlstellen auf einem Quadratmeter Gewebe sitzen, wie viele Teilchen in einem festen Zählfenster registriert werden. Zwei Bedingungen wiegen dabei am schwersten. Die Ereignisse müssen gegenüber ihren Gelegenheiten selten genug sein – ist die Rate so hoch, dass die Zählung in Wahrheit von etwas anderem gebremst wird, liegt keine Poisson-Verteilung mehr vor. Und sie dürfen sich nicht häufen, denn eine Serie von Eintreffen mit einer gemeinsamen Ursache zerstört genau die Unabhängigkeit, aus der die Form dieser Verteilung entsteht. Sind die Gelegenheiten dagegen fest und abzählbar, ist die Binomialverteilung das richtige Werkzeug: Eine Poisson-Zählung hat keine Obergrenze, eine binomiale Zählung kann die Zahl der Versuche nicht überschreiten. Für große λ lässt sich die Normalverteilung als Näherung verwenden, denn dann liegen beide ohnehin dicht beieinander. Der schnellste Test auf Eignung bleibt der Zusammenhang zwischen Mittelwert und Varianz: Teilt man die Varianz einer Zählreihe durch ihren Mittelwert und liegt der Quotient weit von 1 entfernt, beschreibt dieses Modell die Daten nicht.

1. Vier Ereignisse pro Stunde, gefragt sind genau drei

   1. Die Rate beträgt vier Ereignisse pro Stunde und das Intervall eine Stunde, also ist λ = 4
   2. P(X = 3) = e⁻⁴ × 4³ / 3! = 0,018316 × 64 / 6 = 0,1954, also 19,54 %
   3. Die Summe von 0 bis 3 Ereignissen ergibt 43,35 % für höchstens 3; der Rest oberhalb von 3 ergibt 76,19 % für mindestens 3
   4. Der Mittelwert ist λ = 4, die Varianz ebenfalls 4, die Standardabweichung damit √4 = 2

   Die beiden Summenzeilen überschneiden sich, und das ist kein Fehler: 43,35 % plus 76,19 % ergibt 119,54 %, und der Überschuss über 100 % ist genau das „genau dreimal“ mit seinen 19,54 %, das in beiden Zeilen steckt. Das ist derselbe Stolperstein wie bei einer binomialen Zählung, und er verhindert den verbreiteten Fehler, „mindestens“ als 1 minus „höchstens“ zu rechnen – das ergäbe hier 56,65 %. Und noch etwas: Bei durchschnittlich vier Ereignissen ist drei nichts Besonderes, es liegt nur eine halbe Standardabweichung unter dem Mittelwert.

2. Genau in der Mitte der Verteilung

   1. Diesmal ist nach vier Ereignissen gefragt: P(X = 4) = e⁻⁴ × 4⁴ / 4! = 0,018316 × 256 / 24 = 0,1954
   2. Genau vier ist damit genauso wahrscheinlich wie genau drei (beide 19,54 %), weil der Gipfel der Verteilung bei k = 4 = λ liegt und die beiden Zählungen links und rechts davon gleich viel wiegen
   3. Höchstens 4 ergibt 62,88 %, mindestens 4 ergibt 56,65 %
   4. Mittelwert, Varianz und Standardabweichung haben sich nicht bewegt, denn sie hängen allein an λ

   Dass zwei benachbarte Zählungen dieselbe Wahrscheinlichkeit haben, ist der anschaulichste Beleg dafür, dass die Verteilung um λ herum liegt: Bei durchschnittlich vier Ereignissen ist es gleich wahrscheinlich, drei oder vier zu sehen, und jede andere Anzahl ist seltener. Auch hier sind die beiden Summenzeilen nicht symmetrisch – 62,88 % gegen 56,65 % –, weil die Zeile „höchstens“ den ganzen Fall k = 4 mitnimmt und die Zeile „mindestens“ ihn ebenfalls mitnimmt, die Verteilung unterhalb des Gipfels aber dünner besetzt ist als darüber.

3. Dieselbe Rate, aber ein Fenster von drei Stunden

   1. Die Rate ist weiterhin vier pro Stunde, das Intervall beträgt nun aber drei Stunden, also ist λ = 4 × 3 = 12
   2. P(X = 3) = e⁻¹² × 12³ / 3! = 0,0000061 × 1728 / 6 = 0,0018, also 0,18 %
   3. Höchstens 3 ergibt 0,23 %, mindestens 3 ergibt 99,95 %
   4. Der Mittelwert ist 12 und die Varianz ebenfalls 12, die Standardabweichung also √12 = 3,46

   Diese Zeile trennt die beiden Eingabefelder sichtbar voneinander: Bis auf die Länge des Fensters hat sich nichts geändert, und die Antwort fällt von 19,54 % auf 0,18 %. Beide Felder müssen gefüllt werden, weil der Parameter ihr Produkt ist – eine Seite, die nur eine Rate entgegennimmt, würde für eine Stunde und für einen Tag dieselbe Antwort geben. Auch die Zusammenfassung wandert mit: Bei zwölf erwarteten Ereignissen liegt die 3 schon mehr als zwei Standardabweichungen unter dem Mittelwert, und deshalb ist „mindestens drei“ hier nahezu gewiss.

4. Ein Ereignis pro Stunde, und nichts passiert

   1. Bei λ = 1 ist die Wahrscheinlichkeit für genau null Ereignisse e⁻¹ = 0,3679, also 36,79 %
   2. Nach „höchstens 0“ zu fragen ist dieselbe Frage, deshalb druckt die Zeile dieselbe Zahl
   3. „Mindestens 0“ umfasst jede mögliche Anzahl und ist damit genau 100 %, nicht 99,99 %
   4. Mittelwert und Varianz sind beide 1, die Standardabweichung ebenfalls

   λ = 1 ist der klassische Einstieg, und er liefert die vielleicht unintuitivste Zahl dieser Seite: Ein Prozess, der im Mittel einmal pro Stunde eintritt, lässt in mehr als einem Drittel der Fälle überhaupt nichts geschehen. Auch die Zeile „mindestens 0“ lohnt einen Blick – sie ist genau 100 %, weil „null oder mehr“ die gesamte Verteilung ist, während eine Umsetzung, die sie als Differenz zweier Summen berechnet, hier leicht 99,99 % zurückgibt. Und die Frage nach null Ereignissen ist eine berechtigte Frage; genau deshalb beginnt das Zählfeld bei 0 und nicht bei 1.

Das Poisson-Modell steht auf zwei Voraussetzungen, die still verletzt werden können, und beide verdienen eine Prüfung, bevor man den Zahlen vertraut. Die einzelnen Ereignisse müssen voneinander unabhängig sein, und die Rate darf innerhalb des angegebenen Intervalls nicht wandern. Die Unabhängigkeit bricht, sobald mehrere Eintreffen eine gemeinsame Ursache haben – die Anrufe während einer Störung, Fehlstellen, die sich auf derselben Gewebebahn häufen, Unfälle bei schlechtem Wetter. Das Symptom ist, dass die tatsächlichen Zählungen stärker streuen als diese Seite vorhersagt, und dass leere Intervalle ebenso wie ausgesprochen geschäftige häufiger vorkommen, als das Modell erlaubt. Eine wandernde Rate scheitert auf eine andere Weise: Ein Callcenter, das nachts ruhig und morgens geschäftig ist, hat kein „Rate pro Stunde“, und wer beides mittelt, erhält eine Zahl, die keinen der beiden Zeitabschnitte beschreibt. Über die Voraussetzungen hinaus werden zwei Grenzen abgefangen und nicht wegerklärt. Rate und Intervalllänge dürfen jeweils im Rahmen bleiben, und ihr Produkt hat eine Obergrenze von 1000 – hier ist nicht das Rechnen der Engpass, sondern das Lesen: Liegt der Mittelwert weit jenseits der Ereigniszahl, die man überhaupt eingeben kann, wandert der Schwerpunkt der Verteilung aus dem sichtbaren Bereich heraus und jede Zeile des Panels müsste 0,00 % anzeigen, was wie ein Defekt aussieht. Die Ereigniszahl selbst muss eine ganze Zahl sein. Und eine Tabelle mit Poisson-Wahrscheinlichkeiten gibt es auf dieser Seite nicht: Die Tabelle, die man sich wünscht, hätte für jeden Mittelwert eine eigene Zeile, und der Mittelwert entsteht hier aus den beiden Zahlen, die eingetragen werden – eine gedruckte Tabelle beantwortete also eine andere Frage als das Panel darüber. Der Grund steht ausführlich in der letzten Frage unten.

Worin unterscheidet sich die Poissonverteilung von der Binomialverteilung?

Die Binomialverteilung zählt Ereignisse in einer festen Zahl von Versuchen, ihre Zählung kann die Zahl der Versuche deshalb nicht überschreiten; die Poissonverteilung zählt Ereignisse, die von selbst eintreffen, hat also keine Obergrenze und auch keine Anzahl von Versuchen, die man eintragen könnte. Die Binomialverteilung braucht zwei Eingaben – wie viele Versuche, und wie groß die Wahrscheinlichkeit je Versuch ist –, während diese Seite eine Rate und eine Intervalllänge verlangt und erst deren Produkt die erwartete Anzahl ergibt. In dem schmalen Bereich, in dem die Zahl der Versuche groß und die Wahrscheinlichkeit je Versuch klein ist, stimmen beide überein, und genau deshalb werden seltene Ereignisse in der Praxis unter beiden Namen geführt. Wer die Gelegenheiten benennen kann, nimmt die Binomialverteilung; wer nur sagen kann, dass die Ereignisse von selbst kommen, nimmt die Poisson-Verteilung.

Warum sind hier Mittelwert und Varianz gleich groß?

Weil diese Gleichheit der Kern des Modells ist und nicht ein Zufall dieser Beispiele: Mittelwert und Varianz einer Poisson-Zählung sind dieselbe Zahl λ, die Standardabweichung ist damit immer die Quadratwurzel des Mittelwerts. Das liefert eine schnelle Prüfung, ob das Modell überhaupt passt: Man nehme eine Reihe tatsächlicher Zählungen und teile ihre Varianz durch ihren Mittelwert. Liegt der Quotient deutlich über 1, treten die Ereignisse gehäuft auf statt unabhängig; liegt er deutlich unter 1, sind sie regelmäßiger verteilt, als der Zufall es zulässt. Beides lässt sich nicht durch andere Eingaben beheben, denn beides heißt, dass hier kein Poisson-Prozess vorliegt. Die beiden Zeilen stehen auf dieser Seite bewusst nebeneinander, weil diese Gleichheit das ist, was man sehen soll.

Warum sind „höchstens k“ und „mindestens k“ nicht Gegenwahrscheinlichkeiten?

Weil beide Zeilen den Fall „genau k“ mitzählen und ihn damit doppelt berücksichtigen. Im Beispiel oben ergibt höchstens 3 insgesamt 43,35 % und mindestens 3 insgesamt 76,19 %, zusammen 119,54 % – der Überschuss über 100 % ist genau das „genau dreimal“ mit seinen 19,54 %. Das ist dieselbe Arithmetik und derselbe Stolperstein wie bei einer binomialen Zählung: Wer „mindestens“ als 1 minus „höchstens“ liest, dessen Fehler ist genau die Wahrscheinlichkeit, nach der gefragt wurde. Die echte Gegenwahrscheinlichkeit zu „mindestens k“ ist „höchstens k − 1“, und wer alle drei Zeilen nebeneinander liest, sieht sofort, dass „genau k“ die Lücke zwischen den beiden Summenzeilen ausfüllt.

Wann ist eine Zählung wirklich eine Poisson-Zählung?

Wenn die einzelnen Ereignisse unabhängig voneinander sind, die Rate über das Intervall hinweg stabil bleibt und die Ereignisse gegenüber ihren Gelegenheiten selten genug sind. Die Unabhängigkeit ist die eigentlich wirksame Voraussetzung und zugleich die, die am häufigsten verletzt wird, weil sich Häufungen in den Summen kaum erkennen lassen: Eine Fabrik kann Monat für Monat dieselbe Zahl von Fehlstellen melden, während es darin gute und schlechte Tage gab, und solche Häufungen zeigen sich dann als Zählungen, die stärker streuen als diese Seite vorhersagt. Die praktische Prüfung ist die aus der vorigen Antwort – die Varianz einer Zählreihe gegen ihren Mittelwert stellen. Liegen beide dicht beieinander, beschreibt das Modell die Daten gut; liegen sie weit auseinander, hilft keine andere Rate.

Was passiert bei einer Rate von null?

Dann kann im Intervall kein einziges Ereignis eintreten, die Wahrscheinlichkeit für null Ereignisse ist also 100 %, und jede andere Anzahl hat die Wahrscheinlichkeit 0 %. Die Seite meldet dieses Ergebnis, statt daran zu scheitern: Eine Rate von 0 oder eine Intervalllänge von 0 ergibt λ = 0 und eine erwartete Anzahl von 0, die Frage nach „ein oder mehr“ wird mit 0 % beantwortet und die Frage nach „kein einziges“ mit 100 %. Es lohnt sich zu wissen, dass dieser Fall ausdrücklich behandelt ist, denn die Formel enthält an dieser Stelle Ausdrücke wie die nullte Potenz von 0 und den Logarithmus von null, und eine Umsetzung, die sie wörtlich ausrechnet, liefert einen sinnlosen Wert statt dieser naheliegenden Antwort.

Warum gibt es auf dieser Seite keine Tabelle mit Poisson-Wahrscheinlichkeiten?

Weil jede Zeile einer solchen Tabelle zu einem anderen Mittelwert gehören würde und der Mittelwert hier aus den beiden Zahlen entsteht, die eingetragen werden. Eine gedruckte Tabelle gälte für genau eine Rate und genau eine Intervalllänge und wäre für jede andere Kombination falsch; sie beantwortete damit eine andere Frage als das Panel darüber, und wenn beide sich widersprechen, hat das Panel recht. Das Panel ist diese Tabelle: Die drei Wahrscheinlichkeitszeilen sind genau für den Mittelwert, den die Eingaben ergeben, und jede Änderung an Rate oder Intervall rechnet sie neu. Eine Referenztabelle trägt nur auf Seiten, deren Zeilen von der Eingabe unabhängig sind – eine Stufenskala oder feste Klassenintervalle etwa.

• Häufigkeit — DWDS, Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache: der Wortgebrauch hinter „wie oft“, also der Zählung, deren Verteilung diese Seite ausrechnet — Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften
• 1.3.6.6.19. Poisson Distribution — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (English original; the model itself, its single parameter and the equality of mean and variance that this page prints side by side) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (English original; what it means for a count to have a distribution at all, and how a probability is read off the share assigned to each value) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Poisson Distribution — from Wolfram MathWorld (English original; the density written out and evaluated for concrete λ and k, which is what makes every value on this page checkable with a pocket calculator) — Wolfram MathWorld